林瓊桂

(中山大學(xué)物理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

磁單極的存在(更嚴(yán)格地說(shuō)是存在至少一種粒子其磁荷與電荷之比與其他粒子不同)導(dǎo)致的一個(gè)重要結(jié)論是電荷的量子化。僅這一點(diǎn)就足以令理論工作者著迷。磁單極從理論上提出[1]至今已經(jīng)接近一個(gè)世紀(jì)，但一直未能在實(shí)驗(yàn)上觀察到。盡管如此，由于理論上的魅力，它還是受到了持續(xù)而廣泛的關(guān)注。

磁單極的磁場(chǎng)B類似于點(diǎn)電荷的電場(chǎng)，形式很簡(jiǎn)單。但是，為了將其納入量子力學(xué)，人們必須找到一個(gè)矢量勢(shì)A來(lái)描述它。另一方面，A的存在性是以方程·B=0為基礎(chǔ)的。既然有了磁單極，后者便不再成立，于是A的存在性就有了疑問(wèn)。如果一定要用A來(lái)描述，那么就難以避免A會(huì)具有某種奇性，狄拉克磁單極描述方案就是這樣。或者，人們需要用兩幅圖(chart)構(gòu)成的圖冊(cè)(atlas)來(lái)覆蓋三維空間，然后在不同的圖上采用不同的矢量勢(shì)，在重疊區(qū)域，它們相差一個(gè)規(guī)范變換，這是吳大峻-楊振寧磁單極描述方案[2]。

具體來(lái)說(shuō)，狄拉克的矢量勢(shì)對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)除了磁單極應(yīng)有的平方反比場(chǎng)，還多了一條磁通弦(通俗地說(shuō)就是一條磁力線)，稱為狄拉克弦。它從磁單極所在之處沿任意曲線通向無(wú)窮遠(yuǎn)處，其磁通量抵消了磁單極平方反比場(chǎng)的磁通量，使得任一閉合曲面的磁通量仍然為零。只有當(dāng)磁通弦沒(méi)有物理效應(yīng)(至少對(duì)于所考慮的問(wèn)題)時(shí)，這樣的矢量勢(shì)才是對(duì)磁單極的恰當(dāng)描述。討論磁通弦是否有或?qū)τ谀男﹩?wèn)題有物理效應(yīng)，超出了作者的學(xué)識(shí)，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出這篇小文的范圍。前述關(guān)于磁通弦的性質(zhì)在文獻(xiàn)上一般只有文字描述，這些性質(zhì)可以通過(guò)考察矢量勢(shì)的環(huán)路積分而得出。但是對(duì)矢量勢(shì)微分(取旋度)并不能自然得出與磁通弦對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)項(xiàng)。當(dāng)然人們可以利用前述性質(zhì)手動(dòng)構(gòu)造并寫(xiě)下該磁場(chǎng)項(xiàng)，但是這難免有斧鑿之嫌。本文將矢量勢(shì)寫(xiě)成積分形式，然后通過(guò)微分運(yùn)算自然得出包含磁通弦項(xiàng)顯明形式的結(jié)果。上述矢量勢(shì)的積分形式在文獻(xiàn)上并不陌生[3，4]，文獻(xiàn)[3]也作了微分運(yùn)算，但是沒(méi)有得出磁通弦項(xiàng)的顯明形式。對(duì)于具有不同狄拉克弦的矢量勢(shì)之間的規(guī)范變換，我們作了一些評(píng)述，并指出過(guò)去論證電荷量子化的一種方法存在漏洞。最后簡(jiǎn)單介紹了吳大峻-楊振寧磁單極描述方案，并簡(jiǎn)述該方案中電荷量子化的論證思路(吳-楊原文[2]對(duì)此論證并無(wú)詳細(xì)說(shuō)明)。希望本文對(duì)于電動(dòng)力學(xué)的初學(xué)者有所幫助，對(duì)于教師也有一些參考價(jià)值。

1 狄拉克弦上磁場(chǎng)的顯明形式

設(shè)磁單極的磁荷為g，位于坐標(biāo)原點(diǎn)，狄拉克矢量勢(shì)為

(1)

本文同時(shí)采用直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)，在后面一個(gè)實(shí)例計(jì)算中也采用柱坐標(biāo)，所用符號(hào)都是熟知的，eφ、ez等是單位矢量。對(duì)上式取旋度，只能得出磁單極磁場(chǎng)

(2)

而得不到實(shí)際存在的磁通弦項(xiàng)。實(shí)際上，A(r)在θ=π處有奇性，微分運(yùn)算在這些地方是有疑問(wèn)的，可能把某些東西弄丟了。這類似于在球坐標(biāo)中計(jì)算2(1/r)，并不能直接得出δ函數(shù)。上式的一個(gè)顯然的推廣是

(3)

其中e是任意給定的單位矢量。對(duì)上式取旋度，得到的同樣是Bg(r)。

現(xiàn)在我們把式(3)改寫(xiě)成下述積分形式

(4)

考慮沿e方向的直線從無(wú)窮遠(yuǎn)至原點(diǎn)的極細(xì)螺線管，有助于找到這個(gè)積分表示[3,4]。然而，在數(shù)學(xué)上，這不是必須的。我們只需要證明上式的積分結(jié)果是式(3)即可。為此，令u=-s，將上式化為

(5)

分解r+ue=[r-(r·e)e]+(u+r·e)e，兩部分互相正交，由此易得

(r+ue)2=r2-(r·e)2+(u+r·e)2

(6)

于是

(7)

