余孝軍，劉作志，舒亞東

(貴州財經(jīng)大學數(shù)統(tǒng)學院，貴陽550025)

0 引 言

學者們從不同方面對先進出行者信息系統(tǒng)(Advanced Traveler Information Systems，ATIS)進行研究.Huang 等[1]評估了存在排隊現(xiàn)象的多用戶類一般交通網(wǎng)絡(luò)中ATIS 的作用.Lo 等[2]提出動態(tài)交通分配問題的元胞變分不等式模型，并評估了ATIS的作用.Huang等[3]得到ATIS作用下的多用戶類多準則Logit 型交通均衡分配模型.郭仁擁等[4]提出ATIS作用下的多用戶類多準則隨機交通均衡分配演化模型，并利用不動點定理分析了模型不動點的存在性.學者還對ATIS作用下，固定需求交通均衡行為的效率損失問題進行了研究.劉天亮等[5]探討利己用戶和ATIS用戶組成的混合交通均衡效率損失上界.Huang等[6]研究ATIS作用下隨機用戶均衡行為的效率損失問題.張俊婷等[7-8]分別考慮ATIS和道路收費共同作用下多用戶類多準則混合隨機均衡行為相對系統(tǒng)最優(yōu)和隨機系統(tǒng)最優(yōu)的效率損失問題.

智能的交通個體在進行出行決策前，會根據(jù)交通現(xiàn)狀選擇是否出行，但交通網(wǎng)絡(luò)中的出行需求并不是一個常量，而是關(guān)于出行成本的變量，常用需求函數(shù)刻畫出行成本與出行需求間的關(guān)系.本文探討ATIS作用下彈性需求混合交通均衡的效率損失問題.構(gòu)建ATIS 作用下彈性需求混合交通均衡分配的等價變分不等式模型，定義此均衡行為的效率損失；得到該類混合交通均衡行為的效率損失上界表達式，并給出一個簡單算例.

1 ATIS作用下彈性需求混合交通均衡分配模型

1.1 符號定義

在城市交通網(wǎng)絡(luò)G=(N,A)中，N為頂點集，A為有向路段集，W為所有OD對集合，Rw為OD對w∈W間的所有路徑集.交通網(wǎng)絡(luò)中的每個OD 對w∈W間存在著完全理性的利己用戶u 和配置先進出行者信息系統(tǒng)的ATIS用戶atis.利己用戶u 追求自身效用的最大化，即最小化自身出行成本；ATIS用戶atis根據(jù)接收到的信息，判斷是否選擇出行，一旦確定出行，則遵從系統(tǒng)最優(yōu)原則出行為OD 對w∈W間利己用戶u 的彈性出行需求；為OD對w∈W間ATIS用戶atis的彈性出行需求；為利己用戶u 在路徑r∈Rw,w∈W上的流量；為ATIS 用戶atis 在路徑r∈Rw,w∈W上的流量；若路段a∈A在路徑r∈Rw上，則否則為利己用戶u 在路段a上的流量；為ATIS用戶atis在路段a上的流量；va為路段a上的總流量，；va為路段a上的流量向量為利己用戶u 的路段流量向量，其中，|A|表示網(wǎng)絡(luò)中有向路段的數(shù)量；為ATIS 用戶atis 的路段流量向量，；v為路段流量向量，v≡(v1,…,v|A|)；f為路徑流量向量，其中， |W| 表示網(wǎng)絡(luò)中OD 對的數(shù)量， |R|w|W|表示OD 對w|W|間的路徑數(shù)量；q為需求向量分別為利己用戶u 和ATIS 用戶atis 在OD 對w∈W上的逆需求函數(shù)；假設(shè)路段出行成本函數(shù)ta(va)是可分離函數(shù)，且為路段流量va的連續(xù)可微嚴格遞增凸函數(shù)，且對?c∈[0,1] 滿足ta(cx)≥cta(x).

顯然，交通網(wǎng)絡(luò)中的流量守恒和非約束條件為

式(1)～式(6) 可寫成矩陣形式，即Ω=，其中，是路段/路徑關(guān)聯(lián)矩陣，Λ=[Λrw] 是OD 對/路徑關(guān)聯(lián)矩陣，如果r∈Rw，則Λrw=1，否則Λrw=0.顯然Ω是閉凸集.

1.2 模型構(gòu)建

Nagurney 等[9]給出如下多用戶類彈性需求交通均衡分配結(jié)論：

引理1在M類用戶組成的彈性需求多用戶類交通網(wǎng)絡(luò)中是彈性需求下多用戶類交通均衡分配解的充要條件是下面變分不等式(VI)成立.

