(江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 210029)

在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂版公布后，我們感到要真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，只關(guān)注“怎么教”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，應(yīng)該返璞歸真，需要重視“教什么”．每節(jié)課的結(jié)論很重要，但如何得到這個(gè)結(jié)論更重要；方法很重要，但如何掌握這個(gè)方法更重要．即獲取知識(shí)的知識(shí)、提煉方法的方法更有價(jià)值．這其實(shí)也決定了“怎么教”的問題．我們的數(shù)學(xué)教學(xué)到底要教學(xué)生學(xué)什么？要教數(shù)學(xué)大思維．

何謂大思維？一是大視野，“既見樹木又見森林”，能把握整體、看清聯(lián)系，體現(xiàn)思維的廣闊性，稱之為全局思維；二是高視點(diǎn)，既得其形又得其神，能探求本質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體現(xiàn)思維的深刻性，稱之為本源思維；三是多視角，既可觀靜又可觀動(dòng)，能知曉變化、順勢(shì)而為，體現(xiàn)思維的靈活性，稱之為動(dòng)態(tài)思維．此三者，其實(shí)為一，得之則無(wú)往不利、無(wú)事不成．我把它作為自己教學(xué)中努力的目標(biāo)．

在教與學(xué)的實(shí)踐過程中，我們很多學(xué)生甚至老師，常常會(huì)出現(xiàn)學(xué)(教)而不思、思而不深、深而不活的現(xiàn)象，以致所見甚小、所獲甚少、效率低下、發(fā)展受限．我們都需要不斷地?cái)U(kuò)大視野、抬高視點(diǎn)，讓思維層次由低變高，這樣才能真正地提升思維能力．回顧我的教學(xué)實(shí)踐，做了如下一些嘗試．

1 重視自主思考、自我探究

有學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)就是用結(jié)論.比如代數(shù)，學(xué)了一個(gè)二次根式的乘法公式，然后去練幾個(gè)計(jì)算題，就會(huì)用公式了．又比如幾何，學(xué)了矩形的判定定理后，就開始做證明題，證明一個(gè)圖形是矩形．其實(shí)，不是只有結(jié)論重要，如何得到這個(gè)結(jié)論更重要；方法很重要，如何掌握這個(gè)方法更重要．也就是說，獲取知識(shí)的知識(shí)、提煉方法的方法更有價(jià)值．舉個(gè)例子，在經(jīng)歷了平行四邊形和矩形的概念、性質(zhì)和判定的完整研究過程后，菱形部分就可以放手給學(xué)生自己去探究，結(jié)果學(xué)生得到的結(jié)論比書上的還要多，如“平行四邊形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角”“一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形”等．教學(xué)中一定不要直接告訴學(xué)生結(jié)論，而要提出有思維含量的問題，讓他們自己思考探索，只在疑難處加以點(diǎn)撥、引導(dǎo)．我之前非常反感學(xué)生上輔導(dǎo)班，因?yàn)檩o導(dǎo)班的老師會(huì)用暑假一個(gè)月的時(shí)間教完整本書甚至兩本書，可想而知教學(xué)模式一定是簡(jiǎn)單粗暴，教結(jié)論、做練習(xí)，最怕的是學(xué)生以為自己都學(xué)過了，上課時(shí)缺少了對(duì)新知識(shí)的好奇心和期待，導(dǎo)致課堂參與度不高、效率低下．現(xiàn)在我的想法有點(diǎn)改變了，因?yàn)閹缀跛械暮⒆佣荚凇疤崆皩W(xué)”，而他們上課時(shí)也并沒有像預(yù)想的那樣不積極，我想這跟電影的預(yù)告片應(yīng)該是一樣的道理：你稍微了解一下這部電影講什么，但怎么講和具體的細(xì)節(jié)還得走進(jìn)電影院去觀摩，做預(yù)告片是為了增加電影的票房，而不是說看了預(yù)告片就不想看電影了．

2 回歸“原生態(tài)”課堂，期待下一個(gè)更精彩

課堂是學(xué)習(xí)的主陣地，課堂學(xué)習(xí)才是可控的、高效的，不要寄希望于把學(xué)習(xí)任務(wù)留在課后．我這一年的教學(xué)幾乎沒有用課件，雖然我的板書、字跡等還有待提高，但我努力只用語(yǔ)言和板書呈現(xiàn)所有的教學(xué)過程.這樣做有兩個(gè)好處：第一，不用受到課件的限制，很多時(shí)候課堂生成的靈感來自學(xué)生的反應(yīng)，教到什么程度也尊重學(xué)生．對(duì)于A班，可以多一些討論和探究，對(duì)于B班，就不在易產(chǎn)生干擾的內(nèi)容多糾結(jié)，探究性的問題也只淺嘗輒止．第二，學(xué)生也不會(huì)去期待看下一張PPT，而是緊緊地跟著我的眼神，仔細(xì)地傾聽我的問題，然后思考、交流．用他們自己的話說，我的課堂思維比較活躍，有點(diǎn)小刺激．備課時(shí)，我會(huì)花心思去全盤設(shè)計(jì)內(nèi)容、設(shè)計(jì)問題、設(shè)計(jì)練習(xí)，形成系統(tǒng)化的教學(xué)方案，每節(jié)課留在黑板上的板書是這節(jié)課的精華，能體現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)或者是研究問題的方法．

