夏志，劉均，2，程遠勝*，2

1 華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

2 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240

0 引 言

對于水下結(jié)構(gòu)物而言，各種主動力設(shè)備和輔助機電設(shè)備通過基座與艇體連接，機械振動借助基座向艇體傳遞，進而向周圍環(huán)境輻射［1］。機械振動的傳遞會嚴重降低水下結(jié)構(gòu)物的隱蔽性能，而基座阻抗直接影響著振動的傳遞，因此在設(shè)計水下結(jié)構(gòu)物時，基座阻抗是一個重要的性能指標。實際工程設(shè)計通常借助有限元仿真獲得基座阻抗特性，然而由于水下結(jié)構(gòu)物的結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，其仿真過程往往需要耗費大量的設(shè)計時間以及計算資源［2］。為了解決這一問題，提高設(shè)計效率，借助代理模型技術(shù)以求取代復(fù)雜的仿真計算具有重要的意義。

代理模型技術(shù)是利用有限的已知信息預(yù)測未知響應(yīng)的近似擬合方法。常用的4 種代理模型分別為支持向量機代理模型（SVR）［3］、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型（BPNN）［4］、徑向基代理模型（RBF）［5］和Kriging 代理模型（KRG）［6］。近些年來，代理模型技術(shù)在工程設(shè)計領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。鄭少平等［7］對比分析了多種代理模型技術(shù)在不同樣本點空間分布和比例下的擬合精度，并借助代理模型技術(shù)計算了船舶板架強度和穩(wěn)定性，計算結(jié)果滿足工程精度要求。郭明慧等［8］通過Kriging 代理模型預(yù)測水下潛艇結(jié)構(gòu)模型的振動聲輻射，計算結(jié)果表明，該方法可以快速、準確地預(yù)報結(jié)構(gòu)固有頻率和聲功率級。張峰等［9］分析比較了4 種代理模型預(yù)報船舶集成上層建筑開口群角隅應(yīng)力的精度，并選用性能最優(yōu)的Kriging 代理模型分析了結(jié)構(gòu)尺寸對開口角隅節(jié)點應(yīng)力的影響，結(jié)果表明開口面板厚度作用最關(guān)鍵。Zhou 等［10］提出了一種基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面代理模型，并將其應(yīng)用于大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)設(shè)計，證明了該方法可以應(yīng)用于大型結(jié)構(gòu)。Paiva 等［11］對比分析了不同代理模型在機翼框架多學科優(yōu)化設(shè)計中的性能和精度，并通過4 個實際算例分析了不同代理模型的適用性。

目前代理模型技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車和土木等多個領(lǐng)域，但針對艦船基座結(jié)構(gòu)阻抗特性的研究較少。本文將以水下結(jié)構(gòu)物典型平臺基座為研究對象，通過代理模型技術(shù)快速預(yù)報其阻抗特性，對比分析不同代理模型的預(yù)測精度，并結(jié)合工程實際提出針對性的策略，進一步提高代理模型精度。

1 水下結(jié)構(gòu)物平臺基座阻抗特性計算分析

1.1 平臺基座有限元模型

選取6 個尺寸參數(shù)作為設(shè)計變量，其幾何位置如圖1（c）所示，取值區(qū)間如表1 所示。

圖1 基座結(jié)構(gòu)、變量幾何位置及加載點示意圖Fig.1 Foundation structure，geometric position of design variables and the load point

表1 設(shè)計變量及其取值區(qū)間Table 1 Design variables and their parameters

有限元模型的坐標原點位于液艙靠近圓柱殼一端圓心處，船長方向為Z 軸，向艉為正，船寬方向為X 軸，右舷為正，型深方向為Y 軸，向上為正。采用有限元分析軟件ANSYS 計算時，環(huán)向T型材、液艙強T 型材的面板和液艙弱T 型材使用Beam 188 單元，其余結(jié)構(gòu)均使用Shell 181 單元。根據(jù)文獻［12］的單元網(wǎng)格劃分標準，本模型網(wǎng)格尺寸應(yīng)小于121 mm，實取100 mm。邊界條件為約束耐壓殼兩端節(jié)點的3 個平動自由度。在基座A 點（基座第3 塊肘板中間位置）處施加垂直于基座面板向下的單位簡諧力，加載方式如圖1（d）所示。

