徐斌

關(guān)于行列式展開機制的再探究

徐斌

（普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 普洱 665099）

以分類求和為觀點結(jié)合逆序數(shù)理論對行列式的展開機制進(jìn)行探究，得到了排列標(biāo)的全求和公式、逆序數(shù)降階公式及逆序數(shù)拆分公式．利用所得公式對行列式的展開問題進(jìn)行研究，給出了行列式按行展開以及Laplace展開等定理純計算式的新證明，通過這樣的研究增進(jìn)了對行列式展開機制的認(rèn)識．

行列式展開；排列標(biāo)的全求和；逆序數(shù)降階；Laplace展開

1　引言及預(yù)備知識

數(shù)學(xué)中求和是一個很普遍的運算，當(dāng)引入形式化的符號之后就形成了具有各種結(jié)構(gòu)的求和模式[1-2]，而行列式就是一種具有排列標(biāo)的全求和結(jié)構(gòu)的求和式[3-4]．本文以分類求和為觀點，結(jié)合逆序數(shù)理論[5-6]對行列式的展開機制進(jìn)行再探究．

2 主要結(jié)果及證明

定理1排列標(biāo)的全求和公式為

證畢．

3　以分類求和觀點探究行列式的展開

3.1　行列式按第行展開定理的新證明

證明根據(jù)行列式的定義，有

證畢．

3.2　 Laplace展開定理的新證明

證畢．

4　結(jié)語

本文以分類求和為指導(dǎo)思想，通過定義一套專用符號并推證出基于這套符號系統(tǒng)的幾個重要公式，再利用這些公式對行列式的展開機制進(jìn)行探究，給出了行列式按行展開以及Laplace展開等定理純計算式的新證明．通過這樣的研究厘清了行列式這種求和結(jié)構(gòu)的內(nèi)在機制，并且提供了一套嚴(yán)密的形式化求和模式，這對于將行列式這套高效的計算技術(shù)推廣到其它抽象結(jié)構(gòu)中（如交換環(huán)）是有所助益的．

[1] 徐斌．一個新求和公式及其在微分學(xué)中的運用[J]．高師理科學(xué)刊，2018，38（4）：4-6

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．5版．北京：高等教育出版社，2019

[3] 張禾瑞．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，1999

[4] 林亞南．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2013

[5] 徐斌．逆序數(shù)降階公式及Laplace定理的新證明[J]．普洱學(xué)院學(xué)報，2016（6）：29-31

[6] 徐斌，李勝平．矩陣乘法的推廣及運用[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2013（5）：87-90

[7] 盧開澄，盧華明．組合數(shù)學(xué)[M]．3版．北京：清華大學(xué)出版社，2002

[8] 屈婉玲．組合數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2002

[9] 張禾瑞．近世代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2001

[10] 楊子胥．近世代數(shù)[M]．3版．北京：高等教育出版社，2011

A further study on the determinant expansion mechanism

XU Bin

( School of Mathematics and Statistics，Pu′er University，Pu′er 665099，China )

From the point of view of classified summation and the theory of inverse ordinal number，the expansion mechanism of determinant is explored．The total sum of permutations formula，reverse ordinal number reduction formula and reverse ordinal number split formula are obtained．Using the formulas to study the expansion of determinant，a new proof of pure calculation formulas is given for theorems such as expand determinant by row and Laplace expansion．Through such a study，the understanding of determinant expansion mechanism is enhanced．

determinant expansion；total sum of permutations；inverse number reduction；Laplace expansion

O151.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.04.004

1007-9831（2020）04-0016-04

2019-12-12

徐斌（1983-），男，云南玉溪人，講師，碩士，從事代數(shù)研究．E-mail：puerxubin@163.com