龐哲 宗肖穎 杜建祥

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

0 引言

隨著航天光學(xué)遙感對分辨率需求的不斷提高，空間遙感器光學(xué)系統(tǒng)的口徑也越來越大、焦距越來越長，大口徑、長曲率半徑的非球面反射鏡的使用需求越來越多。光學(xué)系統(tǒng)主鏡的口徑已從原來的幾百毫米增大到1m 以上甚至幾米。為了保證空間光學(xué)系統(tǒng)的成像品質(zhì)，光學(xué)設(shè)計(jì)對大口徑非球面反射鏡的幾何參數(shù)如頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)的公差提出了嚴(yán)格的要求，如直徑1.5m 的非球面主鏡要求4m 長的頂點(diǎn)曲率半徑R0公差控制在±1mm，測試精度要求0.2mm，二次非球面系數(shù)K公差控制在±0.0002。利用offner 補(bǔ)償器檢測方法測試上述非球面的頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)時(shí)，需要4m 長的距離測試精度達(dá)到幾十微米，才能保證R0和K的測試精度滿足要求[1-6]。

傳統(tǒng)的利用補(bǔ)償器法測量非球面反射鏡幾何參數(shù)的方法，是在干涉儀會聚點(diǎn)處架設(shè)刀口，通過觀察會聚點(diǎn)處的刀口陰影來調(diào)整刀口位置，然后用一根短的測量桿來測量刀口與補(bǔ)償器之間的距離，再用另一根長的測量桿測量非球面頂點(diǎn)（中心有孔時(shí)測孔邊緣換算）到補(bǔ)償器的距離，短桿的測量精度可以控制到0.01～0.02mm，長桿的測量精度依賴于測量桿的長度及實(shí)現(xiàn)方式。測量過程中會聚點(diǎn)刀口陰影判定的準(zhǔn)確性和測桿上測尖與被測表面接觸力的大小依賴于測試人員的經(jīng)驗(yàn)。

對于大口徑長曲率半徑的非球面反射鏡，當(dāng)曲率半徑達(dá)到幾米時(shí)，對應(yīng)的干涉儀會聚點(diǎn)到非球面頂點(diǎn)的距離也達(dá)到幾米的量級，當(dāng)該距離的測試精度需要幾十微米時(shí)，用卷尺測量遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到要求，而制作幾米長的測量桿、且長度尺寸的變化要控制在幾十微米范圍內(nèi)時(shí)，對測量桿的材料、制作工藝、支撐方式的選擇和環(huán)境溫度的控制都提出了苛刻的要求，工程上實(shí)現(xiàn)難度大。激光跟蹤儀在測量米級距離上具有十微米到幾十微米的精度，具有工程上容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢。

美國的詹姆斯韋伯空間望遠(yuǎn)鏡主反射鏡的頂點(diǎn)曲率半徑測試，在計(jì)算全息圖（CGH）補(bǔ)償法檢測面形光路中，使用了絕對距離測量裝置測量CGH 到非球面反射鏡距離，最終把15.9m 的頂點(diǎn)曲率半徑的絕對精度控制在了±0.25mm，重復(fù)性精度控制在了±0.1mm[7-11]。國內(nèi)方面，文獻(xiàn)[12-13]針對非球面零補(bǔ)償透鏡補(bǔ)償檢測中采用激光跟蹤儀測量幾何參數(shù)的方法進(jìn)行了研究，給出了離軸非球面幾何參數(shù)測試的重復(fù)誤差。本文在offner 補(bǔ)償器檢測非球面面形的光路中，利用激光跟蹤儀測量干涉儀會聚點(diǎn)到補(bǔ)償器的距離和補(bǔ)償器到非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離；建立了測量模型、研究了軸對稱非球面反射鏡頂點(diǎn)坐標(biāo)的擬合算法，給出了數(shù)據(jù)處理方法；對頂點(diǎn)曲率半徑4m 量級、直徑1.5m 的軸對稱非球面反射鏡進(jìn)行了測試實(shí)驗(yàn)，給出了非球面幾何參數(shù)測試結(jié)果和測試誤差分析。

1 測量原理

本文所測的非球面幾何參數(shù)包括頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)。利用offner 補(bǔ)償器測試非球面面形[14-18]的光路如圖1 所示，圖1 中L1為干涉儀會聚點(diǎn)到補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡前表面的距離（以下簡稱短焦距離），L2為補(bǔ)償器的厚度（已知量），L3為補(bǔ)償器場鏡后表面中心到非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離（以下簡稱長焦距離），L為干涉儀會聚點(diǎn)到非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離。