1.2 阻抗計算及結(jié)果分析

機械阻抗為簡諧激勵及其引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)復(fù)幅值之比。根據(jù)響應(yīng)量的差異，通常分為速度阻抗、加速度阻抗和位移阻抗。根據(jù)響應(yīng)點和激勵點的位置關(guān)系，又可以劃分為跨點阻抗和原點阻抗［13］。本文中的阻抗指的是原點速度阻抗。

假設(shè)系統(tǒng)的激勵力為

式中：F0為激勵力的幅值；ω為激勵力頻率；t 為時間；φ1為激勵力相位；對應(yīng)的振動變形位移可表示為

式中：X0為振動變形的位移幅值；φ2為位移相位，可借助有限元仿真軟件ANSYS 計算獲得。速度v=jωx，則該系統(tǒng)的速度阻抗z可表示為［14］

借助有限元參數(shù)化建模技術(shù)，通過ANSYS APDL 語言編寫計算模型參數(shù)化命令流，隨機選取一組設(shè)計參數(shù)作為輸入，計算頻率范圍為2～500 Hz，步長取2 Hz，A 點阻抗結(jié)果如圖2（a）所示。

由圖2（a）可知，每一組設(shè)計參數(shù)，對應(yīng)一條隨頻率變化的二維阻抗曲線；在計算頻域內(nèi)，阻抗曲線出現(xiàn)了較為密集的谷值和峰值，并伴隨著十分明顯的波動；在低于180 Hz 的頻域內(nèi)，阻抗曲線呈現(xiàn)下降趨勢，在150～500 Hz 的頻域內(nèi)，阻抗曲線在一個區(qū)間內(nèi)上下波動。

實際工程評價基座設(shè)計方案時，最關(guān)鍵的性能指標是滿足阻抗限界值，通常阻抗限界值是一條下凸的曲線，如圖2（b）所示。一個合格的設(shè)計方案，其阻抗計算值必須大于限界値，即阻抗計算曲線位于限界值曲線上方。

圖2 阻抗計算曲線示例和阻抗設(shè)計要求曲線Fig.2 An impedance curve and the required curve

2 基于原數(shù)據(jù)代理模型的基座阻抗特性預(yù)報

2.1 4 種常用代理模型原理

1）支持向量機代理模型（SVR）［3］：核心是支持向量機算法，其本質(zhì)是使所有樣本點盡可能分布在邊界超平面之間，從而實現(xiàn)線性回歸。

2）BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型（BPNN）［4］：核心是BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，其本質(zhì)是按誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ柧毜亩鄬忧梆伨W(wǎng)絡(luò)。

3）徑向基代理模型（RBF）［5］：核心是徑向基函數(shù)，其本質(zhì)是以未知點與樣本點之間的距離范數(shù)為自變量，借助徑向函數(shù)的線性疊加來預(yù)測未知點的函數(shù)值。

4）Kriging 代理模型（KRG）［6］：核心是Kriging算法，其本質(zhì)是估計方差最小的無偏估計內(nèi)插算法。Kriging 算法通過協(xié)方差控制高斯過程來模擬內(nèi)插值，生成連續(xù)函數(shù)，不僅考慮采樣點間的距離對預(yù)測值的影響，還考慮了采樣點的空間分布以及位置關(guān)系。

2.2 不同樣本點數(shù)量下代理模型性能對比

在構(gòu)造代理模型時，通常分為4 個步驟完成，其流程圖如圖3 所示。

圖3 代理模型構(gòu)建流程圖Fig.3 The flow chart of building a surrogate model

本文采用優(yōu)化拉丁超立方抽樣生成樣本點。優(yōu)化拉丁超立方抽樣的本質(zhì)是將設(shè)計區(qū)間劃分成若干個等間距不重疊的子區(qū)間，對每個子區(qū)間分別進行獨立的等概率抽樣，通過較少的樣本點表征全部設(shè)計點，避免了大量重復(fù)抽樣，同時提高了抽樣的精度和效率［15］。

