張雅瓊， 于豐寧， 塔 娜， 饒柱石

(上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200240)

越來(lái)越多的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)ξ⑿吐暥ㄎ谎b置提出了高精度的要求[1-3].盡管微機(jī)械加工技術(shù)逐漸成熟，微型裝置卻很難實(shí)現(xiàn)高精度定位，這是由于其定位線(xiàn)索導(dǎo)致的.信號(hào)到達(dá)不同傳感器間的強(qiáng)度差和時(shí)間差，與傳感器陣列的孔徑成正比，普通的傳感器陣列可以通過(guò)擴(kuò)大孔徑的方式提高其定位性能；然而對(duì)于微型定位裝置，由于受到空間尺寸的限制，陣列孔徑難以擴(kuò)大.一個(gè)可能有效的方法是放大傳感器陣列接收信號(hào)間的強(qiáng)度差和時(shí)間差，這種方法等效于擴(kuò)大陣列孔徑，而這一研究思路源自于一種小型寄生蠅——奧米亞棕蠅.

奧米亞棕蠅是一種具有超強(qiáng)定位能力的寄生蠅，雖然其耳間距僅為0.5 mm左右，卻能憑借寄主發(fā)出的叫聲準(zhǔn)確地對(duì)其進(jìn)行定位[4].研究表明，這種能力得益于其耳間一種特殊的耦合結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)可有效放大兩耳間接收信號(hào)的強(qiáng)度差和時(shí)間差，其效果等于將耳間距擴(kuò)大了數(shù)十倍，從而獲得了超強(qiáng)的定位能力[5].受奧米亞棕蠅耳間耦合結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，許多學(xué)者進(jìn)行了微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的設(shè)計(jì)及開(kāi)發(fā).Miles等[6-7]開(kāi)發(fā)了一款具有低背景噪聲、高靈敏度的MEMS指向性傳聲器.Kuntzman等[8]與Hall等[9]開(kāi)發(fā)了MEMS指向性傳聲器，并利用多個(gè)壓電傳感端口實(shí)現(xiàn)了聲壓及壓力梯度的同步測(cè)量.Liu等[10]模擬生物耦合結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了微型聲定位裝置的開(kāi)發(fā)，并在實(shí)驗(yàn)室條件下對(duì)裝置的定位效果進(jìn)行了驗(yàn)證.Wilmott等[11-12]采用兩個(gè)互成一定角度的MEMS傳聲器實(shí)現(xiàn)了空間聲源定位.Masoumi等[13]通過(guò)力-電類(lèi)比進(jìn)行了耦合電路的設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用于天線(xiàn)陣列，構(gòu)成了具有信號(hào)差異放大功能的耦合天線(xiàn)陣列.Xu等[3， 14]將耦合電路應(yīng)用于傳聲器陣列，并利用耦合傳聲器陣列輸出信號(hào)間的幅值差異實(shí)現(xiàn)了聲源定位.王慶生等[15]和Yang等[16]將耦合模型擴(kuò)展到了三維及更高維，并通過(guò)機(jī)械結(jié)構(gòu)[15]及模擬電路[17]的形式實(shí)現(xiàn)了多個(gè)輸入信號(hào)間的強(qiáng)度差及時(shí)間差的放大.

本文通過(guò)求解高維耦合模型的輸出響應(yīng)，深入研究了耦合模型時(shí)延放大特性與參數(shù)之間的關(guān)系，為高維耦合模型的設(shè)計(jì)提供了一套參數(shù)選擇原則.考慮到機(jī)械結(jié)構(gòu)及模擬電路的參數(shù)難以根據(jù)測(cè)試環(huán)境進(jìn)行調(diào)節(jié)、測(cè)試聲源受到限制等情況，基于高維耦合模型，通過(guò)算法實(shí)現(xiàn)了一個(gè)多輸入多輸出的線(xiàn)性時(shí)延放大系統(tǒng).系統(tǒng)參數(shù)可根據(jù)聲源頻率靈活調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)延放大倍數(shù)的精準(zhǔn)控制.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該系統(tǒng)可用于實(shí)現(xiàn)小孔徑陣列接收信號(hào)間時(shí)延的放大，能夠有效地提高其定位精度.

