(江蘇省如皋中學(xué) 226500)

1 背景

1.1 高三二輪復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀

經(jīng)過高三一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了基本知識與基本方法，建構(gòu)了知識網(wǎng)絡(luò)與方法體系．在二輪復(fù)習(xí)時，不少學(xué)生認(rèn)為只要多做題，讓自己見多識廣、熟能生巧就夠了，從而每天陷入題海，機(jī)械地模仿和復(fù)制，做了大量的重復(fù)勞動，其結(jié)果是遇到問題仍然不會思考，不善于探究解決問題的思路，分析問題和解決問題的能力未能得到提高，二輪復(fù)習(xí)收效甚微．

另一方面，教師主導(dǎo)下的二輪復(fù)習(xí)往往是題量多、方法多，表面看課堂容量大，但事實上是忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，熱熱鬧鬧的課堂上常常是幾個優(yōu)等生的“表演”或是教師的“獨角戲”．

1.2 新課程背景下高考的特點

在新課程背景下，高中數(shù)學(xué)突出了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的考查．高考命題依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和方法，考查學(xué)生依據(jù)基礎(chǔ)知識、基本技能分析和解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正選拔出會學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)的學(xué)生．

1.3 筆者的觀點

(1)高三二輪復(fù)習(xí)選擇適當(dāng)?shù)奈ｎ}進(jìn)行復(fù)習(xí)，突出目的性和針對性

微專題選擇的特點：切口小、思路寬、占用課時少．選題時可以從教材出發(fā)，通過一道題，由基本知識、基本方法逐步深入，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究思想方法，引申出一類題；可以從學(xué)生解題過程中的典型錯誤入手，通過典型問題的解決來探究數(shù)學(xué)的思路；可以從高考的重點和難點知識板塊入手．

(2)教師的教學(xué)方式

重在引導(dǎo)、提煉，教師不再是課堂上的主角．課堂上教師通過引導(dǎo)，讓學(xué)生自己揭開問題的面紗，讓學(xué)生由“獲取”轉(zhuǎn)化為“建構(gòu)”，“感性”上升為“理性”，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法，形成數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)能力．

(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

重在自己探索、發(fā)現(xiàn)和歸納總結(jié)．學(xué)生自己經(jīng)歷特定的數(shù)學(xué)活動，即動耳傾聽、動眼觀察、動手操作、動口交流、動腦思考，掌握了數(shù)學(xué)的本質(zhì)后自己能編寫題目，提出問題、分析并解決問題．

本文通過高三微專題案例“以正切為背景的三角形中的最值問題”來具體闡述筆者的觀點．

2 教學(xué)片斷

引例在斜△ABC中，求證：tanA+ tanB+ tanC=tanAtanBtanC．

2.1 解決問題—提出問題—解決問題

設(shè)計意圖以教材的習(xí)題為引例，讓學(xué)生感覺親切，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性．求解過程利用三角形中內(nèi)角和為π的等量關(guān)系和兩角和的正切公式探求得tanA,tanB,tanC三者的等量關(guān)系式，并且要求學(xué)生進(jìn)一步熟悉三角形中三個角的正切關(guān)系式．

師：在銳角△ABC中，已知sinC=4 cosA·cosB，請將此條件轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角的正切關(guān)系，并求tanAtanB的最大值．

設(shè)計意圖鞏固三角形內(nèi)角的正弦、余弦轉(zhuǎn)化為角的正切的基本思路，回顧二元最值問題的求解基本方法，提醒學(xué)生在解題過程中要關(guān)注細(xì)節(jié)(銳角三角形)，注意求最值時等號成立的條件．

師：能否探求與tanA, tanB, tanC三者相關(guān)的表達(dá)式的最值問題？

生3：求tanA+tanB+tanC的最小值．

(請學(xué)生探索求解思路,不具體求解)

設(shè)計意圖讓學(xué)生明確求三角形內(nèi)角A,B,C的正切表達(dá)式的最值的基本思路是消元：一是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值(利用函數(shù)單調(diào)性)；二是轉(zhuǎn)化為二元問題，通過基本不等式求最值．

師：三角形中，除了研究角的正切值，還可以研究角的正弦和余弦值，試求sin2A+sin2B的最大值．

圖1

師：剛才的已知條件都是用數(shù)表示的，那么從形入手，該如何轉(zhuǎn)化呢？如圖1，在銳角△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，且AD:DB=3:1，求(1)tanA+tanB+tanC的最小值；(2)sin2A+sin2B的最大值．