利用積分公式

b>0 (8)

完成上式的積分，結(jié)果就是式(3)。這就證明了式(4)是式(3)的積分表示。

式(4)可以改寫(xiě)為

(9)

(10)

B(r)=Bg(r)+B′(r)

(11)

其中

(12)

就是磁通弦項(xiàng)的顯明形式。如果e=ez，則很容易求出積分，而得

B′(r)=ezgδ(x)δ(y)θ(-z)

(13)

其中θ(-z)是亥維賽(Heaviside)階躍函數(shù)，這是沿z軸負(fù)半軸由原點(diǎn)伸展至無(wú)窮遠(yuǎn)的磁通弦，磁場(chǎng)沿z方向，磁通量為g。值得指出，如果我們先計(jì)算半徑為a的半無(wú)界圓柱螺線管的磁場(chǎng)，然后令a→0(同時(shí)讓I→∞以保持μ0πa2I=g固定，其中I是單位長(zhǎng)度的電流)，得到的磁場(chǎng)正是上述結(jié)果，而磁通弦對(duì)應(yīng)于螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)。詳細(xì)討論需要較多篇幅，從略。

下面進(jìn)一步推廣式(4)?？紤]一條空間曲線L，它由定點(diǎn)r0伸展至無(wú)窮遠(yuǎn)，其參數(shù)方程為

r=r(s), -∞

(14a)

滿足

r(-∞)=∞,r(0)=r0

(14b)

我們選取參數(shù)s使得ds=|dr(s)|，那么切矢量

(15)

是單位矢量，指向參數(shù)增加的方向。參數(shù)s類似于古典微分幾何中的弧長(zhǎng)參數(shù)，后者是一個(gè)內(nèi)稟參數(shù)，并使得切矢量是單位矢量[5]，不同之處是我們的參數(shù)s是負(fù)的，這是因?yàn)槲覀円裷0當(dāng)作曲線的終點(diǎn)而不是起點(diǎn)。今構(gòu)造矢量勢(shì)

(16)

相應(yīng)的磁場(chǎng)是

(17)

注意到e(s)·[1/|r-r(s)|]=-(d/ds)[1/|r-r(s)|]，上式的計(jì)算與式(10)完全類似。最終得到

B(r)=Bg(r,r0)+B′(r)

(18)

其中

(19)

顯然，Bg(r,r0)是位于r0處的磁單極產(chǎn)生的磁場(chǎng)，而B(niǎo)′(r)是沿曲線L的磁通弦。因此，矢量勢(shì)(16)描述的是狄拉克弦為曲線L的磁單極。當(dāng)r(s)=se，則L是沿e方向的直線，此時(shí)r0=0，e(s)=e，以上結(jié)果就退化為式(11-12)。

舉一個(gè)實(shí)例。設(shè)L是圓柱螺線

(20)

則r0=exa，切矢量為

e(s)=-exωasinωs+eyωacosωs+ezωb

(21)

代入式(19)，即可寫(xiě)出B′(r)的形式。但是這個(gè)結(jié)果不太直觀。如果采用柱坐標(biāo)，則可將各分量寫(xiě)成

(22)

這樣物理圖像就非常清晰了。對(duì)于B′φ(r)，考慮ρz半平面且z<0，可以看到磁通弦多次穿過(guò)該半平面(注意φ和z的取值范圍都是(-∞,0])，每次穿過(guò)的磁通量都是g。對(duì)于B′z(r)，考慮z給定且z<0的平面，可以看到磁通弦在ρ=a，φ=z/b處穿過(guò)該平面，磁通量也是g。

2 規(guī)范變換與電荷量子化

(23)

其中n′是S上r′處的法向單位矢量，dσ′是面積元，而

(24)

是S對(duì)r點(diǎn)張開(kāi)的立體角。下面對(duì)這個(gè)結(jié)果作一些討論。

對(duì)于式(23)中的第二項(xiàng)，當(dāng)r在S附近時(shí)，我們可以以S上靠近r的某點(diǎn)為原點(diǎn)引入局部直角坐標(biāo)系，完成切向坐標(biāo)的積分可得該項(xiàng)結(jié)果為gδ(xn)n=[gε(xn)/2]，其中xn是局部直角坐標(biāo)的法向分量，ε(xn)是符號(hào)函數(shù)。所以在S附近，我們可以局部地寫(xiě)出

(25)

當(dāng)r越過(guò)S時(shí)，兩項(xiàng)的躍變正好互相抵消了，因此整個(gè)規(guī)范變換函數(shù)Λ(r)本身并沒(méi)有躍變。由此可見(jiàn)，上一段的論證確實(shí)存在失察之處。當(dāng)然，這絕不意味著電荷量子化的結(jié)論不成立，因?yàn)榭梢杂衅渌撟C方法，比如吳大峻-楊振寧磁單極描述方案中的論證方法，后面會(huì)加以討論。

(26)

其中e′是與e垂直的任一單位矢量。特別地，如果e=ez，取e′=ex，則得

(27)

(28)

利用積分公式(8)完成對(duì)z′的積分，然后對(duì)x′的積分也很容易計(jì)算，最后得出

-π<φ<π (29)

第二個(gè)等號(hào)很容易驗(yàn)證。代入式(23)(忽略第二項(xiàng))，所得結(jié)果與式(27)一致，如所期望。不過(guò)，對(duì)于更一般的曲線，計(jì)算立體角的顯式是相當(dāng)困難的。

(30)

相應(yīng)地，波函數(shù)滿足

(31)

(32)