對于圖1 所示的面形測試光路，在測量L1和L3之前，首先要將干涉儀會聚點(diǎn)、待測非球面頂點(diǎn)與補(bǔ)償器調(diào)至同軸，一般將待測非球面面形的初級彗差項(xiàng)調(diào)至不大于0.02λ（λ為激光干涉儀的工作波長），并將L1調(diào)至offner 補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)理論值，然后固定L1，調(diào)整L3的大小直至由待測非球面鏡反射的光束通過補(bǔ)償器后的會聚點(diǎn)與干涉儀出射球面波的會聚點(diǎn)重合，測量此時(shí)的L3，并記錄面形結(jié)果中的離焦量和初級球差值。然后將測試得到的L1和L3帶到光學(xué)設(shè)計(jì)軟件建立的仿真模型中，在系統(tǒng)波像差中以實(shí)測的離焦量和初級球差值為優(yōu)化目標(biāo)，以頂點(diǎn)曲率半徑與二次非球面系數(shù)為優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，就可以得到優(yōu)化后的頂點(diǎn)曲率半徑與二次非球面系數(shù)的值，以此作為幾何參數(shù)的實(shí)測值。

圖1 offner 補(bǔ)償器檢測非球面原理Fig.1 The offner compensator schematic detecting aspherical surfaces

用激光跟蹤儀測量L1和L3時(shí)，干涉儀會聚點(diǎn)可以通過靶球球心對干涉儀球面波的自準(zhǔn)直進(jìn)行測量，通過觀察干涉條紋來判斷靶球中心是否與干涉儀會聚點(diǎn)重合，并測量靶球表面的面形，根據(jù)面形中離焦量的大小，靶球中心與干涉儀會聚點(diǎn)重合程度，二者重合時(shí)，用激光跟蹤儀測量靶球球心的坐標(biāo)；再用靶球分別測量補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡的前表面和非球面鏡面，通過算法擬合得到補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡前表面的方程和待測非球面的頂點(diǎn)位置坐標(biāo)；然后計(jì)算干涉儀會聚點(diǎn)分別到補(bǔ)償鏡前表面和非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離L1和L，由L3=L-L1-L2得到L3的實(shí)測值。

2 測試實(shí)驗(yàn)的模型建立與數(shù)據(jù)處理

2.1 模型建立

在offner 補(bǔ)償器測試光路中，想要得到非球面反射鏡的頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)值，需要用到兩個(gè)數(shù)值：一是干涉儀會聚點(diǎn)到補(bǔ)償器前鏡的短焦距離L1，二是干涉儀會聚點(diǎn)到非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離L。為此要先確定非球面反射鏡的頂點(diǎn)位置，并根據(jù)L3=L–L1–L2計(jì)算出L3的具體數(shù)值，然后才能帶入光學(xué)仿真軟件中進(jìn)行檢測。因此，需要找出能確定這些關(guān)鍵點(diǎn)的基準(zhǔn)面來測量出這些點(diǎn)的數(shù)據(jù)以便完成下一步的工作。

圖2 的測試模型圖中給出了激光跟蹤儀需要測量的相關(guān)數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖中待測非球面鏡端面（平面）和側(cè)面圓柱面是軸對稱非球面鏡的結(jié)構(gòu)基準(zhǔn)，光學(xué)加工時(shí)會以這兩個(gè)面為基準(zhǔn)，控制非球面鏡的回轉(zhuǎn)對稱性。圖3 給出了建模與數(shù)據(jù)處理的流程。

2.2 數(shù)據(jù)測量

在架設(shè)好激光跟蹤儀后，將坐標(biāo)系建在激光跟蹤儀的基座上。對圖2中各點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集。整個(gè)采集過程應(yīng)當(dāng)在穩(wěn)定的環(huán)境下進(jìn)行，避免造成過多的粗大誤差出現(xiàn)。

（1）測量干涉儀會聚點(diǎn)數(shù)據(jù)

調(diào)整好測試面形光路后，將激光跟蹤儀靶球放置于干涉儀出射的球面波會聚點(diǎn)處，調(diào)整靶球位置，使得靶球中心與干涉儀會聚點(diǎn)重合，調(diào)整干涉條紋疏且直，并調(diào)整靶球的軸向距離使靶球面形的離焦量值小于0.005λ，用激光跟蹤儀測量此時(shí)的靶球球心坐標(biāo)，即可得到干涉儀會聚點(diǎn)的坐標(biāo)值。