為了對比分析不同樣本點數(shù)量下代理模型的擬合精度，分別抽取10n，15n，20n，25n 的樣本點數(shù)量，n=6 取為計算模型的自變量個數(shù)。然后借助有限元仿真軟件ANSYS，計算樣本點對應(yīng)的阻抗輸出結(jié)果。

由第1 節(jié)可知，每一組設(shè)計參數(shù)，對應(yīng)著一條隨頻率變化的二維阻抗曲線。在擬合基座阻抗的輸入-輸出映射關(guān)系時，針對考核頻域內(nèi)的每一個計算頻率分別構(gòu)建一個代理模型，則有

式中，F(xiàn)N(x)表示第n 個計算頻率處的代理模型。

接著借助Matlab 平臺算法工具箱，分別利用支持向量機代理模型、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型、徑向基代理模型和Kriging 代理模型，設(shè)置多組備選參數(shù)，結(jié)合交叉驗證方法，建立樣本點輸入和阻抗輸出數(shù)據(jù)的近似映射關(guān)系，進行水下結(jié)構(gòu)物典型平臺基座阻抗特性預(yù)測代理模型的訓練和構(gòu)造。訓練完成后，隨機生成200 個測試方案，分別借助代理模型計算阻抗預(yù)測值和有限元仿真軟件ANSYS 計算其真實值，并進行代理模型預(yù)測精度評價分析，本文采取以下3 種評價標準：

1）決定系數(shù)R2。

式中：N 表示測試點數(shù)量；yi表示在測試點xi處的真實值；y?i表示在測試點xi處的預(yù)測值；yˉ表示所有測試點的真實輸出平均值。R2的輸出范圍為0～1，其越接近1，則表示預(yù)測模型越接近真實模型。

2）標準化均方根誤差NRMSE［16］。

NRMSE 的取值范圍大于0，常用于評價預(yù)測模型和真實模型的整體誤差，對于一個精度較高的預(yù)測模型，其NRMSE 數(shù)值應(yīng)該盡量小。

3）標準化最大絕對誤差NMAE［16］。

與上述兩種評價標準不同，NMAE 是一種模型局部誤差評價標準。NMAE 的取值范圍大于0，NMAE 越小，表示模型的局部預(yù)測精度越高。

不同樣本點數(shù)量下，4 種代理模型的R2，NRMSE 和NMAE 的計算結(jié)果分別如表2～表4所示。

表2 決定系數(shù)結(jié)果Table 2 The results of R2

表3 標準化均方根誤差結(jié)果Table 3 The results of NRMSE

表4 標準化最大絕對誤差結(jié)果Table 4 The results of NMAE

由計算結(jié)果可知，當樣本點數(shù)量增加到120時，4 種代理模型的擬合精度趨于收斂，當樣本點數(shù)量繼續(xù)增加時，3 種評價指標基本不再變化；此時，Kriging 代理模型在3 種指標上都表現(xiàn)出最為優(yōu)良的性能，表明其對設(shè)計參數(shù)輸入-阻抗輸出的真實映射關(guān)系取得了較好的擬合，模型整體精度和局部精度都較高。因此，采用Kriging 代理模型預(yù)測基座阻抗特性曲線，訓練代理模型的樣本點數(shù)量取為120。

3 基于數(shù)據(jù)前處理的代理模型基座阻抗特性預(yù)報

3.1 數(shù)據(jù)前處理原理

隨機選取一組設(shè)計參數(shù)，借助有限元仿真軟件ANSYS 計算其真實值，通過Kriging 代理模型計算其預(yù)測值，其阻抗結(jié)果如圖4 所示。

圖4 真實阻抗曲線和預(yù)測阻抗曲線對照圖Fig.4 Comparison of an actual impedance curve and a predicted impedance curve

從圖4 可以看出，阻抗預(yù)測曲線和真實曲線大致吻合，但是在中高頻域，存在較為明顯的偏差。由第1 節(jié)可知，阻抗曲線存在密集的峰值和谷值，并且伴隨著劇烈的波動。直接將樣本點的阻抗計算數(shù)據(jù)用于構(gòu)建代理模型，會導(dǎo)致模型精度不夠理想，預(yù)測誤差偏大。

