(江蘇省太倉高級中學(xué) 215400)

STEM是科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)這四門學(xué)科的英語首字母的縮寫.STEM理念是培養(yǎng)個體在科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及相關(guān)交叉領(lǐng)域中,運用個人關(guān)于現(xiàn)實世界運行方式知識和能力的新型理念.主張學(xué)習(xí)是建構(gòu)而不是接受的過程，提出教學(xué)實踐是為學(xué)習(xí)者提供學(xué)習(xí)情境，讓他們在情境下建構(gòu)知識，強化對知識的理解，促進知識的遷移，提高學(xué)習(xí)者把學(xué)習(xí)到的零碎知識與機械過程轉(zhuǎn)變成探究真實世界相互聯(lián)系的不同側(cè)面的綜合能力.STEM理念主張以團隊合作為基礎(chǔ)、以小組為活動單位、以探究作為主要方式的應(yīng)用模式.它并不是簡單的“應(yīng)知應(yīng)會”，也不是活躍課堂氣氛的形式點綴，更不是科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)四門學(xué)科的分類開發(fā)，而是一種基于創(chuàng)新理念的課程重構(gòu)，是對學(xué)生創(chuàng)新思維的系統(tǒng)訓(xùn)練，彰顯新課程的教育本質(zhì).

與傳統(tǒng)的教育形式想比，STEM理念下的數(shù)學(xué)課堂更加注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，它以數(shù)學(xué)實驗為載體，以解決實踐中遇到的問題為主線，實施過程中更加重視團隊的協(xié)作.在STEM教育理念下利用現(xiàn)代信息化的教育手段，將科學(xué)、工程、技術(shù)與數(shù)學(xué)有機結(jié)合在一起，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)教學(xué)帶來的趣味性、跨學(xué)科性、情境性及設(shè)計性等特點，同時讓他們能夠進行創(chuàng)造、設(shè)計、建構(gòu)、發(fā)現(xiàn)、合作并解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課筆者以蘇教版數(shù)學(xué)教材選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”中的第33，43，54頁的三道操作題為探究實例，通過折紙實驗，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力及數(shù)學(xué)探究思想.

1 教學(xué)內(nèi)容預(yù)設(shè)

本節(jié)課通過學(xué)生折紙實驗，觀察折痕圍成的輪廓，借助信息技術(shù)提出輪廓曲線類型的假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型論證自己的猜想.通過“實驗—觀察—分析—假設(shè)—論證”等過程，鍛煉學(xué)生的自主探究、動手實踐和團隊合作等能力.通過體驗實驗的直觀感受及推理的嚴(yán)密論證，進一步鞏固三種圓錐曲線(橢圓、雙曲線及拋物線)的定義及方程結(jié)構(gòu)，體會三種圓錐曲線之間的聯(lián)系與區(qū)別，感受數(shù)學(xué)實驗的直觀感受與邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)思維帶來的相輔相成的數(shù)學(xué)之美.

2 學(xué)生課前預(yù)習(xí)

圖1

課前布置如下操作題：準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一個點，將紙片折起，使圓周過該點，然后將紙片展開，就得到一條折痕(為了看清楚，可把直線畫出來)(圖1).這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕.請同學(xué)們觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

設(shè)計意圖洛克的學(xué)習(xí)經(jīng)驗論認(rèn)為，“知識歸根到底來源于經(jīng)驗”.折紙實驗讓學(xué)生獲得感性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗契機，促進學(xué)生將折紙的“經(jīng)歷”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖?jīng)驗”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察—辨析—思考的過程.

學(xué)生們課前以小組為單位，由組長安排好分工，相互協(xié)作，認(rèn)真做實驗，小組內(nèi)相互交流討論，氣氛十分熱烈.(出乎意料)

3 課堂探究

3.1 成果展示

師：請兩個小組的代表(一個折痕少一些，一個折痕多一些)利用實物投影儀展示自己的折紙成果，并談?wù)勛约盒〗M的發(fā)現(xiàn).

生1：折痕圍成了一個區(qū)域.

生2：折痕圍成的區(qū)域好像是一個橢圓.

3.2 軟件操作

圖2

師：折的次數(shù)多一些對結(jié)果的呈現(xiàn)有沒有優(yōu)勢？

生3：有優(yōu)勢，折痕越多，折痕圍成的區(qū)域越明確.

師：請同學(xué)們借助電腦演示折紙過程，有何新的發(fā)現(xiàn)？

生4：折痕圍成的輪廓應(yīng)該是橢圓.

生5：好像定點和圓心應(yīng)該是這個橢圓的兩個焦點.

生6：感覺每條折痕都與橢圓相切.

