趙加征 李 寧，2 葉海旺，2 王李管 王其洲，2 雷 濤，2

（1.武漢理工大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北武漢430070；2.礦物資源加工與環(huán)境湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430070；3.中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，湖南長沙410083）

露天開采具有基建時(shí)間短、生產(chǎn)能力大、開采成本低、作業(yè)安全性高等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代礦業(yè)開發(fā)利用過程中得到了廣泛應(yīng)用［1］。由于汽車運(yùn)輸具有調(diào)度方便、適應(yīng)范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，是目前露天開采的主要運(yùn)輸方式。據(jù)統(tǒng)計(jì)［2］，露天開采運(yùn)輸作業(yè)成本約占礦石開采總生產(chǎn)成本的60%，極大影響著礦山企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。因此，在滿足礦山生產(chǎn)能力的條件下，有效減少運(yùn)輸車輛的等待時(shí)間，確定車鏟最優(yōu)配比，提高汽車運(yùn)輸效率，對(duì)于提升礦山經(jīng)濟(jì)效益具有重要意義。

排隊(duì)論是研究服務(wù)過程中排隊(duì)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)理論，也稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論［3］。排隊(duì)理論能夠從系統(tǒng)整體角度描述作業(yè)過程，在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用［4-9］。近年來，大量學(xué)者利用排隊(duì)理論研究并分析了露天礦運(yùn)輸作業(yè)過程的排隊(duì)現(xiàn)象。高景俊等［10］應(yīng)用排隊(duì)論中的有限隊(duì)列模型優(yōu)化了排巖系統(tǒng)的工藝流程，結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際情況來控制車鏟合理調(diào)配。俞雄志［11］采用排隊(duì)理論確定車鏟比，并比較了不同車鏟配比之間經(jīng)濟(jì)效益的差異性。Ercelebi 等［12］采用閉式排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)卡車進(jìn)行了分配，基于線性規(guī)劃實(shí)現(xiàn)了汽車的運(yùn)行調(diào)度，并分析了運(yùn)輸作業(yè)中卡車數(shù)量與最優(yōu)調(diào)度策略對(duì)成本的影響。Ta 等［13］為確定裝載機(jī)組的最少卡車數(shù)量，以吞吐量及礦石品位為約束，基于有限源隊(duì)列理論，建立了油砂露天礦排隊(duì)模型，跟據(jù)裝載機(jī)閑置概率與卡車數(shù)量之間的關(guān)系，建立了卡車分配模型來解決實(shí)際問題。

上述研究大多假設(shè)作業(yè)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)函數(shù)分布，采裝過程僅考慮單臺(tái)裝載設(shè)備。然而實(shí)際生產(chǎn)中只有卸礦作業(yè)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)函數(shù)分布［14-15］，裝車時(shí)間基于負(fù)指數(shù)函數(shù)分布的假設(shè)可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況產(chǎn)生較大差異［16］，不同排隊(duì)模型也會(huì)影響卡車等待時(shí)間［17］。礦山在同一工作平臺(tái)一般具有多個(gè)裝載點(diǎn)，運(yùn)輸汽車數(shù)量需根據(jù)作業(yè)計(jì)劃進(jìn)行選擇。為研究多鏟車、作業(yè)時(shí)間服從一般函數(shù)分布的情形，引入閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展求和算法計(jì)算礦山生產(chǎn)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)各系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。

1 閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展求和算法

求和算法（Summation Algorithm，SUM）是一種分析計(jì)算服務(wù)時(shí)間呈負(fù)指數(shù)函數(shù)分布排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的近似算法，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的擴(kuò)展求和算法（Extended SUM，ESUM），可以有效解決服務(wù)時(shí)間為一般函數(shù)分布的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)問題［18］。

1.1 ESUM計(jì)算原理

假設(shè)某閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)中有N個(gè)服務(wù)點(diǎn)，第i個(gè)服務(wù)點(diǎn)（1 ≤i≤N）有mi個(gè)相同的服務(wù)臺(tái)，此閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)中顧客總數(shù)為K。閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)定時(shí)，有如下關(guān)系成立：①各服務(wù)點(diǎn)的平均排隊(duì)長度與該服務(wù)點(diǎn)流量有關(guān)；②各服務(wù)點(diǎn)內(nèi)平均排隊(duì)長度之和與閉合網(wǎng)絡(luò)內(nèi)顧客總數(shù)相同。

