溫中凱 張慶君 李爽 雷文平 黃穎

（1 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016）（2 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）（3 北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

0 引言

五棱鏡具有使主截面內(nèi)光路垂直折轉(zhuǎn)且不產(chǎn)生鏡像的光學(xué)特性[1]，在工程中應(yīng)用十分廣泛，如采用五棱鏡掃描法進(jìn)行波前檢測[2-4]、利用五棱鏡的折轉(zhuǎn)特性進(jìn)行平行光管的焦面監(jiān)測[5-6]、利用五棱鏡檢測光學(xué)元件面形[7-10]等。在空間光電跟瞄系統(tǒng)中，常利用大口徑平行光管與五棱鏡的組合來進(jìn)行各光電子系統(tǒng)的光軸平行性標(biāo)校，五棱鏡的制造誤差將直接影響多光軸平行性的標(biāo)校精度，因此，需要對五棱鏡進(jìn)行誤差分析以修正測試結(jié)果。

目前，普遍認(rèn)為五棱鏡對光線折轉(zhuǎn)影響最大的誤差源是五棱鏡的角度制造誤差，該誤差會(huì)影響五棱鏡的一維不變性，造成轉(zhuǎn)角誤差，進(jìn)而影響測試結(jié)果的精度。針對當(dāng)前計(jì)算五棱鏡角度制造誤差影響的方法混亂，各方法計(jì)算精度不高的情況，本文從各方法的理論基礎(chǔ)入手，結(jié)合工程中實(shí)際應(yīng)用的五棱鏡，給出了相應(yīng)的計(jì)算公式、計(jì)算范圍以及計(jì)算誤差，并推導(dǎo)了一種在所有情況下計(jì)算結(jié)果均與真值相等的新方法，對實(shí)際工程應(yīng)用具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

1 光線轉(zhuǎn)角誤差的幾種常規(guī)算法

五棱鏡是常見的光束定角度轉(zhuǎn)向器之一，有兩個(gè)折射面和兩個(gè)反射面，光線經(jīng)理想五棱鏡的兩次折射與兩次反射后可折轉(zhuǎn)90°，其主截面示意如圖1 所示。

圖1 理想五棱鏡主截面示意Fig.1 Sketch of principal section for ideal pentaprism

工程應(yīng)用中的五棱鏡不可能絕對理想，制造誤差主要體現(xiàn)為主截面內(nèi)的∠A、∠B、∠E和∠F與理想值不同。角度制造誤差的存在，將改變五棱鏡的光線恒轉(zhuǎn)特性，直接影響五棱鏡的工程應(yīng)用結(jié)果，故有必要對其影響進(jìn)行計(jì)算以修正測試數(shù)據(jù)。

1.1 理論求解方法[11-12]

五棱鏡光線追跡法是一種以矢量折反射定律作為理論基礎(chǔ)來求解光線轉(zhuǎn)角誤差的方法，也是公認(rèn)的理論求解方法，其結(jié)果可作為真值用于評價(jià)其他方法的計(jì)算精度。

設(shè)存在角度制造誤差的五棱鏡為ABCDE—A′B′C′D′E′，其共有4個(gè)工作面，按照與光線接觸的先后順序分別設(shè)為P1～P4，各工作面的法向量分別設(shè)為N1～N4。以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，P1為YOZ面，ABCDE面為XOY面建立如圖2 所示的空間直角坐標(biāo)系。

圖2 五棱鏡作用光路Fig.2 Light path map of pentaprism

由圖2可知，光線被4個(gè)工作面分成了5部分，按照先后順序分別設(shè)各光線的單位方向向量為Ri(mi,ni,pi)，其中i=(1,2,3,4,5)，mi,ni,pi分別為Ri正向與X、Y、Z坐標(biāo)軸正向夾角的余弦，由空間解析幾何可得各工作面的法向量分別為