……

設(shè)計意圖課堂展示的過程是學(xué)生將原有經(jīng)驗歸納、整理、再造的過程，通過小組的交流，組內(nèi)成員共享自己的經(jīng)驗，并不斷整合；學(xué)生經(jīng)歷了原有經(jīng)驗的再認(rèn)識、再生長，并將這些經(jīng)驗概括、提升，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).信息技術(shù)的使用過程，是學(xué)習(xí)者不斷提高自身認(rèn)知水平的過程.軟件的演示絕不僅僅是一個技術(shù)性的操作問題，而是一個讓學(xué)生不斷學(xué)會觀察思考的過程：“為什么會是一個橢圓？”“是怎樣的一個橢圓？”“這些折痕和橢圓是怎樣的位置關(guān)系？”并猜測結(jié)論的可能性.

3.3 推理證明

師：剛才同學(xué)們的回答中都包含了“應(yīng)該”“好像”“感覺”等不確定的詞語，說明我們的這些結(jié)論暫時還只能是一個猜想.

(學(xué)生表示贊同)

師：那我們能夠證明一下我們的發(fā)現(xiàn)嗎？

(學(xué)生剛開始竊竊私語，慢慢地有人開始去證明……)

生7：我可以證明折痕圍成的圖形是以定點F和圓心O為焦點的橢圓.

證明任意給定圓上一點M，連結(jié)MF，OM，設(shè)線段MF的中垂線為l，設(shè)l與直線OM的交點為點P，則點P的軌跡即為折痕圍成的輪廓.

設(shè)圓O半徑為r.連結(jié)PF，因為PM=PF，所以PF+PO=PM+PO=r>OF.

由橢圓定義可知，點P的軌跡為以點F,點O為焦點、r為長軸長的橢圓.

師：(追問)你是如何刻畫這個輪廓的呢？

生7：通過輪廓上的點的軌跡來證明它是一個橢圓.

師：(追問)每一條折痕與輪廓有怎樣的位置關(guān)系？每一條折痕上有幾個點在輪廓上？

生7：折痕上的點會在輪廓上或者在輪廓外，但只有一個在輪廓上.

師：(追問)那這個既在折痕上又在輪廓上的點有什么特點呢？

圖3

生7通過幾何畫板的操作與演示，讓同學(xué)們看出中垂線l與半徑OM的交點P即為橢圓與折痕的公共點(圖3)，進一步通過跟蹤點P，發(fā)現(xiàn)其運動軌跡與已知橢圓完全重合，即點P的軌跡就是所求的橢圓.

師：非常好！從而我們得到了結(jié)論1：在半徑為r的圓O內(nèi)任取不同于圓心的一定點F，設(shè)M為圓周上任一點，線段MF的中垂線為l，則OM與l的交點P的軌跡是以點O,點F為焦點、r為長軸長的橢圓.(在黑板上板書)

生8：我可以證明任意一條折痕l與該橢圓相切.

證明設(shè)點P是l與橢圓的一個公共點，點M為點F關(guān)于直線l的對稱點，則M在圓O上.設(shè)點N為直線l上異于點P的任意一點，則NO+NF=NO+NM>OM=r，所以點N不在橢圓上.因此，直線l與橢圓只有一個公共點，即直線l與該橢圓相切.

設(shè)計意圖多媒體軟件演示的過程是數(shù)學(xué)感知的過程，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論；當(dāng)有“猜想”時，就需要學(xué)生抽象概括及推理論證自己的猜想是否正確，需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)推理和計算活動，形成基本的活動經(jīng)驗，并且對這些活動進行體會、反思和總結(jié).

3.4 類比探究

師：請同學(xué)們分小組繼續(xù)探究以下問題：

(1)如果點F與圓心重合，得到的折痕圍成的曲線是什么？

(2)如果點F落在了圓上，得到的折痕圍成的曲線又是什么？

圖4

圖5

(3)如果點F在圓外，又會有什么樣的結(jié)論呢？

組1：(1)圍成的曲線為圓的同心圓(如圖4).

組2：(2)中所有的折痕經(jīng)過圓心(如圖5).

組3：(3)中折痕圍成的輪廓變成了以點O，點F為焦點、半徑r為實軸長的雙曲線(如圖6).

圖6

設(shè)計意圖類比是提出新發(fā)現(xiàn)和解決新問題的一個重要源泉，是一種較高層次的知識遷移.通過折痕轉(zhuǎn)化為橢圓的認(rèn)知過程，將數(shù)學(xué)經(jīng)驗遷移到其他曲線上，不僅是對數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再造，更是對整個數(shù)學(xué)活動的再認(rèn)識，加深了對所學(xué)知識的理解.