第一類關(guān)系可表述為

SUM將服務(wù)點(diǎn)分為4類，如表1所示。

注：m表示該服務(wù)點(diǎn)共有m個(gè)服務(wù)臺(tái)；∞表示該服務(wù)點(diǎn)存在無數(shù)個(gè)服務(wù)臺(tái)。

根據(jù)上述分類，有下式成立：

式中，m i為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)處包含的相同服務(wù)臺(tái)數(shù)量；ρi為第i個(gè)服務(wù)點(diǎn)的服務(wù)強(qiáng)度；Pmi為表 1 中 Type1 型系統(tǒng)中全部服務(wù)臺(tái)都被占用的概率。

第二類關(guān)系可表述為

式（1）、式（3）構(gòu)成了SUM算法的基礎(chǔ)。

在ESUM 中，Type1 的服務(wù)時(shí)間函數(shù)分布由負(fù)指數(shù)分布擴(kuò)展到一般分布，引入系數(shù)ai對(duì)式（2）進(jìn)行修正：

對(duì)于 M/G/1-FCFS 和 M/G/m-FCFS 型服務(wù)點(diǎn)，平均排隊(duì)長度分別為

ESUM算法的迭代步驟為：

（1）以λ1= 0 為流量下限，λμ= min{μi,mi} 為流量上限。對(duì)于-/G/∞型服務(wù)點(diǎn)，mi=K。

（3）若g(λ)＞K，令λμ=λ，若g(λ)＜K，令λ1=λ，重復(fù)步驟（2）；若(K-ε)≤g(λ)≤(K+ε)（ε是一個(gè)很小的數(shù)，表示計(jì)算精度），則停止計(jì)算。利用滿足要求的流量λ，便可分析閉合網(wǎng)絡(luò)中各服務(wù)點(diǎn)的運(yùn)行指標(biāo)。

1.2 改進(jìn)ESUM算法

1.2.1 誤差分析

礦山在實(shí)際生產(chǎn)過程中由于閉合網(wǎng)絡(luò)中總卡車數(shù)量為定值，不存在無容量約束的情形，即最大排隊(duì)長度應(yīng)為卡車總數(shù)，而ESUM 算法是基于無限容量等待過程得到閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的近似公式，無容量約束下可能會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)長度大于卡車總數(shù)的情形。利用Matlab 軟件對(duì)文獻(xiàn)［19］中卡車總數(shù)為5 輛時(shí)的流量進(jìn)行隨機(jī)模擬，模擬時(shí)間為500 min，在無容量限制情況下采裝過程排隊(duì)長度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖1 所示。由圖1可以看出，卡車在采裝系統(tǒng)中長度最高為8 輛，且有多次超過卡車實(shí)際總數(shù)5 輛。在無容量約束時(shí)，鏟車處的排隊(duì)長度會(huì)變大，導(dǎo)致閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)整體流量λ變小，導(dǎo)致直接應(yīng)用式（5）、式（6）計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大誤差。因此，采用有限容量的等待過程對(duì)ESUM算法進(jìn)行改進(jìn)，更符合礦山實(shí)際情況。

1.2.2 算法改進(jìn)

礦山閉合網(wǎng)絡(luò)模型中，卡車總數(shù)不變，當(dāng)所有卡車都在同一服務(wù)點(diǎn)時(shí)，將后續(xù)卡車看作損失，沒有加入排隊(duì)過程，等待制排隊(duì)模型變?yōu)榛旌现婆抨?duì)模型，利用此時(shí)的系統(tǒng)排隊(duì)長度改進(jìn)式（5）、式（6）確定模型表達(dá)式，即：

式中，bi為修正系數(shù)。

服務(wù)點(diǎn)多服務(wù)臺(tái)與單服務(wù)臺(tái)的差異，僅僅表現(xiàn)為卡車被鏟車服務(wù)的隨機(jī)性不同。鑒于多服務(wù)臺(tái)情形的公式［3］過于復(fù)雜，因此本研究選用單服務(wù)臺(tái)的情形進(jìn)行近似分析。單服務(wù)臺(tái)混合制排隊(duì)模型M/M/1/N 和單服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型M/M/1 的系統(tǒng)排隊(duì)長度公式分別為