圖2 測試實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.2 The test experiment model diagram

圖3 建模與數(shù)據(jù)處理流程Fig.3 The modeling and data processing flow chart

（2）測量補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡前表面數(shù)據(jù)

為了得到干涉儀會聚點(diǎn)到補(bǔ)償鏡前表面的距離，第二步需要測量補(bǔ)償器前鏡面的位置信息。將激光跟蹤儀靶球與補(bǔ)償鏡前表面接觸，進(jìn)行多點(diǎn)測量，記錄數(shù)據(jù)。

（3）測量待測非球面鏡數(shù)據(jù)

為了得到干涉儀會聚點(diǎn)到待測非球面鏡頂點(diǎn)的距離，關(guān)鍵是要找到待測非球面鏡的頂點(diǎn)位置。先利用激光跟蹤儀靶球在待測非球面鏡前端面上進(jìn)行多點(diǎn)測量及平面擬合，并將端面設(shè)為基準(zhǔn)面；然后用靶球在待測非球面鏡的側(cè)面圓柱面上進(jìn)行多點(diǎn)測量，再把測量出的側(cè)面圓柱面上的點(diǎn)投影至前端面上，形成一個(gè)離散的圓環(huán)，擬合出該圓環(huán)的中心點(diǎn)，這個(gè)中心點(diǎn)就是光軸過端面的點(diǎn)；最后用靶球測量待測非球面鏡面上多點(diǎn)的坐標(biāo)，擬合出非球面，通過數(shù)據(jù)擬合得到待測非球面鏡的頂點(diǎn)位置。

2.3 數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵是擬合算法，在得到激光跟蹤儀測量的各點(diǎn)數(shù)據(jù)后，進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合處理。

（1）擬合補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡前表面

本文所用的offner 補(bǔ)償器的補(bǔ)償鏡前表面為平面，空間中的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合得到平面，其實(shí)就是一個(gè)最優(yōu)化的過程，即求這些點(diǎn)分別到某個(gè)平面的距離之和最小的問題[19]。

已知平面方程為

式中A、B、C、D為常數(shù)；x、y、z為點(diǎn)的坐標(biāo)。

設(shè)該擬合平面各數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)為H1，H2，...，Hα；α為數(shù)據(jù)點(diǎn)H的數(shù)量；坐標(biāo)原點(diǎn)O0在激光跟蹤儀基座上，各數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值為H0=(H1+H2+...+Hα)/α。新的矩陣Q通過式（2）所得，再對矩陣Q進(jìn)行奇異值分解（SVD）就可得到平面方程中的A、B、C。

奇異值分解法基于以下線性代數(shù)定理

式中Q為行數(shù)α大于或等于列數(shù)β的矩陣，U為α行α列的正交矩陣；W為α行β列對角線矩陣；β為矩陣V的列數(shù)；w1、w2，...，wβ為矩陣元素；VT為一個(gè)β乘β的正交距陣的轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣Q可以寫成矩陣U、矩陣W、轉(zhuǎn)置矩陣VT的乘積形式。然后根據(jù)式（4）有

式中U和V為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣；I為單位矩陣。對于超定方程組，Q為α行β列（α≥β）的矩陣，對矩陣Q進(jìn)行奇異值分解，由式（4）可得

式中wi為w1、w2，...，wβ中的某一矩陣元素，diag 表示對角矩陣，于是得到超定方程組Qa=b的極小最小二乘解，可以表示為

式中a為超定方程組的極小最小二乘解；b為列矩陣。根據(jù)協(xié)方差矩陣的SVD 變換，最小奇異值對應(yīng)的奇異向量就是平面方程中的A、B、C，通過坐標(biāo)原點(diǎn)和各數(shù)據(jù)點(diǎn)平均值點(diǎn)的矢量與平面法向量的點(diǎn)積運(yùn)算，就能得到擬合平面在坐標(biāo)軸上的截距系數(shù)，即式（7）所示

最終得到擬合平面的平面方程Ax+By+Cz+D=0。

（2）擬合待測非球面鏡前端面外圓圓心

待測非球面鏡端面擬合的問題也是平面擬合的問題，由第一步方法可以解決。之后要解決的是將側(cè)面圓柱面上的測量點(diǎn)投影至端面上并擬合成圓、再尋找圓心的問題。