3.5 課后作業(yè)

師：請同學(xué)們課后類比橢圓軌跡的證明過程，證明以下命題.

命題 在半徑為r的圓O外任取一定點F，設(shè)M為圓周上任一點，線段MF的中垂線為l，則直線OM與l交點P的軌跡是以O(shè),F為焦點、r為實軸長的雙曲線.

設(shè)計意圖有猜想就要有證明，這是一個完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程.課堂上類比得出的猜想要能成為結(jié)論離不開證明.要讓學(xué)生體驗完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，推理證明必不可少.

4 教學(xué)過程分析

本節(jié)課，筆者圍繞“圓內(nèi)異于圓心的一點和圓上一點連線的中垂線，與對應(yīng)半徑的交點的軌跡是橢圓”這一中心問題設(shè)計了一明一暗兩條主線:明線是實驗→證明圓錐曲線的實例探究；暗線則是本節(jié)課所蘊含的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)→結(jié)論猜想→技術(shù)驗證→邏輯推理→實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生以及應(yīng)用的完整過程.通過本節(jié)課的教學(xué)實踐以及同行專家的點評，筆者對于如何在STEM理念下實施數(shù)學(xué)實驗教學(xué)有了新的認(rèn)識.

4.1 STEM理念注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合知識與綜合能力

STEM教育的模式通常以項目為引領(lǐng)，學(xué)生通過真實世界的問題設(shè)計、實驗體驗，借助統(tǒng)整科學(xué)、技術(shù)、工程與數(shù)學(xué)等跨學(xué)科課程的教學(xué)方法，產(chǎn)生直接經(jīng)驗，從而內(nèi)化為自己的能力.本節(jié)課通過折紙?zhí)骄枯喞€這個項目，讓學(xué)生通過科學(xué)的實驗獲得了直觀的想象，通過幾何畫板等信息技術(shù)工具去驗證自己的猜想，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理論證自己的猜想.學(xué)生在這個教學(xué)過程中，體驗了直觀感知—工具驗證—抽象論證的全過程.學(xué)生在這個積累經(jīng)驗的過程中，發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高了分析問題和解決問題的能力.

4.2 STEM理念注重發(fā)揮學(xué)生的自主探究與團隊協(xié)作能力

高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來源于學(xué)生自身對數(shù)學(xué)活動的參與度，新課程強調(diào)“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有通過自身的操作和主動的參與才能是有效的”.STEM理念注重探究式的科學(xué)教育，也注重團隊的協(xié)作發(fā)展，提倡在學(xué)生原有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上提出問題—設(shè)計實驗—觀察分析—預(yù)測猜想—數(shù)據(jù)收集—歸納推理—得出結(jié)論—反思評價—遷移應(yīng)用，讓學(xué)生經(jīng)歷一個完整的知識認(rèn)知過程，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜測、細致觀察，嚴(yán)謹(jǐn)論證的學(xué)習(xí)態(tài)度，并且讓學(xué)生在團隊合作中感受到，個人能力不是重點，隊員之間互補互助才能讓團隊的工作效益最大化.以此促使學(xué)生參與團隊活動，交流心得體會，共享經(jīng)驗成果.

4.3 STEM理念注重學(xué)生感受教學(xué)帶來的趣味性

古希臘哲學(xué)家亞里士多德說:“生命的本質(zhì)在于快樂.”英國教育家斯賓塞說：“教育的目的是使學(xué)生感受快樂.” 保持學(xué)習(xí)的快樂是學(xué)生能夠不斷地堅持學(xué)習(xí)的動力源泉.STEM 理念注重在教育實施過程中把多學(xué)科知識融于有趣、具有挑戰(zhàn)性、與學(xué)生生活相關(guān)的問題中，激發(fā)學(xué)習(xí)者內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機，讓學(xué)生在輕松愉快的學(xué)習(xí)中收獲學(xué)科知識，在解決問題的過程中獲得成就感.本節(jié)課的折紙游戲讓學(xué)生充滿了新鮮感，多媒體的動態(tài)演示讓學(xué)生產(chǎn)生了濃厚的興趣，猜想與質(zhì)疑讓學(xué)生體會到了學(xué)習(xí)的快樂，推理與證明讓學(xué)生獲得了成就.

課堂是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的主陣地．課堂上，教師如能在STEM理念下設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，利用生活生產(chǎn)中的直觀資源創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性、趣味性的數(shù)學(xué)情境，巧設(shè)問題，開展自主探究活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，積累學(xué)生的直觀經(jīng)驗，將極大地促進學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，促進學(xué)生思維品質(zhì)的提升.