有名輝

(浙江機電職業(yè)技術學院數(shù)學教研室，浙江杭州 330053)

其中π是滿足（1）式的最佳常數(shù)因子[1].不等式（1）即著名的Hilbert不等式.近十幾年來，借助分析學的相關技巧，研究者們建立了大量的Hilbert不等式的類似形式及其推廣[2-9]，這些不等式往往被稱為Hilbert型不等式，它們在一定程度上又促進了分析學的發(fā)展.

關于核函數(shù)是雙曲函數(shù)的Hilbert型不等式的研究，近些年來已有一些文獻涉及[10-14]，其中文獻[13]給出如下定理：

不難發(fā)現(xiàn)，不等式（2）中的常數(shù)因子的表達并不簡潔，手工不易算出.在此，考察全平面上的核函數(shù)cosh(β x y ) sech(λ x y )，并借助正割函數(shù)的部分分式展開，建立一個全平面上的、最佳常數(shù)因子與正割函數(shù)高階導數(shù)關聯(lián)的Hilbert型積分不等式.

1 引 理

證明：

類似地，

由（5）式和（6）式可得：

同理也有：

把（7）式和（8）式代入（4）式，可得：

對它求(2)n階導數(shù)得：

證明：

其中，

引理2獲證.

2 主要結果

證明：由H?lder不等式和引理1，可知：

若（16）式等號成立，則有不全為零的A與B，在2R 幾乎處處有[16]：

矛盾，故（16）式等號不成立.

聯(lián)合（16）-（18）三式，便可得（1）式.

以引理2中定義的 fε(x)和gε( x)分別代替（19）式中的f和g，則

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