廣東省中山紀念中學 (528454) 李文東

在各地的高考試題和模擬試題中,經(jīng)常涉及多元變量的范問題,這類問題因為所含變量為兩個及以上，具有很強的靈活性，解法多樣，所以大部分同學對此問題產生畏懼心理.此類問題充分考察了轉化和化歸的思想，消元(換元)的思想，數(shù)形結合的思想，對數(shù)學邏輯思維能力提出了比較高的要求.本文針對此類問題，提出解決該類問題的一些策略，以供教學參考.

策略一、整體換元法

破解多元變量問題的一個有效方法是通過適當?shù)淖冃魏髮⒑卸鄠€變量的表達式看作一個整體變量，進行整體換元，達到減少變量的目的.

例1 若存在正實數(shù)m，使得關于x方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0有兩個不同的實根，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是.

分析：方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0中含有三個變量x,k,m，而ln(x+m)-lnx=

圖1

策略二、引入中間變量進行換元

除了整體換元外，對于多變量問題，可以通過引入一個新的中間變量達到換元的目的，比如x2+y2=r2，則設x=rcosθ,y=rsinθ.再比如均值換元法：若x+y=2m，則設x=m-d,y=m+d等等.

例3 已知a,b∈R，且ex≥a(x-1)+b對x∈R恒成立，則ab的最大值是.

點評：本題常規(guī)的做法是構造函數(shù)f(x)=ex-a(x-1)-b，利用求導分類討論的方法，比較復雜，不太容易理解.這里通過數(shù)形結合的思想通過引入中間變量，切點的橫坐標x0來解決，比較有新意.

策略三、變換主元

對于一些多變量的問題，有時可以更換一下主元，換一個角度看問題，則復雜的問題迎刃而解.

分析：函數(shù)f(x)因為含有e2x,2t(ex+x),x2，若直接求導運算會比較復雜，如果我們換一個角度，將變量t視為主元，轉化成關于t的一個二次函數(shù).

例6 (2015全國Ⅰ卷文科21)設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù)；

分析：本題第二問一般的做法是對f(x)求導后虛設零點，設而不求的方法解決.這里采用變換主元的思想來嘗試一下.

策略四、數(shù)形結合利用幾何意義

對于多變量的表達式，有些具有明顯的幾何意義，可以借助幾何圖形意義加以解決.

例7 接例5

圖2