式中δ90°、δB、δE和δ45°分別為圖1 所示的五棱鏡主截面內(nèi)∠A、∠B、∠E和∠F這4個(gè)角的制造誤差。

對各個(gè)工作面依次應(yīng)用矢量折反射定律，可得存在角度制造誤差五棱鏡的出射光線向量求解公式為

則五棱鏡角度制造誤差所產(chǎn)生的真實(shí)光線轉(zhuǎn)角誤差θ為

1.2 工程中常用的幾種方法

雖然理論求解方法的計(jì)算結(jié)果為真值，但卻占用了較大的計(jì)算資源，故實(shí)際應(yīng)用中常采用其他方法來分析五棱鏡角度制造誤差所產(chǎn)生的光線轉(zhuǎn)角誤差。目前常用的方法有二倍反射角法、第一光學(xué)平行差法、綜合開方法、展開平板光楔法、展開平板光線追跡法、幾何關(guān)系分析法、泰勒展開近似法等。

（1）二倍反射角法[13-14]

二倍反射角法認(rèn)為，五棱鏡屬于二次反射棱鏡，作用相當(dāng)于一個(gè)雙面鏡，其出射光線與入射光線的夾角取決于兩個(gè)反射面的夾角，即光線的轉(zhuǎn)角誤差由δ45°決定，計(jì)算公式為

此法僅需對δ45°進(jìn)行單獨(dú)測量便可估計(jì)光線的轉(zhuǎn)角誤差，節(jié)省了工程量，但精度不高。

（2）第一光學(xué)平行差法[15-16]

第一光學(xué)平行差法認(rèn)為主截面內(nèi)的光線轉(zhuǎn)角誤差的大小與δ90°和δ45°有關(guān)，同時(shí)也受五棱鏡折射率n的影響，具體計(jì)算公式為

該方法綜合考慮了折射率和角度制造精度的影響，精度較高，但沒有考慮光線入射角的影響。

綜合開方法認(rèn)為五棱鏡的光線轉(zhuǎn)角誤差主要由δ45°與δ90°所決定，兩者各自產(chǎn)生的誤差分別為2δ45°和所產(chǎn)生的綜合誤差為

該法與二倍反射角法類似，雖計(jì)算方便，但計(jì)算精度不高。

（4）展開平板光楔法[19-21]

展開平板光楔法認(rèn)為存在角度制造誤差的五棱鏡可展開成一個(gè)光楔（見圖3），光線轉(zhuǎn)角誤差由五棱鏡展開平行平板楔角和五棱鏡折射率n決定，計(jì)算公式為

該方法便于進(jìn)行五棱鏡和其他光學(xué)組件的綜合光路分析，但沒有考慮光線入射角的影響。

（5）展開平板光線追跡法[22]

展開平板光線追跡法認(rèn)為光線轉(zhuǎn)角誤差不僅與平板楔角α和五棱鏡折射率n有關(guān)，還與入射角I的取值有關(guān)。光線的作用過程如圖4 所示，圖中I′為出射角。由圖4 所示幾何關(guān)系可得光線轉(zhuǎn)角誤差為

圖3 五棱鏡展開示意Fig.3 Expanded schematic of pentaprism

圖4 展開平板光線追跡示意Fig.4 Ray tracing diagram of unrolled plate

該方法易于進(jìn)行五棱鏡和其他光學(xué)組件的綜合光路分析，但不適合δ45°值較大的五棱鏡使用。

行方式由傳統(tǒng)模式向“四化”模式轉(zhuǎn)變，功圖計(jì)量系統(tǒng)應(yīng)用代替了傳統(tǒng)人工計(jì)量、計(jì)量站計(jì)量。遠(yuǎn)程采集控制終端（RTU）應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)自動(dòng)傳輸和遠(yuǎn)程控制，提升了智能化管理；視頻監(jiān)視系統(tǒng)應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)場監(jiān)控及可視化管理。

（6）幾何關(guān)系分析法[23-24]

