四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (610068) 紀(jì)定春

蒙日，法國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為射影幾何之父，將分析學(xué)用于幾何研究，反過來用幾何去解釋微分方程，并探討了偏微分方程的特征理論．圓作為幾何研究的重要對(duì)象之一，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就對(duì)圓有初步的認(rèn)識(shí)，如圓的半徑、直徑、周長、面積等．初中平面幾何，對(duì)圓的性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步刻畫，側(cè)重于圓幾何性質(zhì)(形)的研究．高中數(shù)學(xué)，將圓放在直角坐標(biāo)系中來研究，體現(xiàn)的是一種坐標(biāo)化(數(shù))的思想(量化思想)，側(cè)重于定量研究，這得益于17世紀(jì)笛卡爾創(chuàng)立直角坐標(biāo)系，讓幾何研究踏上了新的歷史征程，使得更多隱性的幾何性質(zhì)逐步的被發(fā)掘．從小學(xué)對(duì)圓的初步認(rèn)識(shí)到初中平面幾何的定性研究，最后到高中的定量研究，完美的體現(xiàn)了從“形”到“數(shù)”的思想，從直觀到抽象的思維過程．蒙日?qǐng)A是由橢圓的兩條切線問題產(chǎn)生的，其實(shí)蒙日?qǐng)A并不陌生，在高考數(shù)學(xué)中也曾出現(xiàn)過，如2013年安徽高考卷第18題、2014年廣東高考卷第20題等．接下來，將對(duì)蒙日?qǐng)A的概念做簡單介紹，給出蒙日?qǐng)A的幾個(gè)優(yōu)美結(jié)論，并將蒙日?qǐng)A的部分性質(zhì)推廣到雙曲線和拋物線中，希望對(duì)大家有所幫助．

1.蒙日?qǐng)A的概念簡介與證明

在一個(gè)橢圓中，橢圓的任意兩條相互垂直的切線，其交點(diǎn)的軌跡在一個(gè)圓上，這個(gè)圓是以橢圓的中心為圓心，以橢圓的長半軸與短半軸的平方和的算術(shù)平方根為半徑，這個(gè)圓稱之為蒙日?qǐng)A或準(zhǔn)圓，即橢圓的外切矩形的外接圓．

證明：當(dāng)兩條相互垂直的直線斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為(±a,±b)．現(xiàn)假設(shè)不為上述情況，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，其中x0≠±a，y0≠±b．設(shè)過點(diǎn)P且與橢圓相切的直線方程為y=k(x-x0)+y0．

評(píng)注：蒙日?qǐng)A的證明方法有很多種，除了代數(shù)法，還可以用幾何法、參數(shù)法等．

2.蒙日?qǐng)A中的幾個(gè)優(yōu)美結(jié)論

由于在任意一個(gè)平行四邊形中，對(duì)角線的平方和等于該平行四邊鄰邊平方和的二倍，這個(gè)結(jié)論位于人教版必修4第109頁，證明方法較多，如向量法等，此處不再具體給出．

由直線過原點(diǎn)及橢圓的對(duì)稱性，可得|2OP|2+|F1F2|2=2|PF1|2+2|PF2|2．

由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a，平方可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2．由|F1F2|=2c，a2=b2+c2，代入并聯(lián)立上面兩個(gè)等式，可得|PF1|·|PF2|=a2+b2-|OP|2．故

|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|，結(jié)論得證．

證明：直接證明該結(jié)論較為繁瑣，不妨借助結(jié)論1．引一條過原點(diǎn)(圓心)且過切點(diǎn)P的直線，與蒙日?qǐng)A交于C、D兩點(diǎn)．顯然，在蒙日?qǐng)A中，線段AB與CD相交，由圓的相交弦定理可知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|．

由結(jié)論1，可知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|=|PF1|·|PF2|．所以|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|，則該結(jié)論成立．

評(píng)注：該結(jié)論描述的是橢圓上任意點(diǎn)到兩焦點(diǎn)線段的長度與到蒙日?qǐng)A上兩交點(diǎn)線段長度的數(shù)量關(guān)系，將切點(diǎn)到蒙日?qǐng)A的線段長度與切點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的線段長度聯(lián)系起來．

評(píng)注：該結(jié)論，描述的是橢圓準(zhǔn)線上的一點(diǎn)引蒙日?qǐng)A切線長與該點(diǎn)到離準(zhǔn)線最近的焦點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)結(jié)論將橢圓的準(zhǔn)線、焦點(diǎn)、蒙日?qǐng)A三者聯(lián)系起來．

證明：由結(jié)論2可知|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|．由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a，和為定值．從不等式的視角來看，和為定值積有最大值．易得|PF1|·|PF2|的最大值為a2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=a等號(hào)成立．同理，可得|PF1|·

|PF2|的最小值為a2-c2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=a±c，|PF2|=a?c時(shí)，即P在點(diǎn)(±a,0)時(shí)，等號(hào)成立．

評(píng)注：該結(jié)論指出，過橢圓上任意切點(diǎn)的直線與蒙日?qǐng)A相交，這切點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)長度的乘積是有界的，且以橢圓的短半軸的平方為下界，以橢圓長半軸的平方為上界．

