閔光云 劉小會,2 鄭佳艷 蔡萌琦 孫測世

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,重慶 400074；2.重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室,重慶 400074；3.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院,成都 610106)

懸索的計算理論最早形成于16世紀(jì)末,而針對懸索非線性動力學(xué)、分叉以及混沌運動的研究最早始于18世紀(jì)[1].19世紀(jì)初,Poisson建立了懸索的運動方程,Routh在Poisson的研究基礎(chǔ)上求解了松弛懸索的固有頻率[2].20世紀(jì)中期,Pugsley等人首先研究了松弛懸索的動力學(xué)特性,接著研究了張緊懸索的動力學(xué)特性,通過比較兩者的計算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)當(dāng)懸索垂度接近零時,兩者的計算結(jié)果存在明顯差異[3].1974年,Irvine建立了懸垂纜線自由振動的線性理論,并研究了其模態(tài)、頻率,提出了重要的Irvine參數(shù)[4].1992 年,Perkins研究了彈性懸索模態(tài)之間的相互作用,應(yīng)用攝動法證明了2∶1共振情況的存在,并通過實驗對理論結(jié)果進行了驗證[5].1997年,Rega通過實驗對受多種外部激勵懸索結(jié)構(gòu)的共振進行了系統(tǒng)地分析,其研究成果已經(jīng)運用于實際工程中[6].2003年,趙躍宇,王連華,陳得良,等研究了周期荷載下斜拉索的非線性動力學(xué)特征,利用哈密頓變分準(zhǔn)則與離散法得到斜拉索的振動方程,接著利用多尺度法分析了斜拉索面內(nèi)外的耦合振動[7].2016 年,呂建根,康厚軍在趙躍宇等建立的斜拉索振動模型上進一步考慮了彎曲剛度對拉索面內(nèi)外耦合振動的影響[8].

懸索的馳振受覆冰、外部激勵以及懸索物理參數(shù)等的影響,其持續(xù)時間可長達數(shù)日或數(shù)十日,長時間的馳振會導(dǎo)致構(gòu)件疲勞,進而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能損壞.20世紀(jì)中期,學(xué)者們根據(jù)風(fēng)洞試驗、現(xiàn)場觀測以及仿真模擬的結(jié)果,提出了Den Hartog垂直舞動機理[9]、Nigol扭轉(zhuǎn)舞動機理[10]以及偏心慣性耦合失穩(wěn)機理[11].2013年,學(xué)者李壽英通過風(fēng)洞試驗得到了6種覆冰拉索模型的氣動參數(shù),接著采用數(shù)值法求解了覆冰拉索振動方程,并研究了拉索的馳振響應(yīng)規(guī)律[12].2018年,譚冬梅用FLUENT 研究索距、攻角以及有無覆冰等因素對雙索尾流馳振穩(wěn)定性的影響,得到一些重要的結(jié)論[13].

通過以上分析得知,大部分學(xué)者針對覆冰懸索的動力學(xué)分析通常采用建立單檔懸索數(shù)學(xué)模型,而實際工況中多檔懸索結(jié)構(gòu)的存在很普遍,例如高壓輸電線即為多檔懸索模型,且多檔懸索與懸掛絕緣子串之間存在相互作用.為更加符合實際工況,本文建立了多檔覆冰懸索的動力學(xué)模型,考慮了多檔懸索之間的相互作用,并研究了相等檔距懸索結(jié)構(gòu)中每一檔懸索的位移響應(yīng),研究成果能給實際工程一些參考.

1 動力學(xué)建模

1.1 多檔懸索動力學(xué)建模

實際工程中,絕緣子串的偏轉(zhuǎn)方向存在隨機性,由于隨機性的存在使得絕緣子串的偏擺組合形式多樣,雖然其偏擺組合形式多樣,但不同偏擺組合下的動力學(xué)方程推導(dǎo)類似,下面列出4種典型的絕緣子串偏擺組合形式,組合形式見圖1.

