湯受鵬

（山東商務職業(yè)學院機電工程系，山東煙臺264670）

0 引 言

機器人的種類繁多，應用非常廣泛，比如軍用、民用和工業(yè)用機器人等[1-2]，其中工業(yè)用機器人機械手的研究是人們比較關(guān)注的領(lǐng)域。機器人機械手有空間結(jié)構(gòu)和平面結(jié)構(gòu)兩種形式，其運動分析和動力學分析基本上是類似的，都是要通過建立基本坐標系和局部隨動坐標系及其坐標變換（雅可比矩陣）取得控制空間參量和操作空間參量之間的函數(shù)關(guān)系方程（組），但這些方程大多為非線性的代數(shù)方程或微分方程，其對應的正反演解析求解非常困難。徐建強[3]對并聯(lián)機構(gòu)運動分析和動力分析常用的雅可比矩陣求解、直接求導法、牛頓迭代法、影響系數(shù)法、虛設(shè)機構(gòu)法和數(shù)值搜索法等數(shù)學方法做了介紹，這些方法在末端執(zhí)行器的速度分析和加速度分析及執(zhí)行力的正反演求解中都有應用；夾具設(shè)計及其誤差分析理論在機器人的分析中也是可以借鑒的，吳玉光等[4]將工件和夾具系統(tǒng)進行了機構(gòu)模型化，對夾具定位誤差提出了機構(gòu)學建模方法。由于機器人的控制空間參數(shù)和操作空間參數(shù)之間的關(guān)系大多為強非線性的，一般解析求解很困難，近些年來人們提出的差分進化算法[5]、混沌相乘法[6]、多種群遺傳算法[7]、復合形差分進化算法[8]、追隨軌跡算法[9]等理論[10-12]都在一定程度上了給出了具體問題的（數(shù)值）解。龔星如[13]針對TX90XL工業(yè)機器人的運動學建模、標定方法及標定的可行性做了研究；王雪巍[14]對埃夫特工業(yè)機器人ER7L的幾何誤差問題采用預給運動學參數(shù)誤差方法探討了長度誤差、角度誤差及其他一些微小誤差對末端定位精度的敏感性問題；廖偉強等[15]對游藝人形機器人的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)及運動采用人體工學原理和有限元方法進行了研究，給出了關(guān)節(jié)位置和速度的求解方法，分析了機器人運動的平穩(wěn)性等問題；胡俊峰等[16]針對一種新的兩自由度柔性并聯(lián)機械手采用假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日乘子法給出了系統(tǒng)的動力學模型和運動控制模型，并利用坐標分塊法對該模型進行了分析求解。理論上機器人在工作過程中按照預先設(shè)定的程序是可以準確到達目標工作點的，但實際上是不可能做到的，原因是各種形式的誤差總是存在的，這就需要機器人能進行位置傳感反饋調(diào)整，進行二次補償定位，這種反饋補償定位的數(shù)學模型原則上一般都是非線性的，但因為目前的設(shè)計水平和加工技術(shù)等先進設(shè)計理念，總是能夠做到定位誤差是比較小的程度，這個事實使得問題變得簡單了，那就是原本非線性反演問題將可以轉(zhuǎn)化為一個比較簡單的線性分析模型，這種線性模型一般來說隨著機械手的自由度的增加而成為欠定的，即通過該模型的求解將得到無數(shù)組反饋調(diào)整參數(shù)方案，這為下一步的優(yōu)化尋優(yōu)帶來了方便，本文基于這樣的考慮，針對一個平面n自由度機械手執(zhí)行端的定位誤差反演關(guān)節(jié)參數(shù)問題提出了一種線性分析模型，通過建立適當?shù)膬?yōu)化目標函數(shù)找到最佳反演關(guān)節(jié)參數(shù)調(diào)整解，其中采用了共軛梯度法對目標函數(shù)進行了優(yōu)化尋優(yōu)，從參考文獻看，目前未見有類似文獻發(fā)表，本文的分析方法和結(jié)論對于平面機械手和空間機械手的微調(diào)反演問題研究都具有一定的參考價值。

1 問題模型和理論分析

圖1所示是一根平面多自由度機械手，它由n根連桿通過n－2個活動平面鉸鏈連接而成，并通過A1處的一個平面固定鉸鏈與基座相連，這是一個開環(huán)連接的平面結(jié)構(gòu)，是機器人操作機構(gòu)上經(jīng)常采用的結(jié)構(gòu)形式之一。建立圖示平面直角坐標系xA1y（固定坐標系，也稱基本坐標系）

