王思惟

摘 ? 要：本文基于廣義置信區(qū)間理論為基礎(chǔ)，并結(jié)合廣義p值，對雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷問題進(jìn)行了深入的研究。首先對雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)相同性驗(yàn)證問題進(jìn)行了分析，重新定義了廣義驗(yàn)證參數(shù)，給出了與其對應(yīng)的廣義p值，并數(shù)值分析的角度對驗(yàn)證算法的性質(zhì)進(jìn)行了分析。其次，以一個(gè)數(shù)據(jù)特征滿足雙獨(dú)立服從雙參數(shù)指數(shù)分布的產(chǎn)品均用年限比率為例，進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷分析，基于此算例構(gòu)建了一個(gè)新的廣義樞軸參數(shù)，并數(shù)值模擬了產(chǎn)品均用年限比率廣義置信區(qū)間。最后，研究了幾種情況下雙參數(shù)指數(shù)分布同均值的驗(yàn)證問題和置信區(qū)間的估算問題，基于上述問題對廣義驗(yàn)證參數(shù)和廣義樞軸參數(shù)進(jìn)行了重新定義，給出了同均值的廣義置信區(qū)間和基于驗(yàn)證問題的廣義p值，通過數(shù)學(xué)方法證明了其有效性。

關(guān)鍵詞：雙參數(shù)指數(shù)分布 ?廣義置信區(qū)間 ?統(tǒng)計(jì)推斷

中圖分類號(hào)：O212.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2020）04（c）-0223-03

雙參數(shù)指數(shù)分布是數(shù)學(xué)上一種非常重要的分布理論，應(yīng)用范圍非常廣泛?？煽啃岳碚撆c應(yīng)用中被作為參數(shù)化壽命分布模型;金融和保險(xiǎn)領(lǐng)域中被作為損失分布模型進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)研究;在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)研究和現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中也有廣泛應(yīng)用。正是基于雙參數(shù)指數(shù)分布應(yīng)用的廣泛性，學(xué)術(shù)專家們在基于雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)預(yù)估及假設(shè)驗(yàn)證問題方面進(jìn)行了大量研究工作。廣義置信區(qū)間和和廣義p值理論是近年來統(tǒng)計(jì)推斷研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究分支。在諸多統(tǒng)計(jì)模型中得到了非常廣泛的應(yīng)用，用于在數(shù)據(jù)分析中解決數(shù)學(xué)模型的假設(shè)問題驗(yàn)證。

1 ?廣義p值和廣義置信區(qū)間

假定X是一組隨機(jī)參數(shù)，其分布函數(shù)被定義為是參數(shù)向量，η是冗余參數(shù)（θ和η可能會(huì)以向量的形式存在），是樣本空間，g是樣本空間的變換空間，G中的組成元素定義成g，是參數(shù)θ對應(yīng)的參數(shù)空間，是參數(shù)空間的誘導(dǎo)變換空間，中的組成元素定義成，參數(shù)x是隨機(jī)參數(shù)X的觀測值。

1.1 廣義p值的定義

對于廣義驗(yàn)證參數(shù)定義為，此驗(yàn)證參數(shù)與樣本X相關(guān)，樣本觀測參數(shù)x，參數(shù)，需要滿足以下性質(zhì)：

（1）驗(yàn)證參數(shù)的分布與冗余參數(shù)不相關(guān);

（2）驗(yàn)證參數(shù)的觀測參數(shù)與其余未知參數(shù)不相關(guān);

（3）對于特定的關(guān)于參數(shù)θ隨機(jī)單調(diào)。

對于滿足上述三條性質(zhì)的廣義驗(yàn)證參數(shù)來說，定義如下集合就是廣義驗(yàn)證參數(shù)定義的極值區(qū)域，即：，如果Cx是廣義上的極值域，則定義廣義p值為：，當(dāng)廣義驗(yàn)證參數(shù)關(guān)于參數(shù)θ隨機(jī)單調(diào)減，即θ為關(guān)于參數(shù)的單調(diào)減函數(shù)，此外函數(shù)：被定義為廣義驗(yàn)證參數(shù)的功效函數(shù)，由前述的性質(zhì)（1）、性質(zhì)（2）可知，廣義p值與其余參數(shù)不相關(guān)，所以廣義p值可經(jīng)過計(jì)算獲得。

