于清文 趙海濱 顏世玉

摘 ? 要：以Liu混沌系統(tǒng)為例，采用Python語言進(jìn)行建模和仿真，并利用matplotlib繪制狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線、二維相圖和三維相圖。采用Python語言進(jìn)行混沌系統(tǒng)的仿真，非常方便和直觀，能夠加深學(xué)生對理論知識的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng) ?仿真教學(xué) ?Python語言

中圖分類號：G642.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）04（c）-0139-02

Abstract：Taking Liu chaotic system as an example， we use Python language to model and simulation， and use matplotlib to draw the response curve， two-dimensional and three-dimensional phase diagram of state variables. It is very convenient and intuitive to use Python language to stimulate chaotic system， which can deepen students understanding and mastery of theoretical knowledge.

Key Words：Chaotic system; Simulation training; Python language

混沌及其應(yīng)用技術(shù)是近年來非線性科學(xué)領(lǐng)域的熱點問題[1]。混沌系統(tǒng)對初始條件非常敏感，廣泛存在于各種非線性系統(tǒng)中。1963年氣象學(xué)家Lorenz在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子。劉崇新等提出了Liu混沌系統(tǒng)，能夠用硬件電路實現(xiàn)，具有非常豐富的動力學(xué)特性和廣泛的應(yīng)用[2]。

本文以Liu混沌系統(tǒng)為研究對象，采用Python語言進(jìn)行建模和仿真。在仿真實驗中，根據(jù)Liu混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，采用歐拉方法進(jìn)行仿真，并通過matplotlib庫進(jìn)行數(shù)據(jù)的可視化。該仿真實驗非常的方便和直觀，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對理論知識的理解和掌握。

1 ?Python語言

Python語言簡單易學(xué)，而且具有開源和免費的優(yōu)點，是目前最受歡迎的程序設(shè)計語言之一。越來越多的大學(xué)和科研機構(gòu)將Python作為首門程序設(shè)計課程的教學(xué)語言[3-4]。Python是一種跨平臺的解釋型、面向?qū)ο?、動態(tài)的高級程序設(shè)計語言，有大量的開源庫可供調(diào)用[5]。matplotlib是Python經(jīng)典的二維繪圖庫，可以很容易的繪制折線圖、柱狀圖和散點圖等二維圖像，非常方便的進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化[6]。在matplotlib庫中，通過函數(shù)Axes3D繪制數(shù)據(jù)的三維圖形。

2 ?Liu混沌系統(tǒng)

Liu混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡單，能夠用硬件電路實現(xiàn)[7]。Liu混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為

（1）

其中，x，y和z為Liu混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量，a，b，c和d為常數(shù)。當(dāng)a=10.0，b=40.0，c=2.5和d=4.0時，Liu混沌系統(tǒng)為混沌狀態(tài)。Liu混沌系統(tǒng)具有三個不穩(wěn)定的平衡點，分別為，和。

3 ?Liu混沌系統(tǒng)的仿真

歐拉方法是一種簡單的數(shù)值積分方法，數(shù)值收斂性好。在歐拉方法中，將時間區(qū)間[0，T]做N等分，小區(qū)間的長度h=T/N稱為步長。采用歐拉法進(jìn)行Liu混沌系統(tǒng)仿真，Python語言腳本程序如下

在腳本程序中，對Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)和初始狀態(tài)進(jìn)行設(shè)置。Liu混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為。采用歐拉方法進(jìn)行仿真時，步長設(shè)定為h=0.001，仿真時間設(shè)定為50s。在matplotlib庫中通過函數(shù)Axes3D繪制三維圖形。

該腳本程序運行后，可以得到Liu混沌系統(tǒng)的三維相圖，如圖1所示。Liu混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量x和y的二維相圖，如圖2所示，狀態(tài)變量y和z的二維相圖，如圖3所示，狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，如圖4所示。Liu混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

4 ?結(jié)語

Python語言具有非常高的編程效率，在機器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘和模式識別等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。根據(jù)Liu混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，本文采用Python語言進(jìn)行Liu混沌系統(tǒng)的建模和仿真，采用matplotlib繪制三維相圖、二維相圖和狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線。采用Python語言進(jìn)行混沌系統(tǒng)的仿真，非常形象和直觀。學(xué)生可以修改參數(shù)和腳本程序，然后進(jìn)行仿真實驗，觀察仿真結(jié)果，能夠加深學(xué)生對理論知識的理解和掌握。

參考文獻(xiàn)

[1] 孫克輝. 混沌保密通信原理與技術(shù)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[2] 高秉建. 基于Liu混沌系統(tǒng)生成的多翅膀蝴蝶吸引子[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2016，13（1）：91-94.

[3] 嵩天，黃天羽. Python語言程序設(shè)計教學(xué)案例新思維[J].計算機教育，2017（12）：11-14.

[4] 楊榮領(lǐng).《Python語言程序設(shè)計基礎(chǔ)》課程教學(xué)改革實踐[J]. 高教學(xué)刊，2019（3）：135-137.

[5] 張健，張良均. Python編程基礎(chǔ)[M].北京：人民郵電出版社，2018.

[6] 張若愚. Python科學(xué)計算[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[7] 王發(fā)強，劉崇新. Liu混沌系統(tǒng)的混沌分析及電路實驗的研究[J]. 物理學(xué)報，2006，55（10）：5061-5069.