本文考慮兩類不同用戶，即利己用戶u 和ATIS用戶atis，記為利己用戶u 在路段a上的出行成本，為ATIS 用戶atis 在路段a上的出行成本，則有

式中：t′a(va)是路段出行成本函數(shù)ta(va)的一階導(dǎo)函數(shù).將式(8)和式(9)代入式(7)，可得ATIS 作用下彈性需求混合均衡交通分配模型.

引理2在ATIS 作用下彈性需求混合交通網(wǎng)絡(luò)中，是該類混合交通均衡分配解的充要條件是對任意的下面的VI成立.

定義ATIS作用下彈性需求混合均衡交通分配的效率損失為

即社會總剩余最大值與均衡時的社會總剩余之比，顯然，ρ≥1.

2 界定效率損失的上界

在界定ATIS作用下彈性需求混合交通均衡分配的效率損失之前，由Chau 等[10]的引理4.2，可得如下定理：

定理1如果對任意非負的的非增函數(shù)，則

證明因為是非增函數(shù)，則有

即

對所有的OD對w∈W求和，則可得式(14)成立.

同理可得

定理2假設(shè)可分離路段出行成本函數(shù)ta(va)是路段總流量va的連續(xù)可微、嚴格遞增凸函數(shù)，且對?c∈[0,1] 滿 足ta(cx)≥cta(x). 則?va≥0 時，成立.

證明由Karakostas 等[11]中的式(7)，可知對任意的va≥0，有

式(18) 中第2 個不等式成立原因為ta0=ta(0)≥0 ；又 因 ?c∈[0,1] ，不 等 式ta(cx)≥cta(x)成立.所以有

接下來，用非線性規(guī)劃法探討ATIS 作用下彈性需求混合交通均衡分配的效率損失上界.對任意給定的，討論非線性規(guī)劃問題，即

設(shè)

由于函數(shù)F(va) 的Hessian 矩陣是半負定矩陣，故F(va)是變量的凹函數(shù)，從而F(va)有全局最大值.令分別為變量的Lagrange 乘子，式(20)的一階最優(yōu)性條件為

由式(22)和式(23)可知，對任意的路段a∈A，非線性規(guī)劃問題式(20)在極值點時，和有且只有一個成立.當時，由式(22)可知

由路段出行成本函數(shù)ta(va) 的假設(shè)可知，式(26)有唯一最優(yōu)解，設(shè)其為代入式(24)可得

由路段出行成本函數(shù)ta(va)的假設(shè)可知式(28)的解為故

式(29)中不等式成立的原因是定理2成立.令

式中：ζ表示均衡時交通網(wǎng)絡(luò)中各路段上利己用戶的流量占該路段總流量比例的最大值.

定理3假設(shè)可分離路段出行成本函數(shù)ta(va)是路段總流量va的連續(xù)可微、嚴格遞增凸函數(shù)，同時對?c∈[0,1] 滿足ta(cx)≥cta(x).設(shè)是VI 問題式(10)的解并且是最優(yōu)化問題式(12)的解.則ATIS 作用下彈性需求混合交通均衡分配的效率損失存在上界，即

證明設(shè)是VI問題式(10)的解，即有

將式(14)和式(17)代入式(33)，可得

即

故

因此，可得式(31)成立.

3 算例計算

本文算法都是基于傳統(tǒng)和經(jīng)典的方法，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模可能對效率損失上界值產(chǎn)生影響，但在表達形式上不影響本文結(jié)論.為說明算法的有效性，用2 個頂點1 條有向路段的簡單交通網(wǎng)絡(luò)來說明，如圖1 所示.路段出行成本函數(shù)為ta(va)=va，利己用戶和ATIS 用戶對應(yīng)的逆需求函數(shù)分別為：.

圖1 算例所用簡單網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Simple network used in example

通過求解VI問題式(10)，可得

計算可得

求解式(12)可得社會總剩余最大時的最優(yōu)解為

根據(jù)ξa,ζ的定義可得，ξa=0.286,ζ=0.714，所以，定理3 顯然成立.

4 結(jié) 論

現(xiàn)有關(guān)于ATIS作用下效率損失研究的文獻大都是考慮固定需求情形下混合交通均衡行為的效率損失，未對ATIS 作用下彈性需求混合交通均衡行為的效率損失進行探討.本文在ATIS 作用下的彈性需求異質(zhì)性交通網(wǎng)絡(luò)中，針對利己用戶和ATIS 用戶的擇路原則的異質(zhì)性，探討了該類混合交通均衡分配的效率損失問題.構(gòu)建ATIS 作用下彈性需求混合交通均衡分配的變分不等式模型，運用非線性規(guī)劃方法得到該類混合交通均衡分配的效率損失上界表達式.研究表明，ATIS作用下的效率損失上界和均衡時的社會總收益與社會總剩余之比，以及均衡時路段上ATIS 用戶流量與總流量之比有關(guān).下一步的研究將探討更緊的上界及隨機交通網(wǎng)絡(luò)的情形.