1.2 廣義置信區(qū)間的定義

假定是一個(gè)關(guān)于隨機(jī)樣本X，觀測值x以及參數(shù)的函數(shù)。隨機(jī)參數(shù)R被定義為一個(gè)廣義樞軸參數(shù)，若它滿足以下兩個(gè)條件：

（1）函數(shù)的分布情況與其他參數(shù)不相關(guān);

（2）函數(shù)的觀測值x冗余參數(shù)不相關(guān)。

對廣義樞軸參數(shù)定義后，給出一個(gè)合理的置信系數(shù)γ，考慮R的樣本空間的一個(gè)組成集合Cγ滿足如下條件：，參數(shù)空間的組成集合：稱為關(guān)于θ的100γ%廣義置信區(qū)間。

2 ?雙參數(shù)指數(shù)分布

2.1 雙參數(shù)指數(shù)分布基本性質(zhì)

雙參數(shù)指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是：，其中參數(shù)μ是門限參數(shù)，θ是刻度參數(shù)，定義為E（μ，θ），假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ，θ）的容量大小為n的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，根據(jù)指數(shù)分布的基本變換性質(zhì)可以推導(dǎo)出：

獨(dú)立同分布于，從而推導(dǎo)出如下結(jié)論：如果，則有：nX（1）與S之間存在獨(dú)立性。

2.2 雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的預(yù)估

假設(shè)是獨(dú)立同分布的雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ，θ）的參考樣本。

2.2.1 關(guān)于參數(shù)μ，參數(shù)θ的最大似然預(yù)估

在試驗(yàn)數(shù)據(jù)完整的前提條件下，將參數(shù)作為的次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，則樣本的似然函數(shù)可以定義為：，將上式進(jìn)行最大化處理后的可以得到關(guān)于參數(shù)（μ，θ）的最大似然預(yù)估：，，根據(jù)最大似然預(yù)估的基本性質(zhì)就可以推導(dǎo)出關(guān)于參數(shù)（μ，θ）的精確分布情況。

在進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)的情況下，得到的樣本數(shù)據(jù)為，其中參數(shù)1≤r≤n是的前面數(shù)量為r的次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，則參數(shù)（）的聯(lián)合密度函數(shù)可以表示為：，其中，將式子進(jìn)行最大化處理后的可以得到關(guān)于參數(shù)（μ，θ）的最大似然預(yù)估：，。

2.2.2 關(guān)于參數(shù)μ，參數(shù)θ的一致最小方差無偏預(yù)估

在試驗(yàn)數(shù)據(jù)完整的前提條件下，根據(jù)前文所提到的有關(guān)雙參數(shù)指數(shù)分布的次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)可以得到參數(shù)X（1）和參數(shù)S的期望值：，，進(jìn)而推導(dǎo)出關(guān)于參數(shù)μ和參數(shù)θ的無偏預(yù)估值：，。

因?yàn)閰?shù)（X（1），S）是與參數(shù)（μ，θ）相對應(yīng)的充分必要統(tǒng)計(jì)量，所說上式也同樣是一致最小方差無偏預(yù)估值。其中。

2.2.3 關(guān)于參數(shù)μ，參數(shù)θ的最小二乘預(yù)估

在試驗(yàn)數(shù)據(jù)完整的前提條件下，根據(jù)分布函數(shù)式進(jìn)行推導(dǎo)，則可以得到：這里需要進(jìn)行關(guān)注的是每一個(gè)X（i）都存在一個(gè)與之相對應(yīng)的F（X（i）），有此可以產(chǎn)生n對組合序列：，根據(jù)組小二乘法原理，則可以得到：，，其中，，。

3 ?雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷

產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)在激烈的市場競爭中是否占據(jù)競爭優(yōu)勢地位的關(guān)鍵所在，而產(chǎn)品的使用壽命是與產(chǎn)品質(zhì)量關(guān)聯(lián)度非常高的一個(gè)性能指標(biāo)。雙參數(shù)指數(shù)分布是一種應(yīng)用廣泛的壽命分布，常用來對產(chǎn)品的使用壽命進(jìn)行分析。因此，對雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的假設(shè)驗(yàn)證問題具有重要的應(yīng)用意義。