3 享受發(fā)現(xiàn)的過程，體驗(yàn)修正的樂趣，發(fā)展優(yōu)化的思維

就像剛才第一點(diǎn)所說，很多知識(shí)是學(xué)生自主思考、探究出來的，所以要給予充足的時(shí)間，這看起來進(jìn)展很慢，但有時(shí)慢比快更有效、更有價(jià)值，就像砍柴之前先磨刀并不耽誤時(shí)間．在發(fā)現(xiàn)的過程中，學(xué)生的語(yǔ)言有時(shí)是不精練的，甚至是不科學(xué)的，比如探究旋轉(zhuǎn)的第三條性質(zhì)時(shí)，學(xué)生的結(jié)論是“一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等”，沒有學(xué)生發(fā)現(xiàn)這句話有問題，于是我們翻開書，找到不同點(diǎn)之后一起反思，哪一個(gè)更科學(xué)？為什么？在這樣的“修正”過程中，學(xué)生感悟到了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，也欣賞到了數(shù)學(xué)的語(yǔ)言美．

一次試卷講評(píng)課上，我讓學(xué)生四人一組進(jìn)行小組討論．他們認(rèn)識(shí)到，一個(gè)小組中只要有一個(gè)人會(huì)了，那么四個(gè)人就都會(huì)了；只要有兩種不同的方法，自己就又學(xué)到了一種新方法．課堂上的組合是固定的，課后還可以任意組合，這是一種多么好的合作學(xué)習(xí)方法?。‘?dāng)他們通過討論解決不了時(shí)，我才介入．比如這樣一個(gè)問題：在正方形ABCD的邊AD上求作一點(diǎn)P，使∠APB= 60°．全班各抒己見，討論出了五種方法(圖1～5)．

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5

那些原本沒有思路的學(xué)生簡(jiǎn)直目不暇接，不斷感嘆神奇．但如果僅此而已，那么這道好題僅能讓學(xué)生增加一點(diǎn)記憶，對(duì)訓(xùn)練高階思維并沒有任何作用，不能出現(xiàn)“玩魔術(shù)”式的教和學(xué)：只知怎么做，不知怎么想，使得數(shù)學(xué)解題如天外來客，不講道理，難以理解．我問學(xué)生：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察一下這五種方法，有什么發(fā)現(xiàn)？通過引導(dǎo)和討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，本質(zhì)上這道題是要解決構(gòu)造60°角或30°角的問題，有以下幾種途徑：構(gòu)造等邊三角形得到60°角，還可以構(gòu)造特殊的直角三角形得到60°角，60°的一半是30°，90°減60°也是30°．結(jié)合幾個(gè)基本作圖可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)的方法有多種，可以是兩弧交于一點(diǎn)，也可以是一條弧和一條直線交于一點(diǎn)，也可以兩條直線交于一點(diǎn)．這五種方法其實(shí)可以歸于一條思路，就是構(gòu)造特殊形．學(xué)生通過這個(gè)題目體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的發(fā)散創(chuàng)造之美、多樣性與統(tǒng)一性的和諧之美．

這就是一開始說的用大思維看待問題，可以舉一反三、事半功倍．求點(diǎn)莫限于點(diǎn)，要尋找其所在的線；求線莫限于線，要尋找其所在的形；輔助線不該叫輔助線，應(yīng)稱為輔助形；勿執(zhí)著于一招半式，應(yīng)歸之于通性通法．在解題教學(xué)中，很多學(xué)生最大的疑問就是“為什么我想不到？”用十種方法解決一道題，比用一種方法解決十道題更有價(jià)值．為什么既要“多學(xué)”還要“歸一”？因?yàn)椤耙弧笔呛?jiǎn)易的，“一”是通用的，“一”是無(wú)所不在的．接下來還要一以貫之，因?yàn)橐灰载炛拍苄纬闪?xí)慣，使它變成屬于你的思維方式．當(dāng)然，這個(gè)“一”是不斷融合更新、不斷變化完善的．對(duì)數(shù)學(xué)解題我們不求神奇巧妙，只求自然合理，而邏輯思維可以讓神奇巧妙變得自然合理．思維本沒有方法，想得多了、悟得多了、用得多了，自然就形成了方法，所以思維是可以訓(xùn)練的．

