陳娟

[摘要]關(guān)于兩位數(shù)乘法計(jì)算，學(xué)生大多數(shù)只掌握了算法，卻對(duì)算理知之甚少，這在很大程度影響了學(xué)生對(duì)乘法的運(yùn)用和掌握。為此，在教學(xué)中可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀的圖形演示，促進(jìn)學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，進(jìn)而掌握算理并將其逐步內(nèi)化成算法。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;乘法計(jì)算;算理;算法

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）14-0069-02

《課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中指出：義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征，即數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本角度，與其說(shuō)是方法，不如說(shuō)是基本要求。

最近筆者聽了“有趣的乘法計(jì)算”一課，該課是蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)第18、19頁(yè)的內(nèi)容，包括兩位數(shù)乘11的算法、“首同尾合十”的算法、（a+1）×（a-1）=a×a-1的算法，從課堂反饋來(lái)看學(xué)生對(duì)每一種算法的理解都不是很透徹。而筆者在六年級(jí)的數(shù)學(xué)課堂上也出示過(guò)這三類問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘11的算法還有一點(diǎn)印象，而對(duì)其他兩種算法則完全不記得了，更別提運(yùn)用了。結(jié)合六年級(jí)學(xué)生的現(xiàn)狀，反思所聽的課，筆者以為對(duì)于算理的透徹理解要擺在首位，只有在理解算理的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)算法的印象才會(huì)深刻，才能從記憶走向運(yùn)用。下面，筆者從理解算理的角度談一談對(duì)于“有趣的乘法計(jì)算”教學(xué)的調(diào)整與反思。

【案例描述】

教學(xué)片段一：兩位數(shù)乘11的算法

（1）列豎式計(jì)算下面一組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

16×11 43×11 78×11 96×11 24×11

讓學(xué)生用豎式計(jì)算并核對(duì)答案后思考：積的每一位上的數(shù)和原來(lái)的兩位數(shù)相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？先自己想想，再和同桌說(shuō)說(shuō)。

（2）匯報(bào)交流：積的個(gè)位是__;積的十位是__;積的百位是__。

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：積的個(gè)位是原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù);積的百位是原來(lái)兩位數(shù)十位上的數(shù);積的十位是原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)的和。

（3）猜一猜53×11的積，你是怎樣想的？

根據(jù)上面總結(jié)的規(guī)律，猜想53×11=583，并用豎式驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)猜想正確，進(jìn)一步總結(jié)規(guī)律，簡(jiǎn)化為“兩頭一拉，中間相加”。

（4）猜一猜64×11的積，說(shuō)說(shuō)想法。

師：你覺(jué)得64x11=6104的算法對(duì)嗎？

生1：不對(duì)，因?yàn)閮晌粩?shù)乘兩位數(shù)，不可能得到四位數(shù)。（此錯(cuò)誤教師和學(xué)生均沒(méi)有發(fā)現(xiàn)）

生2：我是估算的，64接近60，11接近10，它們的積會(huì)比600大一些.但6104太大了。

師：這里的計(jì)算過(guò)程和前面有什么不同？

生3：十位上滿十要進(jìn)一。

（學(xué)生列豎式計(jì)算，得到結(jié)果為704）

師：這里百位上的6為什么變成了7，多出的1從哪里來(lái)的？

（完善算法：兩頭一拉，中間相加，十位滿十，百位加一）

教學(xué)片段二：探索“首同尾合十”的算法

出示：22×28 47×43 41×49 56×54 62×18

師：觀察每個(gè)算式中的兩個(gè)乘數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：兩個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)相同。

生2：個(gè)位上的數(shù)相加等于10。

師：像這樣的算式，叫首同尾合十算式。

師（出示上面算式的得數(shù)）：積和原來(lái)的兩位數(shù)相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？其中究竟藏著怎樣的秘密呢？積的末兩位是怎么算出來(lái)的？積的末兩位前面的數(shù)呢？

師：當(dāng)兩個(gè)兩位數(shù)相乘，十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)之和為10時(shí)，積的末兩位等于兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的積，積的末兩位前面的數(shù)等于原來(lái)乘數(shù)十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)的乘積。

猜答案：35×35 45×45 25×25 15x15 55×55

教學(xué)片段三：探索（a+1）×（a-1）=a×a-1的算法

出示：64×66 74×76 84×86

師：運(yùn)用“首同尾合十”的算法迅速填寫結(jié)果，然后再說(shuō)說(shuō)是如何快速而準(zhǔn)確地完成的。

師：當(dāng)兩個(gè)兩位數(shù)相乘，十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)相差2時(shí)，乘積為兩個(gè)乘數(shù)的平均數(shù)的平方與1的差。

