福建省莆田第二中學(xué) (351131) 蔡海濤

1.試題呈現(xiàn)

(2020年泉州市高三質(zhì)檢·理21)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+1)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=(x2+1)ex-mx-1在[-1,+∞)有兩個零點，求m的取值范圍.

2.試題分析

試題題干結(jié)構(gòu)比較簡單,以含二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的初等函數(shù)為載體，與不等式相結(jié)合，主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.第一問考查的是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想等；第二問考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、零點，不等式等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想以及特殊與一般思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．

3.解法賞析

試題的第二問涉及已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，下例舉幾種常用方法，旨在拋磚引玉.

法1(略解)：由已知g′(x)=(x+1)2ex-m,

①當(dāng)m≤0時，g′(x)≥0，g(x)在[-1,+∞)單調(diào)遞增，顯然不合題意，舍去.

②當(dāng)m>0時，易得g′(x)在[-1,+∞)單調(diào)遞增，因為g′(0)=1-m,g(0)=0.

(ⅰ)當(dāng)m=1時，g′(0)=0，則易知g(x)在[-1,0)單調(diào)遞減，在[0,+∞)單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(0)=0，則g(x)在[-1,+∞)只有一個零點，不合題意，舍去.

(ⅱ)當(dāng)m>1時，g′(0)<0，g′(m)=(m+1)2em-m>0,?x0∈(0,m),使得g′(x0)=0,則g(x)在[-1,x0)單調(diào)遞減，在[x0,+∞)單調(diào)遞增，所以g(x0)(m2+1)-m2-1=0，根據(jù)零點存在性定理，g(x)在(x0,m)有且只有一個零點，又g(x)在[-1,x0)上有且只有一個零點，故當(dāng)m>1時，g(x)在[-1,+∞)有兩個零點.

評注：首先對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，當(dāng)m≤0時易得；當(dāng)m>0時，注意到g(0)=0，故對g′(0)的符號進行討論，結(jié)合零點存在性定理，確定函數(shù)y=g′(x)的零點x0的范圍，從而得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點個數(shù)分析其大致圖象，進而求參數(shù)的取值范圍.

法2(略解)：同法1，g′(x)=(x+1)2ex-m,m≤0時，不合題意，舍去.

評注：當(dāng)m≤0時同解法1，當(dāng)m>0時，注意到g′(x)在[-1,+∞)單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在性定理，得到函數(shù)y=g′(x)的唯一隱零點x0，并得到關(guān)系式(x0+1)2ex0=m，從而得到g(x)的單調(diào)性，由零點個數(shù)得必要條件，進而求參數(shù)的取值范圍.法1與法2的基本思路一致，都是從分析討論g(x)的大致圖象入手，區(qū)別之處在于法1先關(guān)注g(x)的一個零點0，法2先關(guān)注y=g′(x)的隱零點x0，因入手點不同導(dǎo)致對參數(shù)討論的切入點差異.

評注：本題對參數(shù)部分分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=(x2+1)ex與函數(shù)φ(x)=mx+1的圖象的交點問題，一個函數(shù)不含參數(shù)容易求導(dǎo)，另一個含參函數(shù)的圖象是一條直線，觀察它們圖象的變化趨勢，找到臨界的位置，易求得參數(shù)的取值范圍，使得運算簡化.

4.方法歸納

已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題綜合性較強,除了涉及函數(shù)零點存在性定理以外，一般還與函數(shù)的單調(diào)性、方程、不等式等知識有關(guān)，而這些知識與導(dǎo)數(shù)均有著密切的聯(lián)系.因此這類問題的求解，往往利用導(dǎo)數(shù)這一工具結(jié)合函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、有限與無限等思想求解.

一般地，根據(jù)已知函數(shù)f(x)(含參數(shù)a)零點的個數(shù)，判斷存在的條件進行求解，常有三種方法.一是討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性，畫出f(x)的大致圖象，再結(jié)合零點個數(shù)確定參數(shù)a的取值范圍；二是分離參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a交點的個數(shù)問題，進而確定參數(shù)a的取值范圍；三是部分分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個初等函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題.