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        一個(gè)分式不等式的進(jìn)一步探究

        2020-07-03 03:41:42重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院404000蘭晨曦陳曉春
        關(guān)鍵詞:三峽學(xué)院重排分式

        重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (404000) 蘭晨曦 黃 浩 陳曉春

        文[1]利用柯西不等式和冪平均不等式給出了(2)的證明,本文將利用廣義權(quán)方和不等式的特例.,即下述不等式(*)和冪平均不等式對(duì)(2)給出更簡捷的證明,并對(duì)(2)作進(jìn)一步的探究.

        為證明不等式(2),引用不等式(其證明見文獻(xiàn)[3]中定理3):

        從而,不等式(2)成立.

        上述證明的思路是:直接應(yīng)用不等式(*),因而不需任何技巧,同時(shí)從證明過程可以看出,只要(x+y+z)-(xn+1+yn+1+zn+1)不變,其證明過程是一樣的,因此有:

        探究1 將分母的順序適當(dāng)重排,其結(jié)論仍然成立,于是可得到如下與不等式(2)結(jié)構(gòu)類似的不等式.

        探究3 若將分母的每一項(xiàng)添加系數(shù),則有如下推廣的不等式.

        探究4 若將分子疊加,則有推廣的不等式.

        顯然,對(duì)分母項(xiàng)的擴(kuò)充及順序重排不止上述幾種,進(jìn)一步擴(kuò)充及重排將得到更多的不等式,有興趣的讀者不妨一試.另一方面從不等式(2)的證明可以看出,利用不等式(*)可將不等式(2)進(jìn)一步推廣.

        特別地,當(dāng)p=3時(shí),有不等式:已知x,y,z,n∈R+,m≥2,且x+y+z=S,求證:

        同前面不等式(2)的探究一樣,如果對(duì)不等式(3),(4))的分母的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹嘏偶白兪?,可得到許多新的不等式,在此不再贅述.

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