江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) (215004) 李雋易

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課型之一，其目的是幫助學(xué)生系統(tǒng)整理所學(xué)知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，并在問(wèn)題解決過(guò)程中融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化．教材是課程的載體，也是高考題的源頭，因此，回歸教材、整合教材是復(fù)習(xí)課教學(xué)的重要前提．立足復(fù)習(xí)課的特點(diǎn)，基于教材整合的復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)整合知識(shí)，綱舉目張；整合例習(xí)題，尋根探源；探究變式，融會(huì)貫通．

1.整合知識(shí)，綱舉目張

整合知識(shí)的行為，來(lái)源于對(duì)運(yùn)用知識(shí)的訴求．理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是運(yùn)用知識(shí)的最低要求，而理解知識(shí)的適用情境，則有利于問(wèn)題識(shí)別與知識(shí)激活．因此，可從兩個(gè)方面進(jìn)行知識(shí)整合．

一是，強(qiáng)調(diào)知識(shí)聯(lián)系，明晰知識(shí)結(jié)構(gòu)．例如，立體幾何章節(jié)中“空間垂直關(guān)系”主要包括兩直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三個(gè)主要內(nèi)容，以及它們之間的相互關(guān)系．如圖1所示，復(fù)習(xí)時(shí)可畫出知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，以幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)良好的知識(shí)體系．

圖1

二是，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)，明確適用情境．有關(guān)“空間垂直關(guān)系”的證明問(wèn)題主要包括異面直線垂直、線面垂直以及面面垂直問(wèn)題．在復(fù)習(xí)時(shí)，可直接提出問(wèn)題，“可證明兩條異面直線垂直的方法有哪些”“可證明直線與平面垂直的方法有哪些”“可證明平面與平面垂直的方法有哪些”，以幫助學(xué)生從問(wèn)題解決的角度梳理數(shù)學(xué)知識(shí)．

實(shí)行多樣化的知識(shí)整合，有助于學(xué)生從不同角度去審視知識(shí)、理解知識(shí)，為知識(shí)運(yùn)用做好準(zhǔn)備．

2.整合例習(xí)題，尋根探源

教材例習(xí)題由教材編寫者精心編制，既是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的典型案例，又是反映數(shù)學(xué)思想的重要載體．橫向來(lái)看，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)通過(guò)不同的現(xiàn)實(shí)模型來(lái)呈現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表征與數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣性，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)；縱向來(lái)看，分布在不同章節(jié)中的一系列知識(shí)點(diǎn)通過(guò)同一現(xiàn)實(shí)模型來(lái)呈現(xiàn)，從數(shù)學(xué)問(wèn)題的層層推進(jìn)中，展現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的不斷深入，既有利于學(xué)生把握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，也有利于學(xué)生領(lǐng)會(huì)、掌握分解問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題的方法．其中，教材例習(xí)題的橫向整合更適合于新授課，而縱向整合更適用于復(fù)習(xí)課．

以“空間垂直關(guān)系”為例，教材對(duì)正方體模型的研究，貫穿了異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的學(xué)習(xí)過(guò)程．復(fù)習(xí)課中可通過(guò)再現(xiàn)、重組、改編等方式，整合相應(yīng)的例習(xí)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“有層次推進(jìn)”．

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中．

(1)求證：BD⊥平面AA1C；

(2)求證：A1C⊥BD；

(3)求證：A1C⊥BC1；

(4)求證：A1C⊥平面BC1D．

圖2 圖3 圖4 圖5

證明：(1)如圖2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA1．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC．又因?yàn)锳A1∩AC=A，AA1?平面AA1C，AC?平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C．

(2)如圖3所示，由(1)知，BD⊥平面AA1C，又因?yàn)锳1C?平面AA1C，所以A1C⊥BD．

(3)如圖4所示，連結(jié)B1C．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥A1B1．因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1為正方形，所以BC1⊥B1C．又因?yàn)锳1B1∩B1C=B1，A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．又因?yàn)锳1C?平面A1B1C，所以A1C⊥BC1．

(4)如圖5所示，由(2)(3)知，A1C⊥BD，A1C⊥BC1，又因?yàn)锽D∩BC1=B，BD?平面BC1D，BC1?平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D．

說(shuō)明：例1改編自蘇教版《必修2》第38頁(yè)練習(xí)的第3題，第41頁(yè)習(xí)題1.2(2)的第7題、第15題．其中，第(3)小問(wèn)是第(1)(2)問(wèn)的簡(jiǎn)單遷移運(yùn)用，而第(4)小問(wèn)則是第(1)(2)(3)問(wèn)的組合運(yùn)用．