上述結(jié)構(gòu)中，關(guān)節(jié)點Aj（j=1,2,...,n）處一般安裝有驅(qū)動動力 源，An+1處 安裝操作手（機器人執(zhí)行端），為了下文討論方便起見，不再考慮此處的運動自由度（比如說腕部旋轉(zhuǎn)自由度）。假設(shè)點An+1的坐標為（xn+1,yn+1），連桿A1A2與基本坐標系的水平軸（x軸）之間的夾角為θ1，連桿A2A3與連桿A1A2之間的夾角為θ2，依此類推，連桿AnAn＋1與連桿An－1An之間的夾角為θn，并規(guī)定凡逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。連桿長度分別為Lj（j=1,2,...,n）。

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，在某一工序中，機械手位于圖示工作位置，即其對應的定位關(guān)節(jié)參數(shù)分別為θj（j=1,2,...,n），容易列出（xn+1,yn+1）與θj（j=1,2,...,n）之間滿足的方程組：

假設(shè)由于各種原因（比如連桿變形和/或尺寸誤差、關(guān)節(jié)連接處的配合間隙等），該機械手的操作端An+1離真正的目標點存在水平方向的誤差ε，豎直方向上的誤差η。為此，對式（1）兩邊同時微分得：

若令dxn+1=ε,dyn+1=η,dθj=δj，則上式可改寫為：

式中，δk（k=1,...,n）分別是角度（關(guān)節(jié)參數(shù)）θk（k=1,...,n）的微調(diào)量。

式（2）就是在知道ε,η的前提下確定δk（k=1,...,n）的問題，這是一個欠定反演問題，一般來說理論上它具有無窮多組解。此外，根據(jù)實際問題的具體情況，比如能量消耗最小或調(diào)整效率最高或調(diào)整用時最短等要求，總是可以給出一個選定解的評判準則，在優(yōu)化問題上就是目標函數(shù)的構(gòu)造問題，在這里不失一般性，我們假定該目標函數(shù)是解的2-范數(shù)，即有如下優(yōu)化模型：

式中：δ=［δ1,...,δn］T，T為轉(zhuǎn)置。

通過求解式（3），就可以找到取得最小2-范數(shù)的反饋誤差校正量δ=［δ1,...,δn］T。

對于式（2），選定［δ3,...,δn］T作為自由變量，確定變量δ1、δ2。

以變量（δ3,...,δn）為自由變量，通過式（2）確定變量（δ1,δ2）的方程組為：

式中：

問題的目標函數(shù)可進一步寫為

顯然該目標函數(shù)是關(guān)于變量δj（j=3,...,n）的二次函數(shù)，具有唯一極小點，該極小點滿足如下條件：

即

簡寫之為

式中：x=［δ3,δ4,...,δn］T；

求解線性方程組的方法有很多，考慮到機器人運動定位參數(shù)誤差反演計算的病態(tài)性現(xiàn)象的廣泛性，本文采用具有一定抗病態(tài)性的共軛梯度法求解上述方程組。

為此，為保證方程組系數(shù)矩陣的正定性，將式（9）做如下處理：

容易驗證，矩陣B=ATA是對稱正定的，且方程組ATAx=ATb與Ax=b有共同解。

具體共軛梯度法求解的迭代過程設(shè)計如下

1）給定計算精度γ和初始迭代點x0，計算其負梯度g0=－▽f（x0），并令第一個共軛向量S0=g0。

2 算例結(jié)果與分析（swp107）

驗證本文算例的已知參數(shù)給出為L1=0.2 m，L2=0.3 m，L3=0.4 m，L4=0.5 m，L5=0.5 m，L6=0.8 m；θ1=π/12，θ2=π/10，θ3=π/8，θ4=π/10，θ5=π/9，θ6=π/6；ε=0.006 m，η=0.005 m，計算結(jié)果為δ1=－0.0015 m，δ2=－0.0018 m，δ3=－0.0024 m，δ4=－0.0014 m，δ5=－0.0001 m，δ6=－0.0014 m。當ε=－0.004 m，η=0.008 m時，計算結(jié)果為δ1=－7.1615×10-4m，δ2=－6.7885×10-4m，δ3=0.001 1 m，δ4=－0.0 008 m，δ5=0.000 m，δ6=－0.0002 m，這些解就是反饋給機械手進行關(guān)節(jié)微調(diào)的量。上述兩種情況的尋優(yōu)都用了四次迭代，迭代速度是非?？斓?。

從上述計算結(jié)果看，在機械手離真實位置存在（位置）誤差時，利用本文方法可以快速計算出機械手各個關(guān)節(jié)處需要微調(diào)的參數(shù)值，可為反饋控制關(guān)節(jié)驅(qū)動器的驅(qū)動方向和調(diào)節(jié)量提供參考。當然，當選擇解的評判標準發(fā)生變化時，僅僅需要改變優(yōu)化目標函數(shù)的形式，然后采用合適的線性近似分析即可。

3 結(jié) 論

本文對平面n自由度機械手的操作位置誤差反饋控制參數(shù)反演提出了一種線性分析方法，該法可給出問題的解析解，并能夠推廣用于機械手的三維真實空間內(nèi)的誤差反演調(diào)整量的計算。