已知一個(gè)平面以及平面外任一點(diǎn)Pj，Pj的坐標(biāo)為（xj，yj，zj），j為任一P點(diǎn)的下標(biāo)；計(jì)算點(diǎn)Pj到平面的投影P0，如圖4 所示。

給定的平面的方程如式（1）所示，過點(diǎn)Pj到平面的垂足記作P0（x0，y0，z0），則直線PjP0與平面的法向量平行，直線PjP0的參數(shù)方程為

式中xj，yj，zj為Pj點(diǎn)的坐標(biāo)。將點(diǎn)Pj（xj，yj，zj）帶入平面方程式（1），求出參數(shù)t

式中t為未知參數(shù)。再將式（9）中的參數(shù)t帶入直線的參數(shù)方程式（8）就求出了投影點(diǎn)P0（x0，y0，z0）。

圖4 平面外一點(diǎn)投影至平面示意Fig.4 Projection from outside into the plane

之后要將投影到平面上的點(diǎn)擬合成一個(gè)圓，并求出該圓的圓心坐標(biāo)。

設(shè)數(shù)據(jù)集為X，每個(gè)點(diǎn)是Xγ，那么圓心、圓的半徑可以通過擬合圓來求得。

式中Xγ為數(shù)據(jù)點(diǎn)，γ為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，O為圓心，R為圓的半徑。圓的法向量就是擬合平面的法向量。最后（O–X）·（O–X)T的最小特征值所對應(yīng)的特征向量就是圓心坐標(biāo)。

（3）擬合待測非球面鏡頂點(diǎn)

在offner 補(bǔ)償器檢測系統(tǒng)完成共軸調(diào)整后，檢測系統(tǒng)的光軸是干涉儀會聚點(diǎn)與非球面頂點(diǎn)的連線。實(shí)際計(jì)算中，非球面頂點(diǎn)坐標(biāo)是未知待求的。對于軸對稱非球面鏡，考慮到在非球面的光學(xué)加工中會將非球面光軸相對于前端面的傾斜及相對于側(cè)面圓柱面回轉(zhuǎn)軸的偏心，控制在設(shè)計(jì)要求范圍內(nèi)，可以將干涉儀會聚點(diǎn)與上述（2）中所求出的非球面鏡前端面外圓圓心的連線視作光軸，將連線與非球面的交點(diǎn)作為非球面的頂點(diǎn)。

通過用激光跟蹤儀靶球與鏡面接觸測量，可以得到非球面鏡在激光跟蹤儀坐標(biāo)系中的非球面方程。但在靶球測量鏡面點(diǎn)時(shí)，測出的是靶球中心點(diǎn)坐標(biāo)，與靶球?qū)嶋H接觸鏡面點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在偏差，如圖5 所示。

圖5 測量點(diǎn)偏差示意Fig.5 Measuring point deviation

圖5 中Z與Y分別為兩個(gè)方向的坐標(biāo)軸，P點(diǎn)為靶球中心點(diǎn)，P'點(diǎn)為鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)。將靶球及其與待測非球面鏡面的接觸點(diǎn)投影至與前端面垂直的平面，如圖6 所示。

圖6 鏡面點(diǎn)靶球半徑補(bǔ)償示意Fig.6 The diagram of mirror point ball radius compensation

圖6 中O1點(diǎn)為非球面頂點(diǎn)，Z軸為光軸方向的坐標(biāo)軸，Y軸為過非球面頂點(diǎn)垂直于光軸方向的坐標(biāo)軸，P點(diǎn)為靶球中心，P'點(diǎn)為鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)，P"點(diǎn)為P點(diǎn)沿光軸方向投影至鏡面的點(diǎn)，P1、P1'分別為P點(diǎn)、P'點(diǎn)在Z軸的投影點(diǎn)，P2、P2'分別為P點(diǎn)、P'點(diǎn)在待測非球面鏡端面的投影點(diǎn)，PP1為靶球中心與光軸的距離，r為鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)P'與光軸的距離，PP2為靶球中心與待測非球面鏡前端面的距離，P'P2'為鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)與前端面的距離，ι為鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)P'與Y軸的距離，S點(diǎn)為P'點(diǎn)在PP"上的投影點(diǎn)。

根據(jù)待測非球面鏡理論值參數(shù)，借由高次曲線方程[20-21]

