汪 麗，徐小林，韓 濤，吳 杰

(湖北師范大學(xué) 機(jī)電與控制工程學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

隨著智能體應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展，智能體面臨的工作環(huán)境和任務(wù)越來(lái)越復(fù)雜多變，有些較為艱巨的工作任務(wù)對(duì)單個(gè)智能體來(lái)說(shuō)很難甚至無(wú)法完成。而多智能體系統(tǒng)由于有更高的效率性，更低的智能體故障敏感性，更大的靈活性等特征，在執(zhí)行任務(wù)時(shí)表現(xiàn)出更大的優(yōu)勢(shì)，因而，多智能體系統(tǒng)的研究得到各個(gè)領(lǐng)域研究者的密切關(guān)注，比如編隊(duì)[1]、協(xié)同[2]、一致[3]等。其中，作為多智能系統(tǒng)問(wèn)題的基礎(chǔ)，一致性一直是一個(gè)熱門問(wèn)題。

多智能體的一致性是指隨著時(shí)間的變化，所有個(gè)體的狀態(tài)會(huì)收斂到一個(gè)相同的值。一致性問(wèn)題的基本思想是構(gòu)建一個(gè)分布式控制器，以確保智能體依賴于相鄰智能體信息就能夠達(dá)到一致。一致性問(wèn)題已經(jīng)從一階多智能體[4～5]發(fā)展到二階多智能體[6]，與一階多智能體相比，二階多智能體的一致性問(wèn)題更加困難和復(fù)雜。因?yàn)槎A系統(tǒng)的一致性不僅包括一階多智能體的位置一致性，還有速度一致性。在文獻(xiàn)[7]中，針對(duì)含有干擾和未知速度的二階系統(tǒng)，首先通過(guò)高增益觀測(cè)器測(cè)定未知速度，然后介紹了基于反饋方法的控制器，使得系統(tǒng)在李雅普諾夫定理作用下實(shí)現(xiàn)了二階有限時(shí)間一致。在文獻(xiàn)[8]中，基于無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)?，討論了具有外部有界干擾的二階多智能體的有限時(shí)間一致跟蹤。根據(jù)相鄰智能體的狀態(tài)及速度信息，構(gòu)造了一種新穎的一致控制器以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致性。在文獻(xiàn)[9]中，介紹了基于EID估計(jì)器和Smith預(yù)測(cè)的控制器設(shè)計(jì)的輸入時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的魯棒一致性問(wèn)題，利用李雅普諾夫方法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的漸進(jìn)一致。在文獻(xiàn)[10]中，針對(duì)二階多智能體，提出了與傳統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟蹤方法不同的解決方案。傳統(tǒng)的方法都是假定每個(gè)代理都滿足利普希茨連續(xù)條件的固有動(dòng)力學(xué)，而文獻(xiàn)[10]研究了一種更為通用的情況：不連續(xù)的固有動(dòng)力學(xué)。通過(guò)非平滑方法，首先提出了一種非線性協(xié)議，然后根據(jù)穩(wěn)定性理論實(shí)現(xiàn)了一致性。在以上研究中，很少有人設(shè)計(jì)基于滑模方法的控制器來(lái)解決二階一致性，而事實(shí)上，滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)更好地控制精度、更小的狀態(tài)誤差。

基于以上討論，本文研究了有向拓?fù)鋱D下基于快速終端滑模方法的有限時(shí)間一致性。本文的主要貢獻(xiàn)在：1)與文獻(xiàn)[8]中無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性相比，本文中的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性可以減少系統(tǒng)的能量消耗，含有更好的容錯(cuò)功能。2)與文獻(xiàn)[9]中的漸進(jìn)一致相比較，本文采用的有限時(shí)間控制器使得系統(tǒng)收斂時(shí)間更快，而不是收斂時(shí)間趨于無(wú)窮。3)與文獻(xiàn)[10]中在無(wú)向圖下的多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性跟蹤相比，本文不僅采用了快速終端滑模方法，使得系統(tǒng)狀控制精度更好，收斂速度更快，同時(shí)將有限時(shí)間一致性拓展到了有向拓?fù)鋱D，使拓?fù)湫问礁幸话阈耘c實(shí)際性。

1 預(yù)備知識(shí)

多智能體的通信拓?fù)溆杉訖?quán)圖G(v,ε,A)表示，其中v=1,2,…,N和ε?v×v分別表示有限的非空頂點(diǎn)集和邊集。鄰接矩陣A定義為：

其中(i,j)∈ε表示第i個(gè)智能體可以接收第j個(gè)智能體的信息。另外，圖G的拉普拉斯矩陣L定義為

本文中，我們考慮一組多智能體，其中包含一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者(標(biāo)記為0)和N個(gè)跟隨者(分別標(biāo)記為1,2,…,N).另外，G表示跟隨者之間的信息交流，H表示包括跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者在內(nèi)的所有智能體之間的信息交流。領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的信息交流定義為

