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        時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性

        2020-06-18 01:07:52朱建青
        關(guān)鍵詞:生成元時間尺度對稱性

        彭 姣,朱建青

        (蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

        1961年Lur’e給出完整力學(xué)系統(tǒng)相對于非慣性系的方程,根據(jù)分析力學(xué)方法給出了相對于非慣性系各類動力學(xué)方程,同時對相對于非慣性系系統(tǒng)的Noether對稱性[1-3]等進(jìn)行了相關(guān)探究.1979年,Lutzky在力學(xué)系統(tǒng)上從全新的角度來探究Lie對稱性和守恒量[4-7],緊接著這一研究方法被迅速傳播,取得了很多顯著成果[8-10].同時,關(guān)于相對于非慣性系Lie對稱性的研究,已有了許多工作,梅鳳翔在分析力學(xué)專題[11]中研究載體與被載體相對于非慣性系的運(yùn)動微分方程.他又在非Chetaev型非完整系統(tǒng)[12]中建立了相對于非慣性系的Lie理論.岳楠和張毅則對關(guān)于相對于非慣性系的Lie對稱性及其逆問題在事件空間中進(jìn)行了研究[13].

        1988年,德國學(xué)者Stefan Hilger在他的博士論文中第一次提到時間尺度理論[14],是為了同時解決連續(xù)和離散分析并且將它們的理論擴(kuò)展到“介于兩者之間”的案例[15].近年來時間尺度理論上關(guān)于數(shù)學(xué)研究應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、工程學(xué)等科學(xué)分支,同時關(guān)于對稱性與守恒量的探究在動力學(xué)系統(tǒng)中也得到了一些重要成果[16-25].2012年,蔡平平運(yùn)用時間尺度理論對約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性進(jìn)行了詳細(xì)的研究,給出了計(jì)算約束力學(xué)系統(tǒng)第一積分方法[26].然而關(guān)于時間尺度上相對于非慣性系Lie對稱性研究還較少,本文基于時間尺度理論研究非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性及守恒量.

        1 時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的運(yùn)動方程

        若相對于非慣性系的運(yùn)動受g個理想雙面非完整約束

        (1)

        (2)

        時間尺度上相對于非慣性系系統(tǒng)的Hamilton原理為

        (3)

        (4)

        由(2)式,則原理(3)可表為

        其中γβ為Lagrange乘子.

        根據(jù)Dubois-Reymond引理,可得

        (5)

        對上式求Δ導(dǎo)數(shù)可得

        (j=1,2,…,n;β=1,2,…,g),

        (6)

        方程(6)稱為時間尺度上Lagrange方程非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的運(yùn)動方程.

        假設(shè)系統(tǒng)非奇異,即

        (7)

        由方程(1)和(6)可求出γβ的函數(shù),并將其代入方程(6)可得

        (j=1,2,…,n),

        (8)

        其中,

        (9)

        通過(8)式可進(jìn)一步求解出所有廣義加速度

        (10)

        2 時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量

        引入無限小變換

        t*=t+εζ0(t,κ),

        (11)

        取生成元向量[28]

        (12)

        它的一次擴(kuò)展

        (13)

        以及它的二次擴(kuò)展

        (14)

        即方程(10)在時間尺度上的無限小變換(11)下的不變性可表為

        (15)

        進(jìn)而歸結(jié)為如下確定方程

        (16)

        定義1對于符合確定方程(16)的生成元ζ0,ζj,則對稱性為時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性.

        約束方程(1)由(11)式性質(zhì)可得限制方程

        Ζ(1)(ψβ(t,κσ,κΔ))=0 (β=1,2,…,g).

        (17)

        考慮到方程(2)對ζ0,ζj的限制,得到附加限制方程

        (18)

        定義2對于同時符合確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)的ζ0,ζj,則對稱性為時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的強(qiáng)Lie對稱性.

        定理1如果生成元ζ0,ζj在確定方程(16)中成立,并且存在符合結(jié)構(gòu)方程

        (19)

        的規(guī)范函數(shù)R=R(t,κσ,κΔ),則時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的守恒量

        (20)

        證明由文獻(xiàn)[29]可推得時間尺度上公式如下

        (21)

        定理2如果生成元ζ0,ζj在確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)中同時成立,并且存在符合結(jié)構(gòu)方程(19)的規(guī)范函數(shù)R=R(t,κσ,κΔ),則時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系存在形如(20)的強(qiáng)Lie對稱性守恒量.

        (22)

        相應(yīng)式(20)為經(jīng)典的非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性守恒量

        (23)

        3 算例

        設(shè)時間尺度

        (24)

        相對于非慣性系的Lagrange函數(shù)為

        (25)

        Τ3=0 (j=1,2,3),

        (26)

        其中載體以勻角速度ω繞某鉛垂軸轉(zhuǎn)動,被載系統(tǒng)為一單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn).所受非完整約束為

        (27)

        研究系統(tǒng)的對稱性與守恒量.

        首先,由(6)式可得系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

        (28)

        由方程(27)、(28)求得約束乘子

        (29)

        將(29)式代入方程(28)可得

        (30)

        其次,根據(jù)(16)式建立Lie對稱性的確定方程可得一組解為

        ζ0=1,ζ1=ζ2=ζ3=0.

        (31)

        然后,判斷是否是強(qiáng)Lie對稱性,由(17)式和(18)式可得

        (32)

        (33)

        顯然,生成元(31)滿足(32)式和(33)式,于是它相應(yīng)為該系統(tǒng)的強(qiáng)Lie對稱性.

        最后,由結(jié)構(gòu)方程求解規(guī)范函數(shù)及其相應(yīng)守恒量,將(31)式代入(19)式可得

        R=0,

        根據(jù)式(20)可得時間尺度上非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的守恒量

        4 結(jié)論

        本文基于Hamilton原理和Dubois-Reymond引理,研究了時間尺度上Chetaev型非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量.通過不變性原理推導(dǎo)出了確定方程和限制方程,進(jìn)而得出了結(jié)構(gòu)方程和相應(yīng)的守恒量,并通過算例說明了結(jié)果的應(yīng)用,其思想方法可推廣研究到相對于非慣性系的非Chetaev型非完整力學(xué)系統(tǒng).

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