彭 姣,朱建青
(蘇州科技大學數(shù)理學院,江蘇 蘇州 215009)
1961年Lur’e給出完整力學系統(tǒng)相對于非慣性系的方程,根據(jù)分析力學方法給出了相對于非慣性系各類動力學方程,同時對相對于非慣性系系統(tǒng)的Noether對稱性[1-3]等進行了相關探究.1979年,Lutzky在力學系統(tǒng)上從全新的角度來探究Lie對稱性和守恒量[4-7],緊接著這一研究方法被迅速傳播,取得了很多顯著成果[8-10].同時,關于相對于非慣性系Lie對稱性的研究,已有了許多工作,梅鳳翔在分析力學專題[11]中研究載體與被載體相對于非慣性系的運動微分方程.他又在非Chetaev型非完整系統(tǒng)[12]中建立了相對于非慣性系的Lie理論.岳楠和張毅則對關于相對于非慣性系的Lie對稱性及其逆問題在事件空間中進行了研究[13].
1988年,德國學者Stefan Hilger在他的博士論文中第一次提到時間尺度理論[14],是為了同時解決連續(xù)和離散分析并且將它們的理論擴展到“介于兩者之間”的案例[15].近年來時間尺度理論上關于數(shù)學研究應用于統(tǒng)計學、金融學、工程學等科學分支,同時關于對稱性與守恒量的探究在動力學系統(tǒng)中也得到了一些重要成果[16-25].2012年,蔡平平運用時間尺度理論對約束力學系統(tǒng)的對稱性進行了詳細的研究,給出了計算約束力學系統(tǒng)第一積分方法[26].然而關于時間尺度上相對于非慣性系Lie對稱性研究還較少,本文基于時間尺度理論研究非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性及守恒量.
若相對于非慣性系的運動受g個理想雙面非完整約束
(1)
(2)
時間尺度上相對于非慣性系系統(tǒng)的Hamilton原理為
(3)
(4)
由(2)式,則原理(3)可表為
其中γβ為Lagrange乘子.
根據(jù)Dubois-Reymond引理,可得
(5)
對上式求Δ導數(shù)可得
(j=1,2,…,n;β=1,2,…,g),
(6)
方程(6)稱為時間尺度上Lagrange方程非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的運動方程.
假設系統(tǒng)非奇異,即
(7)
由方程(1)和(6)可求出γβ的函數(shù),并將其代入方程(6)可得
(j=1,2,…,n),
(8)
其中,
(9)
通過(8)式可進一步求解出所有廣義加速度
(10)
引入無限小變換
t*=t+εζ0(t,κ),
(11)
取生成元向量[28]
(12)
它的一次擴展
(13)
以及它的二次擴展
(14)
即方程(10)在時間尺度上的無限小變換(11)下的不變性可表為
(15)
進而歸結為如下確定方程
(16)
定義1對于符合確定方程(16)的生成元ζ0,ζj,則對稱性為時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性.
約束方程(1)由(11)式性質可得限制方程
Ζ(1)(ψβ(t,κσ,κΔ))=0 (β=1,2,…,g).
(17)
考慮到方程(2)對ζ0,ζj的限制,得到附加限制方程
(18)
定義2對于同時符合確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)的ζ0,ζj,則對稱性為時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的強Lie對稱性.
定理1如果生成元ζ0,ζj在確定方程(16)中成立,并且存在符合結構方程
(19)
的規(guī)范函數(shù)R=R(t,κσ,κΔ),則時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的守恒量
(20)
證明由文獻[29]可推得時間尺度上公式如下
(21)
定理2如果生成元ζ0,ζj在確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)中同時成立,并且存在符合結構方程(19)的規(guī)范函數(shù)R=R(t,κσ,κΔ),則時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系存在形如(20)的強Lie對稱性守恒量.
(22)
相應式(20)為經典的非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性守恒量
(23)
設時間尺度
(24)
相對于非慣性系的Lagrange函數(shù)為
(25)
Τ3=0 (j=1,2,3),
(26)
其中載體以勻角速度ω繞某鉛垂軸轉動,被載系統(tǒng)為一單位質量的質點.所受非完整約束為
(27)
研究系統(tǒng)的對稱性與守恒量.
首先,由(6)式可得系統(tǒng)的運動方程為
(28)
由方程(27)、(28)求得約束乘子
(29)
將(29)式代入方程(28)可得
(30)
其次,根據(jù)(16)式建立Lie對稱性的確定方程可得一組解為
ζ0=1,ζ1=ζ2=ζ3=0.
(31)
然后,判斷是否是強Lie對稱性,由(17)式和(18)式可得
(32)
(33)
顯然,生成元(31)滿足(32)式和(33)式,于是它相應為該系統(tǒng)的強Lie對稱性.
最后,由結構方程求解規(guī)范函數(shù)及其相應守恒量,將(31)式代入(19)式可得
R=0,
根據(jù)式(20)可得時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的守恒量
本文基于Hamilton原理和Dubois-Reymond引理,研究了時間尺度上Chetaev型非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量.通過不變性原理推導出了確定方程和限制方程,進而得出了結構方程和相應的守恒量,并通過算例說明了結果的應用,其思想方法可推廣研究到相對于非慣性系的非Chetaev型非完整力學系統(tǒng).