其中(i,0)∈ε表示第i個(gè)智能體可以接收領(lǐng)導(dǎo)者的信息。

2 問(wèn)題描述

考慮含有N+1個(gè)智能體的系統(tǒng)，其中含有N個(gè)跟隨者，分別標(biāo)記為i=1,2,…，N.一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，標(biāo)記為0.每個(gè)跟隨者的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)如下所示：

(1)

其中，xi,vi,ui分別表示第i個(gè)跟隨者的位置、速度及控制輸入。

另外，領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為：

(2)

其中，x0,v0,u0分別表示領(lǐng)導(dǎo)者的位置、速度及控制輸入。

這個(gè)多智能體達(dá)到有限時(shí)間一致，也就是存在一個(gè)時(shí)刻T(x(0))，使得

t≥T(x(0)),xi(t)=x0(t),vi(t)=v0(t),i=1,2,…，N.

假設(shè)1：多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)涫且粋€(gè)有向生成樹(shù)，并且以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)。

3 主要成果

在本節(jié)中，我們研究多智能體系統(tǒng)(1)和(2)的二階一致性?；诮K端滑?？刂撇呗?，介紹了一種新的分布式跟蹤控制器。分布式控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程主要包括兩個(gè)步驟。首先，我們通過(guò)測(cè)量相鄰跟隨者的狀態(tài)及速度，引入了跟蹤誤差系統(tǒng)，從而設(shè)計(jì)了滑模面。在跟蹤誤差和滑模表面的基礎(chǔ)上，介紹了每個(gè)跟隨者的控制器。

定義跟蹤誤差如下：

在此基礎(chǔ)上，我們?yōu)槊總€(gè)跟隨者設(shè)計(jì)了一個(gè)滑模矢量：

si(t)=eiv(t)+ceix(t)+d(eix(t))m/q

其中，i=1,2,…,N;c,d>0；q,m(q>m)是正奇數(shù)。由此，可設(shè)計(jì)控制器如下：

(3)

根據(jù)以上討論，下面的定理詳細(xì)介紹了主要結(jié)果。

定理 假設(shè)1成立，考慮多智能體系統(tǒng)(1)和(2)，在控制輸入(3)下，則一致性在有限時(shí)間內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)，其中有限時(shí)間滿足

證明 為了證明這一結(jié)果，我們將使用終端滑?？刂萍夹g(shù)來(lái)解決該問(wèn)題。因此，證明分為以下兩個(gè)步驟。

步驟1：為驗(yàn)證所有滑模都可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)，我們采用滑模矢量的導(dǎo)數(shù)：

然后，用矩陣形式表示滑模導(dǎo)數(shù)和控制器：

因此，跟蹤誤差表示為

定義李雅普諾夫函數(shù)V(t)=1/2sT(t)s(t)，可得

=-sT(t)sgn(s(t))

≤-‖s(t)‖2

根據(jù)李雅普諾夫定理，得出V(t)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到零的結(jié)論，則s(t)=0將在有限時(shí)間內(nèi)保持。

步驟2：在以上詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上，如果s=0，則顯然

si(t)=eiv(t)+ceix(t)+d(eix(t))m/q=0,i=1,2,…,N.

顯然根據(jù)快速終端滑模定理，可知狀態(tài)誤差與速度誤差在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到(0,0).假設(shè)1成立，則矩陣H=L+B是可逆的，則

t≥T,xi(t)=x0t,vi(t)=v0(t)

這意味著二階多智能體在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了一致跟蹤。證明結(jié)束。

4 數(shù)值仿真

本部分將通過(guò)一個(gè)仿真例子來(lái)證明理論結(jié)果的正確性和有效性。我們考慮一組多智能體，其中包含一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者(標(biāo)記為0)和三個(gè)跟隨者(分別標(biāo)記為1,2,3)，它們之間的拓?fù)潢P(guān)系如圖1所示。顯然，系統(tǒng)間的通信拓?fù)涫且粋€(gè)有向生成樹(shù)，并且以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)，即滿足假設(shè)1.

圖1 通信拓?fù)鋱D

設(shè)置跟隨者,跟隨者的初始值，領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入分別為

x=(-7,7,9),v=(3,8,-10),x0(0)=4,v0(0)=-8,u0(t)=cos(0.1t)

參數(shù)為c=0.2,d=0.5,q=5,m=3，此外，跟隨者的控制輸入如(3)所示。

圖2表示跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的位置軌跡；圖3表示跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的速度軌跡。由圖2和圖3，顯然可得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了二階有限時(shí)間一致。

圖2 位置軌跡圖

圖3 速度軌跡圖

5 結(jié)論

在本文中，我們研究了二階多智能體一致跟蹤問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們引入了快速終端滑模方法并且在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了分布式一致跟蹤控制器。根據(jù)李雅普諾夫定理和有限時(shí)間一致穩(wěn)定理論，可以證明系統(tǒng)在給定的控制器下可達(dá)到一致跟蹤。仿真也證實(shí)了理論結(jié)果的有效性。未來(lái)的工作將考慮帶有輸入飽和的二階多智能體固定時(shí)間一致性。