式中c為頂點(diǎn)曲率；K為二次非球面系數(shù)；r為曲線上一點(diǎn)到頂點(diǎn)的橫向距離；ι為同一點(diǎn)到頂點(diǎn)的縱向距離；a4、a6為高次項(xiàng)系數(shù)。

對式（11）進(jìn)行求導(dǎo)，得

式中ι'為P'點(diǎn)的斜率。

式中k為P'點(diǎn)在鏡面的法線方向值，選用的靶球半徑為6.35mm，為了求出P'點(diǎn)的坐標(biāo)，需要計(jì)算PS與SP的值，已知△PSP'為直角三角形，且斜邊PP'的斜率已知，長度為6.35mm，因此可直接求得PS與SP'的值，如式（14）所示

將PS的值與PP2相加，就得到了鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)P'與端面的距離P'P2'；將SP'的值與PP1相加，就得到了鏡面實(shí)際接觸點(diǎn)P'與光軸距離r。此時(shí)，再將r代入到式（11）中，就可得到此時(shí)P'點(diǎn)到頂點(diǎn)的縱向距離ι。P'P2'與ι的和，就是待測鏡頂點(diǎn)與端面外圓圓心點(diǎn)的縱向距離結(jié)合端面外圓圓心點(diǎn)坐標(biāo)，就可求得待測鏡頂點(diǎn)的位置坐標(biāo)。

在測試實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)靶球與待測非球面鏡面的接觸點(diǎn)均可求得一個(gè)待測鏡頂點(diǎn)的位置坐標(biāo)，一般接觸點(diǎn)選取不同環(huán)帶進(jìn)行測量，每個(gè)環(huán)帶至少六個(gè)接觸點(diǎn)，測量接觸點(diǎn)的不同對頂點(diǎn)擬合的影響在下文4.3 節(jié)中分析。

最后，測量出的圖1 中干涉儀會聚點(diǎn)到補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡前表面的距離L1（短焦距離）、干涉儀會聚點(diǎn)到非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離L，根據(jù)已知的補(bǔ)償器厚度，由L3=L–L1–L2得出補(bǔ)償器場鏡后表面到非球面反射鏡頂點(diǎn)的距離L3（長焦距離）。將L1和L3以及非球面面形測試數(shù)據(jù)中的離焦量和初級球差代入到光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中進(jìn)行優(yōu)化，便能得到實(shí)測的頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)。

3 測試實(shí)驗(yàn)

測試實(shí)驗(yàn)選用口徑1.5m 帶有中心孔的軸對稱非球面反射鏡，非球面頂點(diǎn)曲率半徑R0設(shè)計(jì)值為4250.733mm，二次非球面系數(shù)K設(shè)計(jì)值為–0.5198。測試實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場如圖7 所示，由激光干涉儀，補(bǔ)償器，待測非球面鏡，激光跟蹤儀以及激光跟蹤儀靶球五部分組成。激光跟蹤儀的基礎(chǔ)測試精度為15μm，并在儀器測量距離每增加1m 的情況下測試精度增加6μm。待測非球面鏡面形采用offner 球面波補(bǔ)償器測試，圖8 為檢測系統(tǒng)在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax 中的光路圖。

圖7 測試實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場Fig.7 The experiment site map

圖8 1.5m 待測非球面鏡檢測光路Fig.8 A 1.5m aspherical mirror detection light path diagram

圖9 激光跟蹤儀靶球中心與干涉儀會聚點(diǎn)重合時(shí)靶球的面形圖Fig.9 The target ball surface figure when the center of the target ball and the convergence point of the interferometer coincide

將干涉儀會聚點(diǎn)、待測非球面頂點(diǎn)與補(bǔ)償器調(diào)至同軸，保證待測非球面面形的初級彗差項(xiàng)不大于0.02λ；按圖2 在干涉儀會聚點(diǎn)處放置激光跟蹤儀靶球，按2.2（1）調(diào)整靶球中心與干涉儀會聚點(diǎn)重合，激光跟蹤儀靶球中心與干涉儀會聚點(diǎn)重合時(shí)靶球的面形見圖9，圖9中離焦量為–0.0007λ；然后用激光跟蹤儀測量短焦距離L1，并調(diào)整L1至補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)值；固定L1，調(diào)整L3的大小直至測試的待測非球面面形中的離焦量值小于0.01λ，測試待測非球面面形，圖10 給出了實(shí)測的面形圖，其中離焦量為0.0126λ、初級球差為–0.0199λ；測量此時(shí)的L，計(jì)算出長焦距離L3。最后將測試得到的L1和L3帶到光學(xué)設(shè)計(jì)軟件建立的offner 補(bǔ)償器檢測系統(tǒng)中，在系統(tǒng)波像差中以實(shí)測的離焦量和初級球差值為優(yōu)化目標(biāo)，以頂點(diǎn)曲率半徑與二次非球面系數(shù)為優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，就可以得到優(yōu)化后的頂點(diǎn)曲率半徑與二次非球面系數(shù)的值，以此作為幾何參數(shù)的實(shí)測值。表1 給出上述實(shí)驗(yàn)的測試結(jié)果。