1 力學(xué)模型

奧米亞棕蠅耦合耳朵力學(xué)模型能夠?qū)崿F(xiàn)兩個(gè)輸入信號(hào)間的時(shí)延放大，為了將這一時(shí)延放大機(jī)制應(yīng)用于多個(gè)輸入信號(hào)，建立了一個(gè)n維耦合模型，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.其中，m為質(zhì)量；k與kc(下標(biāo)c表示耦合)為剛度；c與cc為阻尼；fi(i=1,2,…,n)表示施加在第i個(gè)質(zhì)量單元上的力激勵(lì)；xi為該質(zhì)量單元的位移響應(yīng).該耦合模型由n個(gè)相同的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)組成，每?jī)蓚€(gè)系統(tǒng)之間通過(guò)扭簧與阻尼連接，即第i個(gè)系統(tǒng)分別與其余n-1個(gè)系統(tǒng)耦合.該耦合模型是一個(gè)自由度為n的振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)n=2時(shí)，該耦合模型退化為自由度為2的振動(dòng)系統(tǒng)，即文獻(xiàn)[5]中的奧米亞棕蠅耦合耳朵力學(xué)模型.

圖1 n維耦合模型

圖1所示的n維耦合模型的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(1)

式中：

(2)

(3)

cii=c+(n-1)cc

(4)

kii=k+(n-1)kc

(5)

(6)

系統(tǒng)的響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以及瞬態(tài)響應(yīng)組成的.由于阻尼的存在，隨著時(shí)間的延續(xù)，瞬態(tài)響應(yīng)將逐漸減小直至消失，系統(tǒng)最終只剩下穩(wěn)態(tài)響應(yīng).因此，這里只討論系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，通過(guò)模態(tài)分析法[18]獲得系統(tǒng)響應(yīng)

(7)

式中：

ξ1=[c+(n-2)cc]/(2ω1m)

ξ2=[c+(2n-2)cc]/(2ω2m)

ω為聲源頻率.該系統(tǒng)有n階無(wú)阻尼固有頻率，前n-1階數(shù)值相等，均為ω1；第n階為ω2.因此，當(dāng)系統(tǒng)在頻率ω1處振動(dòng)時(shí)，有n-1階振動(dòng)模態(tài)，這些振動(dòng)模態(tài)的阻尼比為ξ1；而當(dāng)系統(tǒng)在頻率ω2處振動(dòng)時(shí)，有唯一的振動(dòng)模態(tài)，對(duì)應(yīng)的模態(tài)阻尼比為ξ2.

2 時(shí)延放大特性

對(duì)于聲激勵(lì)，作用于質(zhì)量單元上的力與該處的聲壓成正比.考慮遠(yuǎn)場(chǎng)單頻聲源，由于質(zhì)量單元間的距離很小，激勵(lì)力將具有相同的幅值及微小的時(shí)延差異，可以表示為

fi=A0ejω(t-τi)

(8)

式中：A0為幅值；τi為時(shí)延，表示聲波到達(dá)質(zhì)量單元i與耦合模型幾何中心的時(shí)間差.因此，各激勵(lì)力的時(shí)延滿(mǎn)足以下關(guān)系

(9)

定義fi與fp間的時(shí)延為聲波達(dá)到兩個(gè)質(zhì)量單元的時(shí)間差，記為輸入時(shí)延，表示為

τin_ip=τi-τp

(10)

兩個(gè)質(zhì)量單元位移響應(yīng)間的時(shí)延，記為輸出時(shí)延，可以表示為

τout_ip=

(11)

式中：Im(·)和Re(·)分別表示取虛部以及取實(shí)部運(yùn)算.

假設(shè)質(zhì)量單元間的距離遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，那么可以進(jìn)行以下小角度假設(shè)

(12)

根據(jù)式(12)，式(11)可以表示為

(13)

由式(13)可知，輸出時(shí)延只與相對(duì)應(yīng)的激勵(lì)力的時(shí)延有關(guān)，而與其余激勵(lì)力的時(shí)延無(wú)關(guān).在二維耦合模型中，由于τ1+τ2≡0，輸出時(shí)延只與輸入時(shí)延有關(guān)，而與各激勵(lì)力的時(shí)延無(wú)關(guān)；然而對(duì)于高維耦合模型，只有當(dāng)式(13)分母中的第3項(xiàng)等于0時(shí)，即系統(tǒng)參數(shù)滿(mǎn)足條件：

(14)