3.1 單個(gè)雙參數(shù)指數(shù)分布總體下參數(shù)的假設(shè)驗(yàn)證問題

3.1.1 關(guān)于門限參數(shù)μ的驗(yàn)證問題

假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ，θ）的容量大小為n的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，對如下3種情況關(guān)于門限參數(shù)μ的驗(yàn)證問題進(jìn)行討論：

其中μ是需要被驗(yàn)證的未知參數(shù)，μ0是已知的常數(shù)。

（1）參數(shù)θ為已知情況下，關(guān)于μ的驗(yàn)證問題：

根據(jù)前文式可知，，所以選取驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)參數(shù)：。

3.1.2 關(guān)于形狀參數(shù)θ的驗(yàn)證問題

假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ，θ）的容量大小為n的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，對如下3種情況關(guān)于門限參數(shù)θ的驗(yàn)證問題進(jìn)行討論：

其中θ是需要被驗(yàn)證的未知參數(shù)，θ0是已知的常數(shù)。根據(jù)前文式可知，，所以選取驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)參數(shù)：。

3.2 兩個(gè)雙參數(shù)指數(shù)分布總體下參數(shù)的假設(shè)驗(yàn)證問題

3.2.1 關(guān)于門限參數(shù)μ的驗(yàn)證問題

假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ1，θ1）的容量大小為n的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù);假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ2，θ2）的容量大小為m的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù);參數(shù)全部為未知參數(shù)，并且參數(shù)與之間存在獨(dú)立性。對如下假設(shè)驗(yàn)證問題進(jìn)行討論：。

（1）參數(shù)為已知情況下，關(guān)于μ的驗(yàn)證問題，選取驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)參數(shù)：。根據(jù)假設(shè)驗(yàn)證的基本理論，則可以推導(dǎo)出在設(shè)定顯著性水平時(shí)的驗(yàn)證問題的拒絕域是：其中，tα滿足方程。

（2）θ1與θ2未知且不一定相等情況下，關(guān)于μ的驗(yàn)證問題：

在進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)的情況下，假設(shè)是的k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，假設(shè)是的個(gè)次序統(tǒng)計(jì)參數(shù)，且。

選取似然比驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)參數(shù)：，其中，，，，，。

根據(jù)假設(shè)驗(yàn)證的基本理論，則可以推導(dǎo)出在設(shè)定顯著性水平時(shí)的驗(yàn)證問題的拒絕域是：。

3.2.2 關(guān)于門限參數(shù)θ的驗(yàn)證問題

假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ1，θ1）的容量大小為n的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù);假設(shè)是一組基于雙參數(shù)指數(shù)分布E（μ2，θ2）的容量大小為m的樣本次序統(tǒng)計(jì)參數(shù);參數(shù)全部為未知參數(shù)，并且參數(shù)與間存在獨(dú)立性。對如下假設(shè)驗(yàn)證問題進(jìn)行討論：，選取驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)參數(shù)：，根據(jù)前文式可知，，則有：，根據(jù)假設(shè)驗(yàn)證的基本理論，則可以推導(dǎo)出在設(shè)定顯著性水平時(shí)的驗(yàn)證問題的拒絕域是：

4 ?結(jié)語

本文在統(tǒng)計(jì)推斷問題的分析研究中，引入了廣義置信區(qū)間和廣義p值理論。對于多個(gè)雙參數(shù)指數(shù)分布總體門限參數(shù)相似性的驗(yàn)證問題，重新給出了廣義驗(yàn)證參數(shù)，并給出了與其對應(yīng)的廣義p值，并且證明了當(dāng)樣本總體進(jìn)行等比例變換情況下，論述中所給出廣義p值具有恒定性;對于多個(gè)雙參數(shù)指數(shù)分布總體方差相似性的驗(yàn)證問題重新構(gòu)建了新的廣義p值方法。

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