圖10 待測非球面鏡面形檢測圖Fig.10 The aspheric mirror surface figure

表1 實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果Tab.1 Experimental test results

4 誤差分析

對上述測試實(shí)驗(yàn)中待測非球面鏡幾何參數(shù)的測試誤差進(jìn)行分析。頂點(diǎn)曲率半徑與二次非球面系數(shù)的測量誤差源主要包括補(bǔ)償器參數(shù)誤差ε1、干涉儀出射球面波會聚點(diǎn)到補(bǔ)償器距離（短焦距離）測量誤差ε2、補(bǔ)償器到待測非球面頂點(diǎn)距離（長焦距離）測量誤差ε3[22-23]?？紤]到ε1、ε2、ε3非相關(guān)，幾何參數(shù)的綜合測試誤差ε按式（15）計(jì)算

4.1 補(bǔ)償器參數(shù)誤差引起的幾何參數(shù)測量誤差ε1

實(shí)驗(yàn)所用的補(bǔ)償器由兩片透鏡組成，透鏡各面面形均達(dá)到補(bǔ)償器設(shè)計(jì)要求。影響非球面幾何參數(shù)測量誤差的補(bǔ)償器參數(shù)誤差主要包括透鏡的曲率半徑、厚度、材料折射率和補(bǔ)償器的裝調(diào)誤差，補(bǔ)償器的裝調(diào)誤差包括兩片透鏡的鏡間距、偏心和傾斜誤差。由補(bǔ)償器參數(shù)誤差引起的幾何參數(shù)的測量誤差見表2。

4.2 短焦距離誤差引起的幾何參數(shù)測量誤差ε2

利用激光跟蹤儀對干涉儀出射球面波的會聚點(diǎn)到補(bǔ)償器補(bǔ)償鏡前表面（平面）的距離L1（短焦距離）進(jìn)行了12 次重復(fù)測量，單次測量數(shù)據(jù)與測量平均值的偏差見圖11。按式（16）計(jì)算短焦距離12 次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ1

式中σ1為短焦距離的標(biāo)準(zhǔn)偏差；s為測量次數(shù)；此處s=12；Eκ為第κ次的測量值；為s次測量的平均值。

表2 補(bǔ)償器參數(shù)誤差對幾何參數(shù)的影響Tab.2 Influence of compensator measurement tolerances on geometric parameters

將短焦距離12 次測量的平均值143.285mm 及圖11中每次測量值與平均值的偏差帶入式（16），得到σ1=0.0032mm。

取擴(kuò)展因子為3，此時(shí)置信概率為99.73%，短焦距離測量誤差ΔL1=3σ1=0.01mm。

短焦距離測量誤差對待測非球面幾何參數(shù)的影響見表3。

圖11 短焦距離重復(fù)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.11 Short-focus distance repeatability test results

表3 短焦距離測量誤差的對幾何參數(shù)的影響Tab.3 Influence of short focus distance measurement errors on geometric parameters

4.3 長焦距離誤差引起的幾何參數(shù)測量誤差ε3

由圖1 可知，長焦距離L3=L–L1–L2。

長焦距離L3的測量誤差源有兩個(gè)，一個(gè)是待測非球面頂點(diǎn)坐標(biāo)的擬合誤差u1；另一個(gè)是激光跟蹤儀測量的擬合非球面頂點(diǎn)到干涉儀會聚點(diǎn)的距離L的誤差u2。

將本文算法擬合的待測鏡頂點(diǎn)至待測鏡前端面矢高與三坐標(biāo)測試的非球面頂點(diǎn)至相同端面矢高進(jìn)行比對（見表4），以比對差值作為u1。