【案例反思】

同一節(jié)課的三個(gè)教學(xué)片段，都是以“計(jì)算多個(gè)同類型題，觀察結(jié)果，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律”為主線貫穿全課教學(xué)。學(xué)生并不能經(jīng)過(guò)自主交流進(jìn)而發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，片段一中雖然有一小部分學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但卻出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤的想法：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，不可能等于四位數(shù);存在一個(gè)疑問(wèn)：對(duì)于64×11=6104，為什么學(xué)生在豎式中會(huì)把十位進(jìn)的1和百位的6相加，而在口算中卻會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤？而片段二和片段三的學(xué)習(xí)內(nèi)容難度較大，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，全部由教師來(lái)總結(jié)。究其原因，主要還是學(xué)生只掌握了兩位數(shù)乘法計(jì)算的算法，卻對(duì)算理知之甚少。

那么，如何幫助學(xué)生理解算理呢？一方面可根據(jù)學(xué)生的年齡特征將本課分解成兩個(gè)課時(shí)，另一方面，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀的圖形演示，促進(jìn)學(xué)生思考，同時(shí)抓住知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，用清晰、具體的實(shí)物操作來(lái)演繹算理，再逐步將算理內(nèi)化成算法。

1.數(shù)形結(jié)合，遵循兒童認(rèn)知規(guī)律

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論指出：具體運(yùn)算階段是指七到十一歲的兒童的認(rèn)知發(fā)展階段。這一階段，兒童能根據(jù)邏輯法則進(jìn)行推理，但這種思維能力僅局限于具體情境或熟悉的經(jīng)驗(yàn)。舉個(gè)例子：如果問(wèn)一個(gè)三年級(jí)的學(xué)生“A>B，C

2.數(shù)形結(jié)合，具象表征演示算理

以13×11為例，從乘法的意義上理解，它就是11個(gè)13相加的和，以小正方體來(lái)演示（如圖1），單個(gè)單個(gè)的小正方體有11個(gè)3塊，其中有10個(gè)3塊可以拼成3個(gè)十，再把這3個(gè)十和原有的11個(gè)十相加（如圖2），其中10個(gè)十滿100可以拼成1板，也就一個(gè)百，即向百位進(jìn)一，此時(shí)十位上還有剩下的1個(gè)十和個(gè)位進(jìn)上來(lái)的3個(gè)十，所以十位上是4個(gè)十（如圖3）。以此過(guò)程來(lái)演繹“兩頭一拉，中間相加”的算法，既直觀又形象。

以具體的圖形擺一擺、圈一圈的形式，使學(xué)生能夠自主總結(jié)抽象出“兩頭一拉，中間相加”的算理。此時(shí)再結(jié)合豎式來(lái)觀察結(jié)果，則算理和算法的關(guān)系自然打通。

3.數(shù)形結(jié)合，演繹推理深度思考

波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面……用歐幾里得方式提出來(lái)的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！币虼耍c之對(duì)應(yīng)的應(yīng)該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;用演繹推理驗(yàn)證猜想，證明結(jié)論。上述三個(gè)教學(xué)片段中，教師都試圖引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算，比較不同的算式，總結(jié)計(jì)算規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)合情推理的過(guò)程。但學(xué)生難免疑惑：這一類型的計(jì)算都有這樣的規(guī)律嗎？有沒(méi)有不一樣的？此時(shí)，需要一個(gè)由具體數(shù)值計(jì)算到符號(hào)公式表達(dá)的過(guò)程。小學(xué)階段，學(xué)生只是初步接觸演繹推理，只能借助圖形讓其感知計(jì)算規(guī)律的一般性。

例如，探索“首同尾合十”算法和（a+1）×（a-1）=a×a-1的計(jì)算規(guī)律時(shí)（以26×24為例），可進(jìn)行如下處理：大長(zhǎng)方形面積為26×24（如圖4），可以看作是20～20的一個(gè)正方形和三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和，通過(guò)把圖5中面積為6×20的小長(zhǎng)方形移動(dòng)到圖6中對(duì)應(yīng)的位置，可得大長(zhǎng)方形面積為20×（20+4+6）+4×6，即20×30+4×6。通過(guò)圖形可知“首同”即為正方形邊長(zhǎng)的整十?dāng)?shù)，無(wú)論幾十都可以;“尾合十”，可以把圖上的4+6換成3+7、2+8、1+9、5+5，驗(yàn)證可得總結(jié)出來(lái)的規(guī)律都是適用的。

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么就整體地把握了問(wèn)題，并能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法?！币孕未偎?，演繹算理，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程，可有效夯實(shí)其對(duì)算理、算法的掌握，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率。

（責(zé)編：羅艷）