例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AA1中點(diǎn)．求證：

(1)A1C∥平面BDE；

(2)平面BDE⊥平面BC1D．

圖6

證明：(1)如圖6所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)AC交BD于O，則O為AC中點(diǎn)．因?yàn)镋為AA1中點(diǎn)，所以O(shè)E為△BDE中位線，即EO∥A1C．又因?yàn)镋O?平面BDE，A1C?平面BDE，所以A1C∥平面BDE．

(2)由例1知A1C⊥BD，A1C⊥BC1．由例2(1)知EO∥A1C．所以EO⊥BD，EO⊥BC1．又因?yàn)锽D∩BC1=B，BD?平面BC1D，BC1?平面BC1D，所以EO⊥平面BC1D．因?yàn)镋O?平面BDE，所以平面BDE⊥平面BC1D．

說(shuō)明：例2改編自蘇教版《必修2》第69頁(yè)復(fù)習(xí)題的第17題．其中，例2(2)則是例1與例2(1)的組合運(yùn)用．

點(diǎn)評(píng)：例2(2)是一道較為復(fù)雜的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)例1、例2的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的演變過(guò)程，領(lǐng)會(huì)分解問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的思想，學(xué)會(huì)在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)識(shí)別數(shù)學(xué)問(wèn)題“小的時(shí)候的樣子”，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和突破口．與此同時(shí)，在數(shù)學(xué)運(yùn)用的過(guò)程中，領(lǐng)會(huì)、掌握知識(shí)間的聯(lián)系．

3.探究變式，融會(huì)貫通

解決問(wèn)題的變式是聯(lián)結(jié)未解決的復(fù)雜問(wèn)題和已解決的簡(jiǎn)單問(wèn)題之間的一系列中介問(wèn)題，其主要作用是為化歸提供鋪墊．從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，整合后的教材例習(xí)題，本就是一系列的變式．而在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，可在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步延拓，形成新的變式，繼續(xù)推進(jìn)對(duì)現(xiàn)實(shí)模型的研究，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)研究問(wèn)題的能力．

另一方面，也可將整合后的教材例習(xí)題視為問(wèn)題解決的樣例．將學(xué)生在師生互動(dòng)下的問(wèn)題探究視為對(duì)問(wèn)題解決樣例的學(xué)習(xí)．因此，教學(xué)中應(yīng)提供樣例的變式，以幫助學(xué)生在樣例方法的遷移過(guò)程中，深化對(duì)相關(guān)問(wèn)題解決方法、策略的理解與融通．

變式在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AA1中點(diǎn)，記AC∩BD=O，求證：C1O⊥平面BDE．

圖7

證法1:(結(jié)論推進(jìn))如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，AC∩BD=O，所以O(shè)為BD中點(diǎn)．因?yàn)镃1B=C1D，所以C1O⊥BD．由例2知平面BDE⊥平面BC1D．又因?yàn)槠矫鍮DE∩平面BC1D=BD，C1O?平面BC1D，所以C1O⊥平面BDE．

圖8

證法2:(方法遷移)如圖8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)A1C1，分別取A1C1,A1B1中點(diǎn)O1,F，連結(jié)AF,FO1,AO1．

因?yàn)锳A1∥BB1且AA1=BB1，BB1∥CC1且BB1=CC1，所以AA1∥CC1且AA1=CC1，故四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以AC∥A1C1且AC=A1C1．又因?yàn)镺,O1分別為AC,A1C1中點(diǎn)，所以AO∥O1C1且AO=O1C1，故四邊形AOC1O1為平行四邊形，所以AO1∥OC1．

圖9

點(diǎn)評(píng):該題為例1、例2的變式，與例1、例2結(jié)構(gòu)相似但更為復(fù)雜，并且不同的遷移視角，反映出的證明方法也不同．證法1是對(duì)例2結(jié)論的進(jìn)一步推進(jìn)，學(xué)生可在例2的基礎(chǔ)上聯(lián)結(jié)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，深化對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解．而例1、例2也為變式的解決提供了較多鋪墊，使得學(xué)生可以順利地解決較為困難的問(wèn)題．證法2是對(duì)例1解題方法的遷移，學(xué)生可在此過(guò)程中鞏固所學(xué)，并解決相似解法中的新問(wèn)題，進(jìn)而深化對(duì)解題方法的理解．