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        探究一道極值點偏移問題*

        2020-07-03 03:43:02江西省贛州市第三中學341000張曉輝廖暑芃
        中學數(shù)學研究(江西) 2020年5期
        關(guān)鍵詞:等式對數(shù)極值

        江西省贛州市第三中學 (341000) 張曉輝 廖暑芃

        一、考題呈現(xiàn)

        (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1

        這是江西省紅色七校2019年10月高三聯(lián)考理22題,題面簡潔,內(nèi)容豐富,立意新穎,著重考察函數(shù)極值點偏移問題.題目以函數(shù)為背景,設(shè)問由淺入深,逐步推進,考察函數(shù)的單調(diào)性、最值及極值點偏移問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等思想.問⑵解題入口寬,邏輯性強,淡化解題技巧,注重數(shù)學核心素養(yǎng)的考察,符合當前高考的命題方向.筆者對問⑵提出一些探究,供讀者參考.

        二、解法探究

        思路一:構(gòu)造一元差函數(shù)(原解)

        證明:由(1)知02.

        結(jié)合①②得x3-x1<4.

        思路二:構(gòu)造對稱性一元差函數(shù)

        證明:由(1)可得02.

        評析:極值點偏移問題是近年各類考試中常見的一種題型,其基本的形式是x1+x2m或x1·x2m等.要證明x1+x2>2,只需證明x1與2-x2的關(guān)系即可.而x1與2-x2的關(guān)系可以通過f(x)的單調(diào)性判定,其思路可以視為雙變量問題的減元構(gòu)造,兩個變量之間的關(guān)系是根據(jù)兩函數(shù)值相等進行構(gòu)造.構(gòu)造對稱性(一元)差函數(shù)是解決極值點偏移問題的通法,其一般步驟為:⑴通過函數(shù)f(x)的極值點x0構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x);⑵判斷函數(shù)F(x)單調(diào)性得出f(x2)與f(2x0-x1)的大小關(guān)系;⑶根據(jù)f(x)單調(diào)性得到x2與2x0-x1的大小關(guān)系,從而得到結(jié)論.

        思路三: 利用ln2≈0.69,75=16807>16384=214

        評析:目標明確,思路清晰,對放縮的尺度要求極高,難度之大,讓人望而生畏,極易半途而廢.

        思路四:齊次化設(shè)參

        評析:用x1,x2構(gòu)建目標函數(shù),通過增量換元,構(gòu)造出新的變元,將兩個舊的變元都換成新的變元來表示,從而達到消元的目的.由此可見齊次化設(shè)參(差值或比值設(shè)參)是極值點偏移問題的又一解決策略.

        思路五:對數(shù)平均不等式

        證明:由(1)可得0

        評析:運用對數(shù)平均不等式求解,是極值點偏移問題的有效解決方法之一.極值點偏移問題,多與指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān),轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵幾步為:⑴根據(jù)f(x1)=f(x2)建立等式;⑵如果等式含有參數(shù),通常先消參;如果等式中含有指數(shù)式,則往往先兩邊取對數(shù),轉(zhuǎn)化為對數(shù)式;⑶通過恒變換轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均數(shù),再利用對數(shù)平均不等式進行放縮求解.

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