設(shè)計說明一是讓學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)，已知條件可以轉(zhuǎn)化為3tanA=tanB，上述問題同樣轉(zhuǎn)化為一個內(nèi)角的正切函數(shù)求最值問題.二是呈現(xiàn)解決問題的兩種常用思路，從數(shù)切入，利用三角形中的邊角等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為正切的表達(dá)式；從形切入，利用直角三角形中的邊角等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角形中角的正切關(guān)系式．

師：在三角形中研究的對象除了角的函數(shù)值，還有哪些值得研究的量？

生6：三角形的邊、周長、面積等．

師：在△ABC中，已知tanB=3tanA，則三角形的面積有沒有最值？

(學(xué)生自主探究)

生7：沒有最值．因為僅僅有角的關(guān)系式，三角形之間是相似關(guān)系，只能確定三角形的形狀，不能確定三角形的邊、面積、周長等的大?。?/p>

師：非常好！那么能否再增加條件，探尋三角形的面積的最值呢？

生8：確定一條邊．例如，在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，求三角形面積的最值．

(學(xué)生自主研究，總結(jié)學(xué)生的思路)

圖2 圖3

設(shè)計說明一是將三角形內(nèi)角的正切關(guān)系式等價轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式有三種常用策略：策略一,化切為弦(邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化)；策略二，構(gòu)造直角三角形(化斜為直)；策略三，建系(斜率，點的軌跡).二是求目標(biāo)表達(dá)式的最值問題一般有下列常用的三種方法：策略一，減元，消元轉(zhuǎn)化為一元 函數(shù)的最值(利用函數(shù)的單調(diào)性)；策略二，整體 代換，二元問題結(jié)合基本不等式；策略三，數(shù)形結(jié)合，探尋已知條件的軌跡和目標(biāo)的幾何意義求最值．

師：在△ABC中，已知tanB=3tanA，三角形面積沒有最值．剛剛增加的條件是b=1，能否選擇增加另外的邊長，求三角形面積的最值？

師：非常好！在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，則三角形面積的存在最大值．在此條件下，三角形的周長是否存在最大值呢？

設(shè)計說明告訴學(xué)生此處只作定性研究，不展開具體的解題過程，突出求二元最值的方法即三角換元、消元判別式法等，求最值要檢驗等號能否取到．三角形中的邊與角的互化有多種途徑：從形入手構(gòu)造直角三角形；從數(shù)入手，利用正弦、余弦定理；從建立坐標(biāo)系入手，求出動點的軌跡和目標(biāo)的幾何意義．

2.2 條件和目標(biāo)的“化妝”

師：剛剛研究的問題題設(shè)條件非常直白．在△ABC中，已知tanB=3tanA，你能否換一個角度，將已知條件“化個妝”，即換一種形式表示？

生16：“tanB=3tanA”轉(zhuǎn)化為“2a2+c2=2b2”．

生17：“tanB=3tanA”轉(zhuǎn)化為“2sin2A+sin2C=2sin2B”．

生18：將“tanB=3tanA”轉(zhuǎn)化為“在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，AD∶DB=3∶1”．

師：這些都是剛剛研究的結(jié)果．可否再利用正弦、余弦定理將題設(shè)條件“化個濃妝”？

生19：利用a2=b2+c2-2bc·cosA，代入 2a2+c2=2b2，得3c=4b·cosA．

師：夠“濃”啊！

生20：從sinBcosA=3sinAcosB入手， 得sinBcosA+ sinAcosB= 3sinAcosB+sinA· cosB，則sinC=4sinAcosB，或者c=4a·cosB．

(學(xué)生自主探究)

2.3 自主編題

師：剛才研究的方法是將已知和目標(biāo)換一種表示，可以組合成若干個問題，還可以將已知與目標(biāo)互換等編出更多的新題(相對于學(xué)生而言)．

(2)在△ABC中，a2+2abcosC=3b2，則tanAtanBtanC的最小值為__________．

師：“濃妝淡抹總相宜”，不管條件“長成”什么樣，有了這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，在茫茫題海中總能一眼讀懂你！這就是數(shù)學(xué)的魅力所在！

設(shè)計說明本堂課由課本一道習(xí)題，通過拓展引申為一類題，即已知三角形角的函數(shù)值與邊的關(guān)系，確定三角形的形狀，求角的函數(shù)值，求邊長、面積和周長的取值范圍等．所有問題的求解都?xì)w結(jié)到正弦、余弦定理及兩角和與差的正切公式，通過對研究問題的思路和方法的總結(jié)歸納，提升了學(xué)生分析問題、解決問題和提出問題的能力，增強了學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意識．