圖1 多檔懸索結(jié)構(gòu)示意簡圖

由于4種偏擺組合下多檔覆冰懸索的動力學(xué)方程推導(dǎo)類似,為節(jié)約篇幅只給出組合1的詳細(xì)推導(dǎo)過程,組合2、3、4可類似推導(dǎo).首先取任意一檔懸索為研究對象,根據(jù)哈密頓變分原理可得

根據(jù)式(1)可得任意一檔懸索的動力學(xué)方程為

式中：i的取值為1、2、3、4.Ti表示初始張力；τi表示動張力；yi表示靜態(tài)位移曲線；ui表示動態(tài)位移曲線；m為懸索的單位長度質(zhì)量；pi表示懸索所受氣動力荷載.

參考文獻[14]將動張力表示為

式中：EA為懸索抗拉剛度；li為懸索的長度；X1、X2、X3分別為絕緣子串1、2、3擺動的位移；X0、X4為兩端A、E的擺動位移.

將式(3)代入式(2)可得

根據(jù)模態(tài)綜合法可得

式中：qin(t)為時間函數(shù)；φin(x)為模態(tài)函數(shù)；n表示模態(tài)函數(shù)的階數(shù).

根據(jù)參考文獻[15]得知懸索的馳振特征主要由基本模態(tài)決定,為了方便計算,本文應(yīng)用一階模態(tài)截斷法,因此,式(5)轉(zhuǎn)化為

為了方便記號,將式(6)改寫為

將式(7)代入式(4)并進行Galerkin積分,可得

式(8)中涉及的系數(shù)皆為Galerkin離散法所得.

1.2 絕緣子串動力學(xué)建模

下面對絕緣子串進行動力學(xué)建模分析,本文假設(shè)絕緣子串的長度都為R,絕緣子串從左到右編號依次為1、2、3,且絕緣子串1、2、3與y軸正方向的夾角分別為θ1、θ2、θ2,見圖2.

圖2 絕緣子串受力分析圖

分別以絕緣子串1、2、3為研究對象,依次列出關(guān)于其懸掛點處的轉(zhuǎn)動平衡方程,即

其中：

因此可得

其中η取值為1～6.

將式(3)代入式(9)可得

式(12)中涉及的系數(shù)皆為Galerkin離散法所得,由于篇幅所限,此處不再贅述.

聯(lián)立式(8)與式(12)可得多檔懸索的耦合馳振控制方程組：

1.3 氣動力模型動力學(xué)建模

建立氣動載荷分析數(shù)學(xué)模型如圖3所示,覆冰模型為新月形.假設(shè)真實風(fēng)速沿著水平方向,由于在豎直方向此時有初始擾動使得懸索在y方向有初始速度,相對風(fēng)速將發(fā)生了改變.

圖3 基于擬靜態(tài)假設(shè)的相對流場

同理,取多檔懸索結(jié)構(gòu)中任意一檔分析其氣動特性,只考慮懸索受面內(nèi)豎向氣動荷載,忽略扭轉(zhuǎn)方向以及面外的氣動荷載.根據(jù)氣動力的表達式可得

式中：Cyi(α)表示任意一檔懸索的氣動力系數(shù)；d為懸索的直徑；α為瞬時攻角；ρ為當(dāng)?shù)乜諝饷芏?；U為平均風(fēng)速.

空氣動力系數(shù)可以用三次曲線擬合,即

式中：α1i、α2i、α3i可通過風(fēng)洞試驗測得.

因為α與初始攻角α0、扭轉(zhuǎn)θ及相對風(fēng)速有關(guān),即有

忽略初始攻角與扭轉(zhuǎn)角的影響,然后將式(15)與式(16)代入式(14)可得

因此可得

將式(18)代入式(13)可得到新的懸索馳振控制方程為

2 風(fēng)洞試驗

為了獲取覆冰懸索的空氣動力系數(shù),在中國空氣動力研究與發(fā)展中心進行了測試.采用擬靜態(tài)方法,選取一段懸索模型,進行氣動參數(shù)測試.1.4 m×1.4 m低速風(fēng)洞如圖4(a),測試模型如圖4(b)所示,懸索覆冰模型為新月形,模型如圖4(c)所示.