式中，N為排隊(duì)容量；ρ為服務(wù)強(qiáng)度。

由式（9）、式（10）可得：

當(dāng)ρ取值分別為 0．4, 0．5,0．6,0．7 時(shí)，h隨卡車數(shù)量的變化情況如圖2所示。

由圖2 可知：隨著卡車數(shù)量逐漸增大，M/M/1 模型和M/M/1/N 模型的比值越來越接近1，即當(dāng)卡車數(shù)量無限大時(shí)，兩種模型無差異。在ESUM 算法中，閉合網(wǎng)絡(luò)中流量大小與卡車總數(shù)成正比，且ρi=λiμi，由此定義bi：①bi為ρi的函數(shù)，且當(dāng)ρi= 0時(shí)，bi= 0；當(dāng)ρi= 1 時(shí)，bi= 1；②bi為單調(diào)遞增函數(shù)，且增長率逐漸減小。為簡化公式，選常用函數(shù)，取。

1.2.3 方法驗(yàn)證

利用改進(jìn)ESUM 算法對(duì)某礦山生產(chǎn)過程的隨機(jī)模擬實(shí)例［20］進(jìn)行分析，假設(shè)該露天礦山有1 臺(tái)電鏟，若干輛卡車，卸載場地有1 個(gè)卸礦車位，可供1 輛卡車進(jìn)行卸車作業(yè)。計(jì)算機(jī)模擬基礎(chǔ)數(shù)據(jù)為：裝載時(shí)間服從正態(tài)分布，其均值為1.32 min，方差為0.072 9；重車運(yùn)行時(shí)間服從定長分布，其均值為4 min；卸車服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，均值為0.74 min；空車運(yùn)行時(shí)間為定長3.67 min；每輛卡車裝載量均值為22.5 t；每班工作時(shí)間為6 h。

針對(duì)卡車總數(shù)K= 5,6,…,11 的情形，分別采用改進(jìn)的ESUM 算法對(duì)上述實(shí)例的閉合網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析計(jì)算，并與原始算法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如表2 所示。改進(jìn)后的班生產(chǎn)能力與計(jì)算機(jī)模擬得到的生產(chǎn)能力差異在3%以內(nèi)，精度相較之前明顯提高?？ㄜ嚳倲?shù)在11 輛時(shí)的誤差較大，主要是由于修正函數(shù)bi后期與函數(shù)h不完全符合，不過隨著后期卡車數(shù)量增多，出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象越明顯，對(duì)于車鏟協(xié)同不利，在實(shí)際優(yōu)化時(shí)不會(huì)考慮此類數(shù)據(jù)，因此利用改進(jìn)的ESUM 算法進(jìn)行車鏟協(xié)同優(yōu)化具有可行性。

2 工程應(yīng)用

2.1 礦山閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型

某年產(chǎn)280萬t的露天石灰石礦山為滿足生產(chǎn)需求，每天需連續(xù)工作兩班共計(jì)16 h，平均班產(chǎn)量4 667 t。礦山現(xiàn)有單斗挖掘機(jī)3臺(tái)，運(yùn)輸卡車12輛，其中11輛常用。礦山運(yùn)輸路徑中段有一段單車道，并且卸礦前需要稱重。實(shí)際生產(chǎn)中，在采裝過程中極易排隊(duì)等待現(xiàn)象。因此，有必要對(duì)車鏟協(xié)同進(jìn)行優(yōu)化，減少卡車在采裝過程中的等待時(shí)間，提高卡車?yán)眯省?/p>

依據(jù)閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)理論，將該礦山作業(yè)過程抽象為采裝、重車運(yùn)行、單車道、稱重、卸礦、空車運(yùn)行等系統(tǒng)，如圖3所示。

2.2 排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)分析

（1）采裝系統(tǒng)。采裝過程中，3 臺(tái)單斗挖掘機(jī)在同一工作平臺(tái)進(jìn)行工作，卡車到達(dá)后可以自由選擇空閑的挖掘機(jī)，當(dāng)3 臺(tái)挖掘機(jī)都被占用時(shí)，后來的卡車排列成一隊(duì)等待。以人工計(jì)時(shí)方式對(duì)裝車時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，結(jié)果顯示，未通過K-S 檢驗(yàn)，即裝車時(shí)間不符合負(fù)指數(shù)分布；數(shù)據(jù)通過J-B正態(tài)分布擬合檢驗(yàn)，裝車時(shí)間經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如圖4所示，置信度為95%。由圖4可以看出，數(shù)據(jù)基本符合正態(tài)分布，因此，本研究將采裝過程視為3個(gè)服務(wù)臺(tái)的M/G/3 型排隊(duì)系統(tǒng)，裝車時(shí)間均值為7.298 4 min，標(biāo)準(zhǔn)差為1.404 2 min。