3.蒙日?qǐng)A的推廣

圓錐曲線的性質(zhì)具有相似性和遺傳性．阿波羅尼奧斯所著《圓錐曲線論》，將演繹幾何推到了巔峰，揭示了圓錐曲線的內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系．在高等幾何中，描述了點(diǎn)、直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，其中圓在變換中起到基礎(chǔ)性的作用[1]，如點(diǎn)可以視為直徑為零的圓，直線可以看成直徑無窮大的圓，橢圓可以視為“壓扁”的圓(用線性變換的角度來看，即為壓縮變換)等，這些充分的表明的圓的基礎(chǔ)性和圓錐曲線之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性．接下來，將蒙日?qǐng)A到退化到圓中，再將其推廣到雙曲線和拋物線中去．

引理在矩形ABCD所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，則有等式OA2+OC2=OB2+OD2成立．

可以用建系法、向量法、構(gòu)造勾股定理等方法證明該引理成立，方法較簡單，此處不再具體給出．接下來，將用幾何法證明該交點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2-b2．

圖1

證明：如圖1所示，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，兩條切線與雙曲線的切點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，過F1作關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)R，且與AP交于點(diǎn)G．由雙曲線光學(xué)性質(zhì)，可知A、R、F2三點(diǎn)共線．

評(píng)注：此推廣描述的是雙曲線中的蒙日?qǐng)A的特性，該圓是以雙曲線的中心為圓心，以上雙曲線實(shí)半軸平方與虛半軸平方之差的算術(shù)平方根為半徑．

雙曲線可以通過橢圓得到，那在雙曲線中是否有橢圓中一些相似的性質(zhì)呢？當(dāng)然有．

性質(zhì)1 如圖2所示，已知F1、F2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過雙曲線上任意一點(diǎn)P引過原點(diǎn)(雙曲線蒙日?qǐng)A的圓心)的直線，與蒙日?qǐng)A交于M、N兩點(diǎn)，則有|PF1|·|PF2|=|PM|·|PN|．

圖2

證明：略．(提示：用兩點(diǎn)間的距離公式可證．)

評(píng)注：值得注意一點(diǎn)的是，過拋物線上任意點(diǎn)做蒙日?qǐng)A的割線，上述結(jié)論依然成立，過原點(diǎn)是一種特殊的情況，是為了和上述結(jié)論1相對(duì)應(yīng)．

性質(zhì)2 過雙曲線上任意一點(diǎn)P引雙曲線蒙日?qǐng)A的切線，設(shè)切點(diǎn)為Q，則有切線長的平方等于該點(diǎn)到拋物線兩個(gè)焦點(diǎn)距離的乘積，即|PF1|·|PF2|=|PQ|2．

評(píng)注：該性質(zhì)可由上述性質(zhì)1和圓冪定理得到，此處不再給出具體的證明過程．

推廣3 拋物線y2=2px的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線．

證明：如圖3所示，設(shè)兩條與拋物線相切且垂直的直線交點(diǎn)為P，與拋物線的兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，過點(diǎn)P且與拋物線相切的直線方程為y=k(x-x0)+y0．聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y可得k2x2+(2ky0-2x0k2-2p)x+(kx0-y0)2=0．

故拋物線兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡為該拋物線的準(zhǔn)線．這是一條垂直于x軸的直線，如何理解它呢？實(shí)際上該直線可看成是圓心在無窮遠(yuǎn)處的一個(gè)“蒙日?qǐng)A”．既然可以看成是圓，那是否會(huì)“遺傳”橢圓中蒙日?qǐng)A的一些相似性質(zhì)呢？

性質(zhì)6 由性質(zhì)4和性質(zhì)5，可知拋物線焦點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離之積等于焦點(diǎn)到“蒙日?qǐng)A”上該點(diǎn)距離的平方，即|FA|·|FB|=|FP|2．

評(píng)注：性質(zhì)4、5證明較為簡單，性質(zhì)6可以借助射影定理、相似或勾股定理等證明，此處不再具體給出．性質(zhì)6，可改寫成|FA|·|FB|=|FP|·|FP|，這就與橢圓中蒙日?qǐng)A的結(jié)論1統(tǒng)一起來，當(dāng)雙曲線“蒙日?qǐng)A”的圓心在無窮遠(yuǎn)處時(shí)，此處的點(diǎn)P可以看成結(jié)論1橢圓中直線與蒙日?qǐng)A的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在無窮遠(yuǎn)處無限靠近，即收縮為一個(gè)點(diǎn)．

4.結(jié)束語

蒙日?qǐng)A是一種重要的圓，在高考數(shù)學(xué)中也曾出現(xiàn)過，這足以表明它的重要性.通過對(duì)蒙日?qǐng)A的研究，可以發(fā)現(xiàn)，在圓錐曲線中，很多性質(zhì)都具有相似性，也就是家族“遺傳性”.因此，在圓錐曲線的教學(xué)過程中，要注意將橢圓、雙曲線及拋物線這幾個(gè)知識(shí)模塊串聯(lián)起來教學(xué)，這樣有助于學(xué)生構(gòu)建圓錐曲線的知識(shí)框架，促進(jìn)學(xué)生整體性思維的發(fā)展.