為了提高代理模型的預(yù)報精度，考慮對樣本點的阻抗計算數(shù)據(jù)進行前處理。根據(jù)第1 節(jié)的分析，在實際工程設(shè)計中，阻抗計算值需要滿足設(shè)計要求值，即阻抗計算曲線應(yīng)處于阻抗要求曲線上方。由于阻抗限界值是一條下凸的曲線，因此考慮尋找阻抗計算曲線的包絡(luò)線，即包含所有數(shù)據(jù)點的最小下凸邊界。

格雷厄姆掃描法［17］常用于求解包圍一個給定點集所有點的最小凸多邊形，本文借助該方法完成阻抗計算數(shù)據(jù)的前處理，獲得阻抗曲線的包絡(luò)線。隨機選取一組設(shè)計參數(shù)的阻抗計算曲線進行前處理，其包絡(luò)線如圖5 所示。

圖5 阻抗真實曲線和包絡(luò)線示意圖Fig.5 An actual impedance curve and its enveloping line

由圖5 可知，相比真實的阻抗曲線，包絡(luò)線舍棄了部分局部特征，主要保留整體特征，使得阻抗曲線更為平緩。前處理環(huán)節(jié)的增加，改變了擬模擬曲線的形式，相當于對真實阻抗曲線進行等價映射，保留核心信息，去掉部分不關(guān)心的信息。

3.2 數(shù)據(jù)前處理代理模型性能評估

加入前處理之后，代理模型性能對比的整個過程如圖6 所示。

代理模型f1作為初始方案構(gòu)造的代理模型，對預(yù)測結(jié)果進行前處理操作；而代理模型f2作為修改方案構(gòu)造的代理模型，則是在訓練代理模型之前將樣本點計算結(jié)果進行前處理；作為對照的真實結(jié)果，則是對測試點計算結(jié)果進行前處理操作得到。隨機選擇一組設(shè)計方案，比較兩種代理模型構(gòu)造方案的預(yù)測結(jié)果，如圖7 所示。

由圖7 可知，兩種代理模型構(gòu)建方案對于真實結(jié)果的預(yù)測精度都較高，整體趨勢基本一致，但在中高頻域，修改后的代理模型預(yù)測結(jié)果與真實結(jié)果更為貼合。

兩種代理模型構(gòu)造方案的3 種精度評價標準計算結(jié)果如表5 所示。

圖6 代理模型性能對比流程圖Fig.6 The flow chart of performance comparison of surrogate models

圖7 兩種方案預(yù)測結(jié)果對比Fig.7 Comparison of predicted impedance curves of two schemes

由表5 可知，兩種建模方案的決定系數(shù)都趨近于1，表明對于輸入-輸出的真實映射關(guān)系都取得了較好的擬合；加入前處理環(huán)節(jié)之后，相比初始的代理模型構(gòu)建方案，修改后的代理模型構(gòu)建方案的標準化均方根誤差和標準化最大絕對誤差分別減小了9.80%和15.43%，整體誤差和局部誤差都得到了一定程度的減小。

4 結(jié) 論

本文以一水下結(jié)構(gòu)物典型平臺基座為研究對象，計算分析其阻抗曲線特性，通過代理模型對該結(jié)構(gòu)的參數(shù)輸入-阻抗輸出映射關(guān)系進行擬合，研究結(jié)果表明：

1）相比支持向量機代理模型、徑向基代理模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型，Kriging 代理模型對該問題具備更好的適用性；

2）結(jié)合工程實際和阻抗特性曲線特征，提出的基座阻抗樣本點響應(yīng)數(shù)據(jù)前處理方法，可以有效地提高代理模型的擬合精度，標準化均方根誤差和標準化最大絕對誤差分別減小了9.80%和15.43%。

本文提出的代理模型構(gòu)造方案及精度分析結(jié)果，可用于指導(dǎo)實際工程中基座結(jié)構(gòu)阻抗特性的快速預(yù)報。