（2）重車運(yùn)行系統(tǒng)。將礦山公路視為無限個(gè)服務(wù)臺(tái)，即卡車在公路行駛時(shí)無需等待。為簡化排隊(duì)模型，將兩段重車運(yùn)行合成一段完整的運(yùn)行路徑，重車運(yùn)行時(shí)間符合均值為2.6 min 的定長分布，此系統(tǒng)屬M(fèi)/G/∞型。

（3）單車道系統(tǒng)。在行駛路徑中間部分的單車道，只允許單向通過。車輛在啟動(dòng)加速階段時(shí)所用時(shí)間較長，在平穩(wěn)路段運(yùn)行時(shí)可以認(rèn)為是勻速運(yùn)動(dòng)。該部分可以雙向通行，此系統(tǒng)的流量應(yīng)為2λ，通行時(shí)間為定值0.5 min，屬于M/G/1型排隊(duì)系統(tǒng)。

（4）稱重系統(tǒng)?？ㄜ嚱?jīng)過重車運(yùn)行后，在卸礦前需先進(jìn)行稱重。礦山目前有1臺(tái)地磅，稱重過程耗時(shí)均值為0.5 min，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)［15］，稱重時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，此系統(tǒng)屬于M/M/1型。

（5）卸礦系統(tǒng)。該礦山目前只有1 個(gè)卸礦點(diǎn)，可允許2 輛卡車同時(shí)進(jìn)行卸礦作業(yè)，即系統(tǒng)內(nèi)有2 個(gè)服務(wù)臺(tái)，卸礦時(shí)間服從均值為2 min 的負(fù)指數(shù)分布，此系統(tǒng)屬于M/M/2型。

（6）空車運(yùn)行系統(tǒng)。與重車運(yùn)行類似，可以將該系統(tǒng)視為含有無數(shù)個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)點(diǎn)，服務(wù)時(shí)間定長分布的M/G/∞型排隊(duì)系統(tǒng)?？哲囘\(yùn)行時(shí)間均值為2 min，其中不包括在單車道的運(yùn)行時(shí)間。

卡車在此礦山閉合網(wǎng)絡(luò)模型中循環(huán)經(jīng)過6 級(jí)服務(wù)系統(tǒng)，根據(jù)各系統(tǒng)排隊(duì)類型，選用相應(yīng)公式，即可求解出閉合網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)各服務(wù)點(diǎn)的運(yùn)行指標(biāo)。

2.3 改進(jìn)ESUM模型計(jì)算結(jié)果

2.3.1 閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)分析

用改進(jìn)ESUM 算法求解該礦山閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型中K= 4,5,…,14 的近似解，計(jì)算精度取ε= 0．001，結(jié)果如表3所示。

當(dāng)K為 6～14 時(shí)，增加的 8 輛卡車有 7 輛在采裝系統(tǒng)中，說明這些卡車以排隊(duì)等待的形式加入到網(wǎng)絡(luò)中。隨著卡車數(shù)量增加，λ值明顯變大，不過其增長率逐漸減小。由圖5 可知：λ值會(huì)趨近于采裝過程極限服務(wù)能力，即采裝過程容易成為限制整個(gè)閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)流量增加的節(jié)點(diǎn)，因此需要對(duì)采裝過程的排隊(duì)指標(biāo)進(jìn)行精確分析。

