章劉飛

[摘要]“和差問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典問題，傳統(tǒng)教學(xué)重點(diǎn)是告訴學(xué)生“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2”，缺少過程性的探究。在“和差問題”的教學(xué)中，教師基于學(xué)生從直觀地湊數(shù)到一一列舉再到數(shù)學(xué)推理建構(gòu)新方法，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、驗(yàn)證、應(yīng)用的過程，可有效幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]和差問題;直觀經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)推理

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）14-0052-03

人教版教材六年級(jí)下冊(cè)在“數(shù)學(xué)思考”這個(gè)單元的練習(xí)中安排了這樣一道題目：

〇、口、△各代表一個(gè)數(shù)，根據(jù)下面的已知條件，求〇、口、△的值。

（1）〇+口=91 （2）口-〇=8

△+口=63 口+〇=12

△+〇=46 △=口+口+〇

對(duì)于第（1）小題，常規(guī)的解答方法是把三個(gè)等式“=”左邊的圖形加起來，“=”右邊的得數(shù)加起來，從而知道〇+口+△的和是多少，然后再求每個(gè)圖形的值。還有一種方法是把前兩個(gè)等式“=”左邊的圖形相減，“=”右邊的得數(shù)相減，得到第四個(gè)等式“〇一△=28”，然后把第三和第四個(gè)等式“=”左邊的圖形加起來，“=”右邊的得數(shù)加起來，從而得到〇+〇的和是多少，最后再求每個(gè)圖形的值。

對(duì)于第（2）小題，常規(guī)的解答方法是把前兩個(gè)等式“=”左邊的圖形加起來，“=”右邊的得數(shù)加起來，從而得到口+口的和是多少，然后再求每個(gè)圖形的值。當(dāng)然還有一些學(xué)生是用“湊數(shù)”的方法，先思考滿足“口-〇=8”的可能答案，然后再思考滿足“口+〇=12”的可能答案，兩個(gè)都滿足要求，就得到正確的答案了。

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般喜歡用“湊數(shù)”的方“必然”的過程，讓學(xué)生相信這不是一種“湊巧”，而是一種必然的經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

出示問題：一個(gè)筆袋和一本練習(xí)本一共12元，一個(gè)筆袋比一本練習(xí)本貴6元，一個(gè)筆袋（）元，一本練習(xí)本（）元。

交流：你是用什么方法解決這道題的？

（1）快速列舉法：9+3=12，9-3=6。

（2）一一列舉法：如11+1，減法不對(duì);10+2，減法不對(duì)，9+3，減法對(duì)。

（3）筆袋+筆袋：12+6=18（元），所以一個(gè)筆袋是9元;練習(xí)本+練習(xí)本=12-6=6（元），所以一本練習(xí)本是3元。

師：你可以用自己喜歡的方法解題，但更要考慮如何既正確而又快速地求得答案。

師：那像這樣的加減法算式，都有這樣的秘密嗎？可以舉一些例子再驗(yàn)證一下。

（學(xué)生嘗試舉例證明，反饋交流）

小結(jié)并板書：大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2。

【反思：解題方法千萬條，正確快速很關(guān)鍵。學(xué)生基于列舉法學(xué)會(huì)用“和+差”和“和一差”來計(jì)算，這是一種新方法的嘗試，更是一種新經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用。用自己喜歡的數(shù)據(jù)來進(jìn)行驗(yàn)證這種方法的普適性，既是一種過程性的嘗試，更是一種對(duì)結(jié)論的不完全歸納，體現(xiàn)了求真務(wù)實(shí)的科學(xué)精神?！?/p>

（四）課堂總結(jié)，拓展思維

師：今天我們通過仔細(xì)觀察、積極思考，并采用多種方法找到加減法里面的秘密。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是這樣，有了問題，我們就解決問題，在解決問題的過程中，又產(chǎn)生新的問題，只有在問題中不斷尋找結(jié)果，我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)越來越棒?，F(xiàn)在，你看著這張圖片，你心里有新的問題了嗎？

生：乘除法里的問題;減乘相關(guān)的問題;加除相關(guān)的問題……

【反思：帶著問題進(jìn)入課堂，最后帶著問題走出課堂，這不僅是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，更是一種學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)生只有自主思考、合作探究，才能形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高解決問題的能力?！?/p>

【教學(xué)反思】

1.鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)提問。提出問題的意識(shí)貫穿本節(jié)課的始終，可讓學(xué)生養(yǎng)成“想一想”“問一問”“試一試”“驗(yàn)一驗(yàn)”的好習(xí)慣。學(xué)生提出的問題或許沒有教師想象中的那么理想，但是，提著提著，就“提”到核心要素上去了。特別是求兩種物品的單價(jià)，學(xué)生不僅直接問到點(diǎn)子上，而且還能用“猜測”“一一列舉”等方法去解決問題。這樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣必然能促進(jìn)學(xué)生能力的提高。

2.師生合作尋找規(guī)律。要得到“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2”這個(gè)抽象的規(guī)律，必須要經(jīng)歷一定的探究。學(xué)生思考的重點(diǎn)往往是如何得到兩個(gè)不同物品的單價(jià)，而至于是用什么方法求得的，沒有進(jìn)行思考。要使學(xué)生能通過觀察、討論、歸納、應(yīng)用“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2”這個(gè)規(guī)律，就需要師生合作，如數(shù)形結(jié)合“驗(yàn)一驗(yàn)”、開放式舉例“驗(yàn)一驗(yàn)”等。

3.不斷優(yōu)化解題方法。在第一次嘗試解決“口+△=10”的問題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生打破固定的“一個(gè)答案”，讓學(xué)生積極參與解決問題，這樣才會(huì)出現(xiàn)“9+1，8+2，7+3，6+4，5+5，4+6，3+7，2+8，1+9”這9種情況。學(xué)生一是結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為這兩樣物品的單價(jià)可能是多少，還有就是認(rèn)為兩種物品的單價(jià)是固定的，所以只能有一種答案。教師再出示“口-△=2”這一條件，這時(shí)學(xué)生會(huì)嘗試用減法進(jìn)行一一驗(yàn)證，而且理所當(dāng)然地提出：第一件物品是大數(shù)，第二件物品是小數(shù)，所以“5+5，4+6，3+7，2+8，1+9”都是不對(duì)的。學(xué)生對(duì)一一列舉的方法是情有獨(dú)鐘的，甚至有些數(shù)感好的學(xué)生，一下子就想到了答案，這對(duì)建立“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2”這個(gè)規(guī)律，是一個(gè)挑戰(zhàn)。而且解答組合的兩個(gè)等式，學(xué)生以前也是沒有經(jīng)歷過的。為此，教師用遮擋兩個(gè)小數(shù)或兩個(gè)大數(shù)的方式，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、分析，然后再用圓片圖驗(yàn)證，最后讓學(xué)生用自己想的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，通過不斷強(qiáng)化得出的新方法。不管是“一一列舉”，還是“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2”，在這節(jié)課中說不上哪種方法誰更好，但教師要有一種意識(shí)，即得到一種新方法的過程，就是一個(gè)學(xué)習(xí)研究的過程，對(duì)于學(xué)生探究新知識(shí)是一種經(jīng)驗(yàn)積累?？梢灶A(yù)見，對(duì)于解決數(shù)據(jù)比較大的“和差問題”時(shí)，用“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2”還是比較好的。

（責(zé)編：黃春香）