輸出時(shí)延才只與輸入時(shí)延有關(guān)，而與各激勵(lì)力的時(shí)延無(wú)關(guān).為了便于計(jì)算，令上式等于η，并將其代入式(13)，則輸出時(shí)延可以表示為

τout_ip=ητin_ip

(15)

式(15)意味著通過(guò)選擇合適的耦合參數(shù)，耦合模型可以看作一個(gè)多輸入多輸出的時(shí)延線(xiàn)性放大系統(tǒng).系統(tǒng)的時(shí)延放大倍數(shù)為η，不受聲波入射角度的影響，而只與聲源頻率及耦合參數(shù)有關(guān).將滿(mǎn)足式(14)的頻率定義為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)頻率，并記為ω0.

為了保證系統(tǒng)的線(xiàn)性放大特性，需要合理設(shè)計(jì)耦合參數(shù).為了使η>1，同時(shí)考慮多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際物理意義，根據(jù)式(14)可得到

ω0<ω1<ω2

(16)

將式(14)改寫(xiě)為如下形式

(17)

將式(17)代入式(16)可以得到

ξ2/ξ1<η<(ξ2/ξ1)2

(18)

根據(jù)式(18)，為了使η>1，阻尼比需滿(mǎn)足關(guān)系

ξ2/ξ1>1

(19)

同時(shí)，考慮振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際物理意義，阻尼比需滿(mǎn)足條件ξ1,ξ2∈(0,1).由于振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比決定了瞬態(tài)響應(yīng)的衰減時(shí)間，為了盡快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)階段，兩個(gè)阻尼比應(yīng)盡可能選得比較大，可將ξ1的范圍設(shè)置為0.1<ξ1<0.4，然后根據(jù)η并結(jié)合式(18)設(shè)計(jì)ξ2.繼而根據(jù)ω0、η、ξ1和ξ2，利用式(14)獲得ω1和ω2.最后利用式(7)計(jì)算系統(tǒng)的耦合參數(shù)(m、k、c、kc、cc).需要指出的是，5個(gè)未知變量間只存在4個(gè)約束條件，將有無(wú)窮多組滿(mǎn)足條件的耦合參數(shù)，為了方便計(jì)算，我們令m=1 kg，其余4個(gè)變量可通過(guò)式(7)唯一確定.

上述研究建立在式(12)小角度假設(shè)成立的基礎(chǔ)上，不失一般性，對(duì)影響式(12)成立的聲源頻率、輸入時(shí)延及放大倍數(shù)進(jìn)行討論，研究這些因素對(duì)系統(tǒng)時(shí)延放大特性的影響.以n=3為例，假設(shè)耦合模型各質(zhì)量單元布置如圖2所示，質(zhì)量單元1與2、3的間距d=0.03 m.τin_12與τin_13和聲源方位角α與俯仰角θ的關(guān)系可以表示為

(20)

式中：c0為聲速.

表1 系統(tǒng)參數(shù)

圖3 輸出時(shí)延的計(jì)算結(jié)果與理論值比較

首先，在相同放大倍數(shù)下，研究聲源頻率對(duì)系統(tǒng)輸出時(shí)延的影響. 假設(shè)ω分別為100π、1 000π 以及2 000π rad/s，選擇η=5，根據(jù)上述方法設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示.當(dāng)θ=20°，α=0°～90°時(shí)， 由式(11)計(jì)算獲得的輸出時(shí)延如圖3所示.其中，理論值(TV)曲線(xiàn)由式(15)獲得.由圖3可知，τout_12與τout_13的計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)相同規(guī)律：當(dāng)ω=100π rad/s時(shí)，計(jì)算結(jié)果與理論值重合；而隨著ω增大，計(jì)算結(jié)果逐漸偏離理論值曲線(xiàn).這說(shuō)明對(duì)于有放大倍數(shù)要求的時(shí)延放大系統(tǒng)，其測(cè)試頻率不能無(wú)限增大.

圖2 耦合模型與聲源的幾何位置關(guān)系

Eip=ητin_ip-τout_ip

(21)

圖4 不同放大倍數(shù)下的平均近似誤差對(duì)比

上述分析說(shuō)明，聲源頻率、輸入時(shí)延及放大倍數(shù)均會(huì)影響系統(tǒng)的時(shí)延放大特性，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合聲源頻率、測(cè)試條件及需求，合理選擇放大倍數(shù)，保證近似誤差在可接受的范圍內(nèi).