2.3.2 采裝過程分析

假設(shè)卡車以恒定到達(dá)率到達(dá)采裝點(diǎn)，卡車裝載量均值為30 t，計(jì)算每班生產(chǎn)能力并依據(jù)Little公式［3］計(jì)算各到達(dá)率對(duì)應(yīng)的平均逗留時(shí)間，結(jié)果如表4 所示。當(dāng)卡車數(shù)量為4、5時(shí)，卡車在采裝系統(tǒng)平均逗留時(shí)間較少，但此時(shí)該系統(tǒng)中的平均卡車數(shù)小于3 輛，即單斗挖掘機(jī)可能會(huì)存在空閑時(shí)間過長的情況?？ㄜ嚳倲?shù)為6 時(shí)，單斗挖掘機(jī)在平均意義上無空閑，卡車逗留時(shí)間也較短，同時(shí)滿足平均班產(chǎn)量目標(biāo)，此時(shí)車鏟協(xié)同效果較優(yōu)。考慮到實(shí)際生產(chǎn)過程存在其他未考慮的因素，因此卡車總數(shù)為7輛比較適宜。卡車數(shù)量從原先的11 輛減少至7 輛時(shí)，卡車在采裝過程的逗留時(shí)間縮短了42.24%，班生產(chǎn)能力只減少了7.86%。

2.4 隨機(jī)模擬驗(yàn)證

利用Matlab軟件模擬采裝系統(tǒng)的排隊(duì)過程，以驗(yàn)證采用改進(jìn)ESUM 算法確定卡車數(shù)量的合理性，當(dāng)兩者在采裝系統(tǒng)的數(shù)量一致或相差不大時(shí)，可以認(rèn)為改進(jìn)ESUM 算法有效。模擬過程需要進(jìn)行有效性檢驗(yàn)，一般情況下排隊(duì)過程達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的排隊(duì)指標(biāo)可以通過理論推導(dǎo)得到，但M/G/m/N排隊(duì)模型用數(shù)學(xué)推導(dǎo)異常困難，M/M/m模型與M/G/m模型的仿真模擬差異只是生成服務(wù)時(shí)間隨機(jī)數(shù)的函數(shù)不同，可以轉(zhuǎn)化成為M/M/m/N 排隊(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證［21］。本研究根據(jù)實(shí)例［3］分析該隨機(jī)模擬的準(zhǔn)確性。

設(shè)計(jì)算機(jī)有5 個(gè)終端，用機(jī)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，為15 min；顧客到達(dá)符合泊松流，平均0.2 個(gè)/min；5 個(gè)終端全被使用時(shí)，后續(xù)顧客只能前往別處。根據(jù)排隊(duì)論公式計(jì)算上述示例，系統(tǒng)平均排隊(duì)長度為2.669 7個(gè)，平均逗留時(shí)間為15 min。采用上述模擬方法模擬多次發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)平均排隊(duì)長度為2.76 個(gè)，平均逗留時(shí)間為15.59 min，可以證明該模擬有效。

運(yùn)用上述模擬方法對(duì)改進(jìn)ESUM 算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)卡車總數(shù)為6 輛時(shí)，分別模擬10 次采裝過程，模擬時(shí)間均為500 min，結(jié)果如表5所示，某次排隊(duì)長度隨時(shí)間的變化特征如圖6 所示。10 次隨機(jī)模擬中采裝系統(tǒng)平均排隊(duì)長度的平均值為3.204 8，改進(jìn)ESUM 算法的計(jì)算值為3.383 9，可以認(rèn)為由改進(jìn)ESUM算法計(jì)算得到的卡車數(shù)量較準(zhǔn)確。由圖6可以直觀看出，卡車數(shù)量保持在3輛時(shí)次數(shù)較多。

3 結(jié) 論

根據(jù)實(shí)際情況建立了某露天礦生產(chǎn)的閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，將該礦山流程簡化為采裝、重車運(yùn)行、單車道、稱重、卸礦和空車運(yùn)行等系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)，研究得到如下結(jié)論：

（1）引入閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展求和算法，計(jì)算穩(wěn)態(tài)時(shí)該礦山各系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行指標(biāo)，得到采裝過程是制約該礦山生產(chǎn)的瓶頸環(huán)節(jié)。

（2）以卡車等待時(shí)間少并滿足平均班產(chǎn)量為目標(biāo)，確定該礦山合理的卡車數(shù)量為7 輛，卡車在采裝過程中的逗留時(shí)間較未優(yōu)化前縮短了42.24%。

（3）利用仿真模擬驗(yàn)證了閉合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展求和算法在該礦山應(yīng)用的可行性，結(jié)果表明，采用此方法進(jìn)行車鏟協(xié)同優(yōu)化簡單有效。