4 把課堂還給學(xué)生，相信學(xué)生，相信榜樣的力量

學(xué)習(xí)的終極目的是獲得自由，獲得通達(dá)無(wú)礙的精神自由，做到不憂、不惑、不懼．我的課堂比較自由，我負(fù)責(zé)串場(chǎng)，學(xué)生是主演．他們可以隨時(shí)提問，提問后也是他們自己內(nèi)部解決，我負(fù)責(zé)看熱鬧和適時(shí)干預(yù)．有一個(gè)關(guān)于學(xué)習(xí)效率的觀點(diǎn)——“學(xué)習(xí)最高效率的方式是講給別人聽”，站起來分享思路的學(xué)生往往能獲得成就感和掌聲，也能增強(qiáng)自己的語(yǔ)言表達(dá)能力和思維能力．我一開始不敢放手，怕讓學(xué)生講會(huì)來不及，但有時(shí)候他們的思路確實(shí)讓人眼前一亮，尤其在不斷追問為什么的過程中，可以把他們?cè)镜碾[性思維顯性化、方法與策略明確化，點(diǎn)破那層紙，讓學(xué)生在黑暗中見到光亮，逐漸從了解到適應(yīng)、熟練、融會(huì)貫通．尤其在B班，因?yàn)榈舻紹班的學(xué)生基本是在自己手上“土生土長(zhǎng)”的，所以他們其實(shí)也有著不錯(cuò)的思維，到了B班可以做小老師、領(lǐng)頭羊，對(duì)其他同學(xué)也是一種很好的激勵(lì)，有時(shí)榜樣的力量勝過我們教師的千言萬(wàn)語(yǔ)．

5 培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，在統(tǒng)領(lǐng)課中見全局

數(shù)學(xué)知識(shí)有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，只有注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性、理解和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，才能真正把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)．因此，在學(xué)習(xí)一個(gè)新概念時(shí)，我們常常用類比教學(xué)的方法，如類比不等式與方程、類比反比例函數(shù)與正比例函數(shù)、類比二次根式與整式、分式，類比四邊形與三角形，我們總是不斷地尋找類比源，將新知識(shí)與已有知識(shí)建立聯(lián)系，同時(shí)通過辨別，找到新舊概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的同化與順應(yīng)．

幾何題中需要聯(lián)想能力的例子有很多，看到條件有聯(lián)想、看到圖形有聯(lián)想、看到問題有聯(lián)想．下面我舉個(gè)代數(shù)的例子.上學(xué)期教一元二次方程時(shí)，我在A班和B班采用了不同的處理方法．在研究一元二次方程的解法時(shí)，在B班，我按書本順序讓學(xué)生按部就班地學(xué)習(xí)四種解法．在A班，我進(jìn)行了大膽的嘗試，先上了兩節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課，第一節(jié)課統(tǒng)領(lǐng)了全章，主要解決兩個(gè)問題：研究什么？如何研究？將一元二次方程置于初中代數(shù)知識(shí)的整體框架中，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)推想出了解一元二次方程的方法應(yīng)該是降次，本質(zhì)上和二元一次方程組、分式方程一樣，轉(zhuǎn)化為一元一次方程．在第二節(jié)課中，通過兩個(gè)例題體會(huì)如何解方程：

例1解方程：(1)x2-2=0；(2)4x2-1=0；(3)(x- 2)2- 9 = 0．

通過例1學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩種解法，直接開平方法和因式分解法.它們有什么聯(lián)系呢？

例2解方程：(1)x2- 4x+ 4 = 0；(2)(x- 2)(x+ 4) = 0；(3)(x- 2)(x+ 4) = 8；(4)x2- 4x+ 3 = 0；(5)x2- 4x+ 5 = 0；(6)x2- 3x+ 4 = 0．

通過例2又發(fā)現(xiàn)了配方法.我向?qū)W生追問：直接開平方法和配方法的關(guān)系又是什么呢？

這些方法之間也是有聯(lián)系的．通過第(5)題可以發(fā)現(xiàn)，不是所有的一元二次方程都有實(shí)數(shù)根，那么什么樣的一元方程會(huì)沒有實(shí)數(shù)根呢？這一問題為下一節(jié)課埋下伏筆．第三課時(shí)，進(jìn)一步熟悉配方法和解一般形式的一元二次方程，從而得到最后一種解法——公式法．公式法和配方法又有什么關(guān)系呢？當(dāng)學(xué)完了四種方法后，每一種方法又適合于解什么樣的方程呢？在選擇方法時(shí)，是否有優(yōu)先順序呢？通過這樣的設(shè)問和追問，不斷促成學(xué)生找到知識(shí)之間的聯(lián)系，這樣知識(shí)就不是碎片化的、孤立的、容易遺忘的．

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，自有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和用于交流的符號(hào)形式，這種結(jié)構(gòu)和符號(hào)形式是強(qiáng)大的，富有邏輯、簡(jiǎn)明而且精確，是我們可以借助來理解和處理新數(shù)學(xué)問題的一種思維方式．?dāng)?shù)學(xué)也是各學(xué)科中最“講道理”的學(xué)科，它嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、清晰，善于把混沌無(wú)序的直覺經(jīng)驗(yàn)變成邏輯嚴(yán)密的理性認(rèn)知．所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能僅停留在直覺經(jīng)驗(yàn)層次，必須要升華到理性認(rèn)知層次．我們?cè)诮虒W(xué)中要盡量減少“只知道怎么做，不知道為什么這么做”的現(xiàn)象，遇到問題要教會(huì)學(xué)生“先知道怎么想，再知道怎么做”．