江蘇省海門(mén)中學(xué) (226100) 徐巧石

一、問(wèn)題提出

曲線在某一點(diǎn)處的切線，作為引入導(dǎo)數(shù)概念的背景，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義貫穿在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一章節(jié).在高考中經(jīng)常出現(xiàn)與曲線的切線相關(guān)的考題,從求切線的方程，到已知切線方程，求相關(guān)的值與最值，再到近幾年出現(xiàn)了以曲線的公切線為背景的問(wèn)題.

看似是切線問(wèn)題，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后實(shí)際為已知方程的解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，方程的解又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，因此在高考中經(jīng)?？疾?，從討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，到已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，再到近兩年看似函數(shù)的切線問(wèn)題實(shí)則轉(zhuǎn)化之后為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，將零點(diǎn)問(wèn)題隱藏于背景之中，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、問(wèn)題解法

下面從基本思路出發(fā)，通過(guò)轉(zhuǎn)化條件，化為常規(guī)問(wèn)題解決引題.

圖1

基本思路：曲線的切線問(wèn)題抓住切點(diǎn)，因?yàn)榍悬c(diǎn)既在曲線上又在切線上，且函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，所以先確定切點(diǎn)，切線.如圖1，要使得存在滿足條件的切線，則該切線與兩曲線切于不同的兩點(diǎn).

圖2

轉(zhuǎn)化：這樣的直線有且僅有兩條，轉(zhuǎn)化為a=

進(jìn)一步思考：若此題改為解答題，則數(shù)形結(jié)合的方式有不得分的點(diǎn)，需要對(duì)問(wèn)題再轉(zhuǎn)化，a=

三、問(wèn)題的分類(lèi)

1.兩條曲線的切線切于同一點(diǎn)

分析：(1)只需說(shuō)明方程組無(wú)解即可；(2)由已知建立方程組，解方程組即可得；(3)兩個(gè)參量分各處理解方程組.

反思:此題3問(wèn)有3個(gè)不同的函數(shù)背景，(1)是一次函數(shù)與二次函數(shù)不含參數(shù)；(2)是對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)含有1個(gè)參數(shù)；(3)是指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)且含有3個(gè)變量.3問(wèn)將高中常見(jiàn)的函數(shù)融合為一題，且層層遞進(jìn)，對(duì)學(xué)生思維的考查逐問(wèn)提高，是難得的好題.第3問(wèn)中有3個(gè)變量滿足?a>0,?b>0,?x>0,使得方程組成立，多變量問(wèn)題的處理采用各個(gè)擊破的策略，先處理容易解決的，如題中先轉(zhuǎn)化為a與x的方程有解，即構(gòu)造三次函數(shù)證明存在零點(diǎn)，再建立b與x的關(guān)系，說(shuō)明b>0.

2.兩條曲線的切線切于兩點(diǎn)

分析：找到y(tǒng)=ex上的切點(diǎn)，是解決的關(guān)鍵，指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化是處理的技巧.

分析：本題為例2的一般情形，處理的關(guān)鍵是消元構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn).

圖3

四、問(wèn)題的拓展

分析：(思路一)設(shè)切點(diǎn)，求出切線，兩直線重合，建立方程組；(思路二)利用兩切點(diǎn)求出斜率與求導(dǎo)得到斜率建立等式.

反思：法一的關(guān)鍵是消元構(gòu)造方程，換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)；法二的關(guān)鍵利用斜率相等構(gòu)造齊次式，換元化為函數(shù)的零點(diǎn).

五、問(wèn)題的啟示

1.關(guān)注高考真題，研究命題動(dòng)向

學(xué)生要善于解題，作為教師更要善于解題.每年的高考真題，都是經(jīng)過(guò)命題專(zhuān)家經(jīng)過(guò)精心構(gòu)造，巧妙設(shè)計(jì)的好題，很有研究的價(jià)值.研究真題的背景、考點(diǎn)、解決策略，探尋命題的方向，對(duì)于高三復(fù)習(xí)有一定的幫助.例如上述2019年全國(guó)Ⅱ卷理20題與2018年天津卷20題本質(zhì)為同一類(lèi)型.

2.關(guān)注基本思路，研究等價(jià)轉(zhuǎn)化

新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于高考命題的原則：考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧；融入數(shù)學(xué)文化.因此在教學(xué)的過(guò)程中要關(guān)注問(wèn)題處理的基本思路，建立等價(jià)命題系統(tǒng)，將綜合性問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化化歸問(wèn)基本題型，常見(jiàn)結(jié)構(gòu).

3.關(guān)注課堂生成，研究探究?jī)r(jià)值

課堂是教學(xué)的主陣地，在課堂中要給學(xué)生充足的時(shí)間思考、對(duì)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想，尋找題目背后隱藏的基本概念，基本思想、基本模型.基礎(chǔ)是發(fā)展的“根”與“本”，根深才能葉茂.課堂有生成說(shuō)明學(xué)生在思考，思維在提升.高考題的題源來(lái)于教材，往往是教材某些概念的深化，例題的推廣，因此在課堂中要重視習(xí)題，聯(lián)系教材概念、例題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶骄客茝V，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展大有裨益.