3 時(shí)延放大系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)

上述時(shí)延放大系統(tǒng)有多種實(shí)現(xiàn)方式，如利用MEMS技術(shù)開(kāi)發(fā)新型傳感器，或通過(guò)力-電類(lèi)比技術(shù)設(shè)計(jì)模擬電路.考慮到機(jī)械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的參數(shù)難以根據(jù)聲源頻率進(jìn)行調(diào)節(jié)，通過(guò)一套算法來(lái)實(shí)現(xiàn)上述時(shí)延放大系統(tǒng)的功能.該算法是通過(guò)程序控制的方式實(shí)現(xiàn)的，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)頻率可以根據(jù)輸入信號(hào)的頻率靈活地調(diào)節(jié)，從而適應(yīng)不同頻率的聲源.該算法需要與聲信號(hào)接收裝置配合使用，其輸入信號(hào)為接收裝置的輸出信號(hào).默認(rèn)算法輸入是單頻信號(hào)或可近似為單頻信號(hào)處理的窄帶信號(hào)，對(duì)于寬頻聲源，默認(rèn)信號(hào)已經(jīng)過(guò)窄帶濾波器處理.

圖5 算法流程圖

算法流程如圖5所示.首先，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行快速Fourier變換分析獲得信號(hào)的頻譜信息，用于設(shè)置ω0；同時(shí)，根據(jù)測(cè)試條件及需求設(shè)定η；接著，根據(jù)ω0和η，參照系統(tǒng)參數(shù)選取方法，確定ω1、ω2、ξ1及ξ2；然后，通過(guò)式(7)得到k、kc、c、cc及m(m=1 kg)；最后，將這組參數(shù)和輸入信號(hào)一起輸入到系統(tǒng)響應(yīng)求解模塊，根據(jù)式(1)，借助數(shù)值計(jì)算方法，獲得時(shí)延放大系統(tǒng)的輸出.數(shù)值計(jì)算方法有很多，采用計(jì)算速度較快，同時(shí)求解精度較高的Newmark-β法.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

以n=3為例，對(duì)上述時(shí)延放大系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.該實(shí)驗(yàn)是在消聲室和控制室共同完成的，實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示.消聲室測(cè)試系統(tǒng)如圖7所示，由一個(gè)陣列架和一個(gè)置于遠(yuǎn)場(chǎng)的揚(yáng)聲器構(gòu)成.揚(yáng)聲器由控制室內(nèi)的信號(hào)發(fā)生器控制，產(chǎn)生一個(gè)頻率為500 Hz的聲音信號(hào).陣列架上固定著3個(gè)傳聲器(BSWA MPA416)M1、M2與M3，用于接收該聲信號(hào)，并將其轉(zhuǎn)換為電信號(hào)輸入到數(shù)據(jù)采集器中.傳聲器的布置見(jiàn)圖2，不同聲源方位通過(guò)調(diào)整位于陣列架下方和后方的旋轉(zhuǎn)臺(tái)得到，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)臺(tái)均由一臺(tái)控制器控制.數(shù)據(jù)采集器將采集到的信號(hào)輸入電腦，通過(guò)上述算法獲得時(shí)延放大系統(tǒng)的輸出信號(hào).信號(hào)采樣頻率為102.4 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為 32 768.

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖7 消聲室測(cè)試系統(tǒng)

當(dāng)聲源位于(θ,α)=(20°,135°)時(shí)，數(shù)據(jù)采集器的輸出信號(hào)，即時(shí)延放大系統(tǒng)的輸入信號(hào)如圖8(a)所示.其中，A′0為歸一化后的幅值.為了較清晰地展示信號(hào)波形，設(shè)定時(shí)間顯示長(zhǎng)度為7 ms.根據(jù)輸入信號(hào)的頻譜分析，設(shè)置ω0=1 000π rad/s，選擇η=5，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.時(shí)延放大系統(tǒng)的輸出信號(hào)如圖8(b)所示，其中t為采樣時(shí)間.從圖8(a)中可以發(fā)現(xiàn)，由于傳聲器之間的距離十分微小，3個(gè)輸入信號(hào)幾乎重合在了一起；而圖8(b)中輸出信號(hào)間的時(shí)延清晰可見(jiàn)，這說(shuō)明時(shí)延放大系統(tǒng)能夠有效地放大信號(hào)間的時(shí)延.觀(guān)察圖8(b)可以發(fā)現(xiàn)，輸出信號(hào)的初始部分并不穩(wěn)定，這是由瞬態(tài)響應(yīng)引起的，但由于阻尼的作用，輸出信號(hào)迅速趨于穩(wěn)定，且穩(wěn)定后的信號(hào)具有與輸入信號(hào)相同的頻率.