表4 待測非球面鏡頂點(diǎn)位置擬合誤差對比分析結(jié)果Tab.4 Comparison analysis results of the mirror vertex position

利用激光跟蹤儀對于擬合非球面頂點(diǎn)到干涉儀會聚點(diǎn)的距離L進(jìn)行了18 次重復(fù)測量，單次測量數(shù)據(jù)與測量平均值的偏差見圖12。按式（16）計(jì)算長焦距離18 次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ2。

圖12 長焦距離重復(fù)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.12 Long-focus distance repeatability test results

將長焦距離18 次測量的平均值4379.776mm 及圖12 中每次測量值與平均值的偏差帶入式（16），得到長焦距離測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ2=0.011mm。

取擴(kuò)展因子為3，此時(shí)置信概率為99.73%，擬合非球面頂點(diǎn)到干涉儀會聚點(diǎn)的距離L的測量誤差u2為3σ2=0.033mm。

考慮到u1、u2非相關(guān)，長焦距離L3的測量誤差ΔL3按式（17）進(jìn)行計(jì)算。

將u1=0.01mm 和u2=0.033mm 代入式（17）得，ΔL3=0.035mm。

將ΔL3=0.035mm 代入檢測光學(xué)系統(tǒng)，計(jì)算長焦距離L3測量誤差對待測非球面幾何參數(shù)的影響，計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 長焦距離測量誤差的對幾何參數(shù)的影響Tab.5 Influence of long focus distance measurement errors on geometric parameters

4.4 幾何參數(shù)綜合測試誤差ε

按式（15）分別計(jì)算頂點(diǎn)曲率半徑和的二次非球面系數(shù)的綜合測試誤差εΔR0和εΔK。將表2、表3、表5 中ε1、ε2、ε3的分析結(jié)果代入式（15），得到：

通過以上分析得到，對于本文的測試實(shí)驗(yàn)，用激光跟蹤儀測量待測非球面鏡頂點(diǎn)曲率半徑的測試誤差為±0.051mm、二次非球面系數(shù)的測試誤差為±0.00011。

將本文表1 中頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)測試結(jié)果與同一塊待測非球面鏡用測量桿測試的結(jié)果進(jìn)行比對，測試所用的offner 補(bǔ)償器為同一套。比對結(jié)果見表6。兩種方法頂點(diǎn)曲率半徑測量值相差0.083mm，二次非球面系數(shù)測量值相差0.000098。

表6 兩種方法測量幾何參數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比對Tab.6 Comparison of experimental results of two methods measuring geometric parameters

5 結(jié)束語

本文在offner 補(bǔ)償器非球面面形測試光路中，對利用激光跟蹤儀測量大口徑非球面反射鏡頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)的方法進(jìn)行了研究，確定了包含所需測試參量的測量模型，給出了激光跟蹤儀測量軸對稱非球面反射鏡頂點(diǎn)坐標(biāo)的擬合算法，并對一塊頂點(diǎn)曲率半徑4m 量級的非球面反射鏡進(jìn)行了幾何參數(shù)測試實(shí)驗(yàn)，給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果及測試誤差分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用激光跟蹤儀及本文的非球面頂點(diǎn)擬合算法，所測的待測非球面頂點(diǎn)至待測鏡前端面的矢高與三坐標(biāo)測試的結(jié)果僅相差0.01mm；誤差分析表明，對于143mm 的短焦距離和4380mm 的長焦距離，激光跟蹤儀的測試誤差分別為±0.01mm 和±0.035mm；通過分析補(bǔ)償器參數(shù)誤差、短焦距離及長焦距離測試誤差對非球面幾何參數(shù)測試誤差的綜合影響，得出本文所測非球面鏡頂點(diǎn)曲率半徑的測試誤差為±0.051mm，二次非球面系數(shù)的測試誤差為±0.00011。通過測試實(shí)驗(yàn)可以看出，利用激光跟蹤儀靶球與干涉儀自準(zhǔn)直測量，可以準(zhǔn)確測出球面波會聚點(diǎn)的坐標(biāo)，減少了測桿法對測試人員刀口陰影判定經(jīng)驗(yàn)的依賴；由于激光跟蹤儀在長距離測試精度上具有明顯優(yōu)勢，利用激光跟蹤儀測量長曲率半徑非球面的幾何參數(shù)具有工程上容易實(shí)現(xiàn)、可以提高測試精度等優(yōu)點(diǎn)。