3 教學(xué)思考

3.1 高三微專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵要素

(1)教學(xué)設(shè)計的目的

“高三微專題”是指圍繞高三復(fù)習(xí)中的重點、難點、易錯點、弱點和題型類型而精心設(shè)計的、以鞏固具備相關(guān)性的基礎(chǔ)知識與基本思想方法為目的的一類專項研究，這是一類能夠在1—2節(jié)課(每一節(jié)課45分鐘)內(nèi)專門解決問題的小專題．它能促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，易于讓學(xué)生從根本上認(rèn)識學(xué)科的本源，通過這些微專題的復(fù)習(xí)進(jìn)一步提升學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

(2)教學(xué)設(shè)計的幾種類型

設(shè)計依據(jù)：一是圍繞教材的主干內(nèi)容、重點和難點、易錯點等；二是學(xué)生學(xué)習(xí)中的重點及熱點問題；三是高考試題各類型題的特征；四是常用解題方法和數(shù)學(xué)思想方法等．

(3)教學(xué)設(shè)計的基石：知識與方法框圖

本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生通過對關(guān)鍵詞的解讀和問題的解決，理解相應(yīng)的知識與方法結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，掌握基本方法，并能在知識交匯處進(jìn)行綜合提升．本節(jié)課的基礎(chǔ)知識和基本思想方法框圖如圖4所示．

圖4

3.2 高三微專題復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與落實

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與落實體現(xiàn)在教師的教與學(xué)生的學(xué)這兩個重要環(huán)節(jié)．

·教師的教

教師要藏慧裝愚，引導(dǎo)與追問同上陣．

(1)教師要能從一節(jié)節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)中跳出來，整體把握數(shù)學(xué)課程，突出課程中的教學(xué)主線．?dāng)?shù)學(xué)課程目標(biāo)要求教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素，通過觀察、實踐、思考、推理、互動等數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生動手實踐、自主探索、合作交流，從不同角度解決問題、感悟解決問題的策略與方法．教學(xué)中要突出在活動中思考，感受知識的價值，領(lǐng)會知識的本質(zhì)，體驗基本方法的應(yīng)用．

(2)課堂教學(xué)中自始至終創(chuàng)設(shè)機(jī)會讓學(xué)生深度思考．本堂課僅直接給出了一個引例，其他的環(huán)節(jié)中，如研究問題的思路、解決問題的方法及總結(jié)提煉等，教師都是旁觀者，所有機(jī)會都給了學(xué)生，讓學(xué)生獨立思考，再交流互動、質(zhì)疑，再展示．教師通過追問暴露學(xué)生的思維過程，每當(dāng)一個活動或一個問題的解決后，教師只是提醒學(xué)生“哪個條件暗示你這樣想？”“你為什么這樣想？”“是聯(lián)想到哪個問題或結(jié)論暗示你這樣想？”“還有別的解法嗎？”“解決這一問題最容易想到的方法是哪一種？”“運算是否還可以再優(yōu)化？”等等．

(3)課堂注重提高學(xué)生選擇思維能力和發(fā)展學(xué)生提出問題素養(yǎng)．傳統(tǒng)教學(xué)對于提高學(xué)生解決問題的能力已經(jīng)達(dá)到一定的高度，忽視的是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題能力的提升．本堂課通過將已知條件和目標(biāo)的“化妝”，探索研究問題的產(chǎn)生過程，揭示解決問題的方法的形成過程，讓學(xué)生明白問題的源頭和產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學(xué)生的提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)；通過一題多解、多題一解及各種求解方法優(yōu)化的過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)選擇思維能力．

·學(xué)生的學(xué)

學(xué)生手腦并用，能力與素養(yǎng)共提升．

(1)學(xué)生是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主體．在課堂上通過各項活動，讓學(xué)生自主探究、展示、點評、完善，再發(fā)現(xiàn)問題、提出新問題等．學(xué)生經(jīng)歷解決問題—提出問題—再提出問題—建構(gòu)思路—解決問題的過程，在初步感覺、體驗感知、思考感悟的過程中，學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)得到真正發(fā)展．

(2)自主探究是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵手段．本節(jié)課從已知條件、所求目標(biāo)入手，探索研究問題的方法，探尋問題的本質(zhì)．如解決了只有三個角度的正切值有關(guān)問題后并沒有直接拋出新問題，而是引導(dǎo)學(xué)生探究三角形的元素——角、邊、周長、面積等，增加哪些元素、探索哪些元素的問題，從數(shù)的角度，轉(zhuǎn)化為邊和角的正切值解決，從形的角度，轉(zhuǎn)化為軌跡和曲線的問題來解決．最后，用本節(jié)課的研究方法去探尋以正切為背景的三角形中的最值問題，進(jìn)一步拓展為其他背景下的三角形、多邊形的最值問題．