章福枝,錢愛林

(1.咸安區(qū)實驗學校,湖北 咸寧 437005;2. 湖北科技學院 教務處,湖北 咸寧 437100)

數學思想，是數學的生命，是數學的靈魂。 中學階段常用的數學思想方法有：轉化思想、類比思想、分類討論思想、整體思想、方程思想、函數思想、數形結合思想、抽樣統(tǒng)計思想等等。這些數學思想時時刻刻滲透于中學教學中，它是提升學生數學能力的加速器。而在這些數學思想方法中，數形結合思想舉足輕重。[1～3]

數與形，本是相依倚。數無形時少直觀，形少數時難入微。我國著名數學家華羅庚如是說。也就是說數學的數與形是不可分割的一個整體。正如他所言，幾何代數統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫分離。

什么是數形結合思想？

數形結合思想，即通過數與形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。也就是抽象思維與形象思維的結合，以形解數，以數解形，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，優(yōu)化解題途徑，方便簡捷，從而使問題迎刃而解。[4]

在應用數形結合的思想方法解決中學數學問題的過程中，主要體現(xiàn)為以下幾種具體的方法。

一、解析法[5]

所謂解析法，就是通過選擇適當的坐標系，建立數與形的對立關系，進行數與形的相互轉化，從而實現(xiàn)了問題解決的解題方法。

解析法是雙面工具，一方面利用它可以把幾何問題轉化為代數問題，經過計算和推理，得到相關的代數結論，從而解決幾何問題，即“以數解形”；另一方面利用它也可把代數問題轉化為幾何問題，經過觀察和證明，得到相關的幾何結論，從而解決代數問題，即“以形解數”。

“以數解形”，使用普遍，但是關于“以形解數”，其應用常使人覺得要碰巧才能奏效。如果我們充分地研究了代數問題的幾何意義，適當地建立幾何模式，那么“以形解數”還是有規(guī)律可循的。事實上，解析幾何中的一些元素(例如：直線斜率、直線截距、兩點間距離、點到直線的距離、點到平面的距離、定比分點坐標、三點共線的充要條件、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等)大都可以作為溝通數形關系的橋梁，實現(xiàn)“數”與“形”的轉化，達到“以形解數”的目的，以下我們擇要介紹幾種“以形解數”的模式。

1.直線斜率模式[5]

[例1]，若方程|(x-1)(x-3)|=kx有四個不相同的實數根，求k的范圍。

[分析]此題若用零點區(qū)分法去掉絕對值符號后再用一元二次方程的知識討論k的范圍則繁難，若考慮引進函數通過函數的圖像關系求解則容易。

圖1

[例2]，[6]如果數x、y滿足等式(x-2)2+

圖2

[簡評]此類題目在近年高考試題中經常出現(xiàn)，其解題快法是“以形解數”——斜率模式。

2.直線截距模式

如果待解問題涉及形如a·f(t)+b·ψ(t)的式子，可轉化為直線m=ax+by的形式，根據直線截距的幾何意義和相關約束條件研究截距變化規(guī)律，實現(xiàn)問題解決?，F(xiàn)行中學數學課本中新添的“簡單的線性規(guī)劃”就是采用的這種模式。另外本文再舉一例說明。

[例3]，設x、y滿足|x-1|+|y|=2,求x-2y的最大、最小值。

圖3

[簡評]此例的解法是“以形解數” ——直線截距模式,這個解法的要點有二:一是畫出約束條件的圖形；二是求出目標函數m=ax+by的最值。

3.兩點間距離模式

圖4

4.其他模式

除上述三種常用模式外，還有幾種可用模式都可作為“以形解數”的工具，如：

空間兩點間距離模式：

二、向量法

所謂向量法就是以向量作為溝通數與形的相互關系,進行數與形的相互轉化的工具,運用向量知識求得問題解決的方法。

向量代數屬于現(xiàn)代數學，用它來解決數學問題有時具有較突出的簡化作用和較廣泛的使用范圍。由于向量本身兼有數與形的特征,因而它是實現(xiàn)數形轉化的得力工具。一方面,向量具有有向線段的表達方式,通過適當解釋可把形的關系式轉化為向量的關系式,即把幾何問題轉化為向量問題,再經過對向量的化簡或計算實現(xiàn)問題解決;另一方面,向量又具有坐標表達式,運用恰當的解釋可把數的關系式轉化為向量的關系式,即把代數問題轉化為向量問題,再通過對向量的運算實現(xiàn)問題解決。

[簡評]本例的向量法是利用“向量內積的定義形式和坐標形式對應相等”

三、復數法

所謂復數法就是以復數作為溝通數與形間的相互聯(lián)系，進行數與形的相互轉化，利用復數知識實現(xiàn)問題解決的解題方法。[8]

復數具有如下對應、轉化關系：

在這些對應下,復數的各種代數運算都有特定的幾何意義，因而，適當引入復數，利用這種對應關系進行數形轉化，進而可以實現(xiàn)“以數解形”或“以形解數”。用復數法解題往往既簡便又快捷，但新課標中復數內容已被淡化，故本文只略舉兩例說明復數法的應用。

[例6]，在凸平面四邊形ABCD中，求證：AC·BD≤AB·CD+AD·BC。

[分析]把線段看作相應復數的模，則不等式可轉化為復數模的不等式，再用有關復數模的不等式有望解決問題。

圖5

[簡評]本題是平面幾何中的著名難題，用平面幾何方法引輔助線等很艱難，本例所給的復數證法是本題的簡潔而巧妙的證法。

當本題的四邊形ABCD內接于圓時，所證不等式取“=”號，這就是著名的托勒密定理。

[例7]已知拋物線y=2x+1的焦點，點A在拋物線上運動,以FA為一邊作正方形FABC(F,A,B,C順時針排列)，求：(1)點C的軌跡方程；(2)點B的軌跡方程。

[分析]由已知條件，用復數來研究C點與 A點及B點與 A點的關系可能更簡便。

圖6

z3=x3+y3i=(x1+y1i)+(y1-x1i)=(x1+y1)+(y1-x1)i