該方法通過分析五棱鏡主截面光線的折轉(zhuǎn)情況，根據(jù)圖 5 所示的幾何關(guān)系推導(dǎo)出光線轉(zhuǎn)角誤差為

幾何關(guān)系分析法的精度較高，但其計(jì)算公式只通過一種形式的光路推導(dǎo)得出，說服力不足。

（7）泰勒展開近似法[25]

根據(jù)幾何知識(shí)，并結(jié)合多項(xiàng)式泰勒展開，光線轉(zhuǎn)角誤差θ可近似表示為

式中n1，n2分別為五棱鏡外部環(huán)境的折射率和五棱鏡折射率。該方法精度較高，且主要應(yīng)用于外部環(huán)境非真空或非空氣的場景下。

圖5 五棱鏡光路幾何關(guān)系Fig.5 Geometric relation of pentaprism optical path

2 幾何符值法

本文以空間解析幾何為基礎(chǔ)，代入符號(hào)規(guī)則推導(dǎo)了一種既可描述所有可能情況，計(jì)算結(jié)果又與真值相吻合的計(jì)算角度制造誤差影響的方法。推導(dǎo)過程中所有角度的符號(hào)均采用國家標(biāo)準(zhǔn)（GB/T·1224-1999）的規(guī)則，并按標(biāo)準(zhǔn)對光線與法線夾角的符號(hào)正負(fù)做出了如下規(guī)定：由光線以銳角方向轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。故可根據(jù)五棱鏡入射角I1和出射角I4′的符號(hào)正負(fù)進(jìn)行組合分類，有4 種可能的情況：該4 種情況的光線示意如圖6所示。

對于組合①，即I1＞0 、I4′ ＞0時(shí)，在P1面上應(yīng)用折射定律有為光線在P1面上的折射角），過點(diǎn)F、G分別作P1面、P2面的法線NF、NG交于點(diǎn)H，將符號(hào)規(guī)則代入幾何關(guān)系進(jìn)行分析計(jì)算可得光線在P2面上的反射角I2′為

圖6 五棱鏡幾何光路示意Fig.6 The diagram of pentaprism geometric light path

過點(diǎn)J作P3面的法線NJ交NG于點(diǎn)K，同理分析得光線在該面上的反射角I3′為

過點(diǎn)L作P4面的法線NL交NJ于點(diǎn)M，同理分析得光線在該面上的入射角I4為

對P4面應(yīng)用折射定律有nsinI4=sinI4′，延長R1與R5交于點(diǎn)N，則R1順時(shí)針轉(zhuǎn)到R5即為光線的折轉(zhuǎn)角β，且有

又知δ90°+δ45°+δE+δB=0，則光線轉(zhuǎn)角誤差為θ=β- 90°，即

同理，對組合②、③、④依次分析，所得光線轉(zhuǎn)角誤差計(jì)算公式形式完全相同。

3 各求解方法對比分析

工程中五棱鏡的使用往往需要計(jì)算光線通過不同位置或者持續(xù)變化狀態(tài)下五棱鏡出射光線的變化，所以有必要研究不同入射角條件下轉(zhuǎn)角誤差的變化情況。本文分析所使用的五棱鏡材料為K9，角度制造精度為20″，光波波長為632.8nm，K9 玻璃在該波長下的介質(zhì)折射率為1.515088。根據(jù)符號(hào)規(guī)則，分別設(shè)定入射角I的取值范圍為±5°、±0.5°和0°，并把這三種情況下各方法的計(jì)算誤差（各方法所得結(jié)果與真值的差值范圍）進(jìn)行整理，結(jié)果如表1 所示。

表1 各方法在不同入射角條件下的計(jì)算誤差Tab.1 The calculation errors of each method under different incident angles單位：（″）

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可得幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1）五棱鏡的光線轉(zhuǎn)角誤差僅由δ90°、δ45°以及光線入射角決定，而與Eδ和Bδ無關(guān)。

