沙嬋娟

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?分析了在求解隨機(jī)變量數(shù)字特征中的常見問題，通過教學(xué)中的實(shí)例，了解并且歸納了隨機(jī)變量數(shù)字特征的實(shí)質(zhì)，計算中繞開了繁雜的定義求解過程，巧妙而簡單地得到了相應(yīng)的數(shù)字特征值。同時把求解方法進(jìn)行了分類，對該內(nèi)容的教授和學(xué)習(xí)有所啟發(fā)。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?隨機(jī)變量;期望;方差;相關(guān)系數(shù)

[中圖分類號] ?O211.5 ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2020）45-0162-02

一、引言

概率論課程是高等理工科院校最主要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一[1]，其為后續(xù)的隨機(jī)課程做了相當(dāng)大的鋪墊，同時也是碩士研究生入學(xué)的數(shù)學(xué)考試必考課程之一。在本門課程中，對于各種各樣的隨機(jī)變量，如果知道了它們的分布函數(shù)，就相當(dāng)于掌握了它們的全部變化規(guī)律，但要得到一個隨機(jī)變量的分布函數(shù)并不容易，因此，在實(shí)際問題中我們常常簡單計算它的某個需要的數(shù)字特征即可。例如，比較兩人射擊水平高低，只需先比較其平均射擊環(huán)數(shù)，即求期望值;如果環(huán)數(shù)相當(dāng)，可以再比較著點(diǎn)的集中和分散程度，即做方差比較。在這種情況下，就不需要精確地計算隨機(jī)變量的分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)，而只需要計算其數(shù)學(xué)期望和方差。

對于一些有特點(diǎn)的隨機(jī)變量或者隨機(jī)變量的函數(shù)來說，由于它們自身的特點(diǎn)，我們沒有必要用定義去處理，而只需要了解數(shù)字特征的實(shí)質(zhì)，分析變量的特點(diǎn)，利用一些技巧便可以很快得到我們需要的數(shù)字特征。

二、隨機(jī)變量數(shù)字特征分析

概率論中，我們常求解的數(shù)字特征包括：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，以及它們的擴(kuò)展隨機(jī)變量矩的概念。下面將結(jié)合教學(xué)過程中所舉出的實(shí)例，充分了解幾類常用數(shù)字特征的實(shí)質(zhì)，分析各個要求求解的隨機(jī)變量的特點(diǎn)，簡單而巧妙地得到我們想要的結(jié)果，并將其方法進(jìn)行分類。

（一）數(shù)學(xué)期望的簡單計算

數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量數(shù)字特征中最為重要的一個，因?yàn)楸举|(zhì)上來看，隨機(jī)變量的其他數(shù)字特征無非就是隨機(jī)變量的特定函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，因此對它的簡化是最為重要的。數(shù)學(xué)期望E（X）刻畫出了隨機(jī)變量集中取值的位置，直觀地看就是隨機(jī)變量X的平均值。基于這個實(shí)質(zhì)，為了避免定義的繁雜計算，我們分幾類給出求期望的巧妙方法。

（1）利用對稱性計算期望

從這個題目中我們可以看到，實(shí)際上對于兩個隨機(jī)變量而言，只要能找到它們的線性關(guān)系，就直接得到了相關(guān)系數(shù)。

三、綜述

所謂特征，是希望用少量的信息去近似地分辨一個信息量大的對象。隨機(jī)變量的數(shù)字特征，即在分布類型已知的情形下，一旦知道數(shù)字特征，分布就能確定。所以，概率論的后續(xù)課程數(shù)理統(tǒng)計中絕大部分內(nèi)容是在對分布類型及其參數(shù)進(jìn)行近似估算和分析研究。而在本文中，我們給出了求解隨機(jī)變量數(shù)字特征的簡單方法，總結(jié)起來分為以下幾種：（1）利用隨機(jī)變量的對稱性;（2）利用已有的常用分布的數(shù)字特征，如二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等; （3）利用數(shù)字特征的實(shí)質(zhì)，如期望是平均值，方差是聚集程度，相關(guān)系數(shù)是線性關(guān)系等;（4）分解變量，由繁變簡。

其中這些求解過程是有必要進(jìn)行仔細(xì)推敲和梳理的。當(dāng)然，想要簡單得到一個隨機(jī)變量的數(shù)字特征，除了上述方法以外，還有很多其他的方法，如利用密度曲線的對稱性、利用特殊級數(shù)的求解[3]、逐項(xiàng)求微分及特殊積分法等，因此我們在學(xué)習(xí)的過程中需要靈活應(yīng)用。概率論這門課是高等數(shù)學(xué)教育中與生產(chǎn)實(shí)際相結(jié)合最密切的一門課，幾乎是所有后續(xù)工程專業(yè)課程的基礎(chǔ)，而隨機(jī)變量的數(shù)字特征是了解隨機(jī)變量、掌握其分布的重要訊息，因此我們需要深刻理解、簡單得到。

總之，在大學(xué)本科概率論隨機(jī)變量數(shù)字特征的教學(xué)過程中， 我們應(yīng)該把握住概念的本質(zhì)內(nèi)涵，辨別一些容易混淆并且難以理解的概念，理解概念的本質(zhì)后舉一反三，總結(jié)求解的各種方法，相關(guān)的概念及內(nèi)容就能輕松掌握了。最后，在近幾年的考研試題中多次出現(xiàn)此類考題，再次說明了它的重要性。

參考文獻(xiàn)：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]謝興武，李宏偉.概率統(tǒng)計釋難解疑[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[3]王湘君，吳鶯，王輝.隨機(jī)變量方差為零充要條件的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2014（3）：16-17.

◎編輯 李 爭