圖8 輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的時(shí)域圖對(duì)比

圖9 輸入時(shí)延與輸出時(shí)延的估計(jì)結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的時(shí)延放大特性，探究時(shí)延放大對(duì)聲源定位的影響，對(duì)聲源位于不同方位的情況進(jìn)行了研究.保持θ=20°不變，α=0°～45°，間隔角度為5°.利用基本互相關(guān)方法對(duì)時(shí)延放大系統(tǒng)的輸入時(shí)延及輸出時(shí)延進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如圖9所示.圖9中，輸入時(shí)延理論值τin_12與τin_13由式(20)計(jì)算得到，輸出時(shí)延理論值τout_12與τout_13由式(15)計(jì)算得到.從圖9(b)可以看出，對(duì)于所有的聲源方位，輸出時(shí)延都明顯大于輸入時(shí)延，且估計(jì)結(jié)果與理論值曲線(xiàn)吻合良好，驗(yàn)證了時(shí)延放大系統(tǒng)的有效性.在圖9(a)中，隨著α減小，τout_12的估計(jì)結(jié)果逐漸偏離理論值曲線(xiàn).這主要是由兩方面因素導(dǎo)致的：① 輸出時(shí)延與理論值間存在一定的近似誤差(見(jiàn)圖3(a))，該誤差影響相對(duì)較小；② 測(cè)試系統(tǒng)存在一定的加工、安裝及測(cè)試誤差，使得聲源方位與設(shè)置值間存在偏差，該誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差.在實(shí)際應(yīng)用中，由于系統(tǒng)誤差往往可以通過(guò)誤差補(bǔ)償?shù)姆绞竭M(jìn)行消除，這里不做討論.觀(guān)察圖9(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的聲源方位，時(shí)延估計(jì)結(jié)果可能相同，這意味著時(shí)延分辨率將限制聲源的方位分辨能力.此外，由于時(shí)延放大系統(tǒng)的作用，輸出時(shí)延對(duì)聲源方位變化的靈敏度提高，時(shí)延分辨率的影響被削弱，這意味著時(shí)延放大系統(tǒng)將有利于提高聲源的定位精度.

(22)

圖10 有無(wú)時(shí)延放大系統(tǒng)時(shí)的定位誤差對(duì)比圖

有無(wú)放大系統(tǒng)的定位誤差對(duì)比如圖10所示.從圖10中可以看出，無(wú)放大系統(tǒng)時(shí)，誤差波動(dòng)較大；而引入放大系統(tǒng)后，誤差波動(dòng)明顯減小，但隨著α減小，誤差有增大的趨勢(shì)，這主要是由系統(tǒng)誤差引起的.除去系統(tǒng)誤差較大的方位(θ,α)=(20°,0°)，經(jīng)過(guò)時(shí)延放大系統(tǒng)處理，定位誤差都得到了明顯的降低，說(shuō)明時(shí)延放大系統(tǒng)有效地提高了聲源的定位精度.

5 結(jié)語(yǔ)

高維耦合模型可將輸入信號(hào)間的時(shí)延進(jìn)行線(xiàn)性放大，但是放大倍數(shù)受到耦合參數(shù)及聲信號(hào)頻率的影響.本文提出的耦合模型參數(shù)設(shè)計(jì)原則，可確保在不同聲信號(hào)頻率下均能取得理想的時(shí)延放大效果.通過(guò)算法實(shí)現(xiàn)了該耦合模型的時(shí)延放大功能，使得耦合參數(shù)可以根據(jù)聲源頻率進(jìn)行靈活調(diào)節(jié)，從而精確地控制時(shí)延放大倍數(shù)，克服了機(jī)械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)中參數(shù)不便于調(diào)節(jié)的缺點(diǎn).對(duì)時(shí)延放大系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，表明該系統(tǒng)能夠按預(yù)期放大接收信號(hào)間的時(shí)延，并有效地提高小孔徑陣列的定位精度.