2）二倍反射角法、綜合開方法、展開平板光楔法、展開平板光線追跡法的計(jì)算結(jié)果存在極大的超差，不建議進(jìn)行使用。

3）第一光學(xué)平行差法、幾何關(guān)系分析法、泰勒展開近似法以及本文所推導(dǎo)的幾何符值法均有較高的計(jì)算精度。

為了進(jìn)一步分析各方法的優(yōu)劣，將I的范圍定為±5°，分析上述這4 種精度較高的方法在五棱鏡角度制造精度為100″、300″、500″時(shí)的計(jì)算誤差（結(jié)果見表2）。

表2 不同制造精度條件下4 種方法的計(jì)算誤差Tab.2 The calculation errors of the four methods under different manufacturing precision conditions單位：（″）

由表2 可知，隨著五棱鏡角度制造精度的降低，第一光學(xué)平行差法、幾何關(guān)系分析法、泰勒展開近似法的計(jì)算誤差均隨之增大，其中第一光學(xué)平行差法的超差最為嚴(yán)重，另外兩種方法的超差幅度大致相同。而本文所推導(dǎo)的幾何符值法無論光線入射角亦或是角度制造誤差如何變化，計(jì)算誤差始終保持在（10?10）″的量級，且該誤差可認(rèn)為是程序算法的舍入誤差，故可認(rèn)為該方法所計(jì)算的結(jié)果恒為真值，在現(xiàn)有眾多方法中屬最優(yōu)。

運(yùn)用本文所給的幾何符值法對角度制造精度為20″、100″、300″、500″的五棱鏡分別進(jìn)行分析，可得0°、±0.5°、±5°入射角范圍下所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角誤差計(jì)算范圍（如表3 所示）。

表3 不同入射角與制造精度對應(yīng)的轉(zhuǎn)角誤差計(jì)算范圍Tab.3 The calculation ranges of steering angle error corresponding to different incident angle and manufacturing accuracy單位：（″）

將±0.5°、±5°入射角范圍下的計(jì)算結(jié)果與0°入射角的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，可得入射角所產(chǎn)生的附加誤差，如表4 所示。

表4 附加誤差統(tǒng)計(jì)表Tab.4 Statistical table of additional error單位：（″）

通過比較表3～4 中不同制造精度的五棱鏡在入射角為0°、±0.5°、±5°條件下的轉(zhuǎn)角誤差與附加誤差計(jì)算結(jié)果，可以看出：光線轉(zhuǎn)角誤差主要由五棱鏡制造精度決定，而與光線入射角的關(guān)系不大；當(dāng)五棱鏡的角度制造精度為20″時(shí)，±5°的入射角變化僅產(chǎn)生0.1971″的附加誤差，相對誤差僅為0.28%；當(dāng)五棱鏡的制造精度較低，比如當(dāng)五棱鏡的角度制造精度為500″時(shí)，±5°的入射角變化會(huì)產(chǎn)生5.5272″的附加誤差，相對誤差僅為0.31%，均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于角度制造誤差所帶來的影響。

4 結(jié)束語

本文對當(dāng)前工程中常用的分析五棱鏡角度制造誤差影響的方法進(jìn)行了介紹，給出了各方法計(jì)算光線轉(zhuǎn)角誤差的理論基礎(chǔ)以及計(jì)算誤差，并結(jié)合符號(hào)規(guī)則推導(dǎo)了一種任意光線入射角、任意角度制造誤差下計(jì)算結(jié)果均為真值的新方法，對比分析結(jié)果顯示該方法在當(dāng)前所有計(jì)算五棱鏡角度制造誤差影響的方法中屬最優(yōu)。此外，通過對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：五棱鏡的光線轉(zhuǎn)角誤差僅由δ90°、δ45°以及光線入射角決定，而與Eδ和Bδ無關(guān)；光線轉(zhuǎn)角誤差的大小主要取決于五棱鏡角度制造精度，而與光線入射角的關(guān)系不大。