圖4 風(fēng)洞測試空氣動力系數(shù)

每測量一次氣動載荷后,將該覆冰模型轉(zhuǎn)動5°,然后再測量一次氣動載荷,轉(zhuǎn)角范圍為0°～180°.懸索靜態(tài)空氣動力特性試驗測得的空氣動力系數(shù)包括阻力系數(shù)、升力系數(shù)和扭矩系數(shù),且無量綱的空氣動力參數(shù)定義如下：

式中：FD、FL、MZ分別為懸索所受的阻力、升力以及扭 矩 ；ρ為 空 氣 密 度 ；U為 平 均 風(fēng) 速 ；L為 懸 索 有 效 長度；d為懸索直徑.通過風(fēng)洞試驗測得12 mm 冰厚的新月形覆冰懸索在10 m/s風(fēng)速作用下空氣動力系數(shù)隨風(fēng)攻角的變化曲線如圖5所示.

圖5 氣動力系數(shù)

通過觀察圖5可知：懸索的氣動系數(shù)從左往右呈半波狀變化,當(dāng)升力系數(shù)CL處于45°～120°以及155°～180°之內(nèi)時,CL具有負(fù)斜率,參考文獻[9]可知此時懸索易發(fā)生橫向馳振.

3 數(shù)值算例

懸索的物理參數(shù)參考文獻[16],見表1.

表1 懸索的物理參數(shù)

將表1中所涉及的物理參數(shù)代入各項系數(shù)表達式中,模態(tài)函數(shù)選取φi(x)=sin(πx/li),檔距選取li=300 m.基于四階Runge-Kutta法可得出多檔懸索中任意一檔的位移響應(yīng)曲線,如圖6～9所示.

圖6 絕緣子串偏擺組合1

圖7 絕緣子串偏擺組合2

圖8 絕緣子串偏擺組合3

圖9 絕緣子串偏擺組合4

通過分析圖6～圖9可得：4種絕緣子串偏擺組合下懸索的位移響應(yīng)具有相同的特征,即懸索在接近800 s時趨于穩(wěn)態(tài)狀態(tài)；在馳振的開始階段,懸索受到外部激勵的作用不停地振動,隨著時間的增加,幅值越來越大；在200～800 s之間由于多檔懸索之間存在相互作用使得懸索的位移響應(yīng)極其復(fù)雜,其為懸索從不穩(wěn)定狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)的一個必經(jīng)過程,800 s之后懸索穩(wěn)定,穩(wěn)定后的幅值接近0.35 m,但不同的絕緣子串偏擺組合,懸索穩(wěn)定后的幅值有一定的差異.

由于絕緣子串偏擺方向的隨機性,使得4種絕緣子偏擺組合下的位移響應(yīng)存在些許差異,為了更加清楚地對比這些差異,下面將給出某一時刻下多檔懸索整體的位移時程曲線,如圖10所示.

通過圖10可知：在不同的絕緣子串偏擺組合下,相等檔距懸索的位移卻存在著明顯的差異,且絕緣子串偏擺組合形式的不同其差異也不同,為了更加清楚地對比不同偏擺組合下的差異,將時刻1、2、3下懸索的位移數(shù)據(jù)導(dǎo)入表2～5中,并求得最大的位移變化量,具體數(shù)據(jù)見表2～表5.

表2 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合1多檔懸索在某時刻的位移

表3 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合2多檔懸索在某時刻的位移

表4 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合3多檔懸索在某時刻的位移

表5 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合4多檔懸索在某時刻的位移

觀察表2～表5可知：絕緣子串偏擺組合3,在時刻3的最大位移比最小位移增加21.39%,時刻1的最大位移比最小位移增加14.12%,這種偏擺組合下懸索的大幅度位移所產(chǎn)生的交變張力易使得構(gòu)件疲勞,嚴(yán)重時會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能失效；表2～表5最小增量也達到5.12%,位移增加明顯,因此多檔懸索之間的相互作用并不能忽略,通過建立多檔懸索振動模型比建立單檔懸索振動模型更符合實際工況,更適用于工程的研究.

4 結(jié) 論

本文建立了多檔懸索振動模型,通過對相同檔距的懸索動力響應(yīng)分析得知：在某一時刻下多檔懸索之間的位移響應(yīng)存在明顯的差異,且該差異隨著絕緣子串偏擺組合形式的不同而變化,在絕緣子串偏擺組合形式3下懸索的位移差異最為明顯,由于大幅振動產(chǎn)生的交變張力會使得構(gòu)件疲勞,進而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能失效,因此建立多檔懸索振動模型比建立傳統(tǒng)的單檔懸索振動模型更為合理.本文的研究能給予實際工程一定的參考價值.