展銘，郭勤濤，岳林，張保強(qiáng)

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京，210016；2.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，福建廈門，361005)

在土木、機(jī)械、航空航天、武器裝備等領(lǐng)域的工程結(jié)構(gòu)中，有限元建模和分析技術(shù)得到越來越多的應(yīng)用，并逐漸成為理論分析和試驗(yàn)測(cè)試后的另一大支柱[1-2]。雖然有限元技術(shù)在工程實(shí)踐中十分普及，但是隨著工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，在有限元建模過程中，局部細(xì)節(jié)簡(jiǎn)化和邊界條件處理等不可避免地會(huì)使分析結(jié)果與結(jié)構(gòu)真實(shí)測(cè)試結(jié)果之間存在差異。將有限元分析結(jié)果用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或工程決策的前提是有限元模型具有足夠的精度，即所建立的模型能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的輸入和輸出之間的關(guān)系。因此，在諸如上述的工程領(lǐng)域中，根據(jù)結(jié)構(gòu)測(cè)試的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，可以提高有限元模型反映結(jié)構(gòu)特性的能力，并可以將修正后的有限元模型用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別、狀態(tài)監(jiān)測(cè)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)示等[3]。大量學(xué)者對(duì)有限元模型修正的關(guān)鍵問題進(jìn)行了研究，并取得了豐碩的研究成果。在模型修正前，首先需要對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行篩選，ZANG等[4]采用等效單元模態(tài)應(yīng)變能和等效單元模態(tài)動(dòng)能選擇模型修正中誤差的敏感參數(shù)。萬華平等[5]基于全局靈敏度分析方法，提出了有限元模型修正待修正參數(shù)選擇的新方法。經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證，待修正響應(yīng)信息對(duì)有限元模型修正過程、修正后模型的精度以及修正后模型的用途具有重要的影響。REN等[6]基于結(jié)構(gòu)靜態(tài)試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果修正了結(jié)構(gòu)中的未知參數(shù)。THONON等[7]采用模態(tài)頻率和模態(tài)置信度作為修正目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了梁結(jié)構(gòu)的模型修正。XIAO等[8]采用模態(tài)頻率和影響線作為目標(biāo)修正了斜拉橋的多尺度有限元模型。張保強(qiáng)等[9]使用模態(tài)頻率和有效模態(tài)質(zhì)量作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正的目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜邊界梁模型的修正。ESFANDIARI[10]利用共振區(qū)附近的應(yīng)變傳遞函數(shù)修正了二維桁架結(jié)構(gòu)。JAISHI等[11]采用模態(tài)頻率及模態(tài)應(yīng)變能殘差，基于多目標(biāo)優(yōu)化算法修正了簡(jiǎn)支梁及箱型梁結(jié)構(gòu)的有限元模型。GUO等[12]通過定義應(yīng)變頻響函數(shù)的相關(guān)性，修正了結(jié)構(gòu)的材料屬性。姜東等[13]基于模態(tài)試驗(yàn)參數(shù)修正了蜂窩夾層復(fù)合材料有限元模型中的不確定性參數(shù)。郭鐵能等[14]研究了應(yīng)用頻響函數(shù)辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)的方法，并基于三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)驗(yàn)證了方法的有效性。LINK等[15]將模態(tài)參數(shù)和時(shí)域響應(yīng)作為目標(biāo)響應(yīng)，基于模型修正方法對(duì)復(fù)合板結(jié)構(gòu)中的損傷進(jìn)行了識(shí)別。針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型修正過程計(jì)算成本過高的問題，曹文斌等[16]以某型航天結(jié)構(gòu)為例，基于代理模型以及二級(jí)優(yōu)化策略實(shí)現(xiàn)了有限元模型修正過程。JUNG等[17]通過分層模型校準(zhǔn)方法，提高了電機(jī)有限元模型的預(yù)測(cè)能力。XIONG等[18]對(duì)有限元模型修正方法進(jìn)行了總結(jié)，通過最大似然估計(jì)確定模型中隨機(jī)參數(shù)的分布特征。MODAK等[19]對(duì)模型修正方法進(jìn)行了比較，認(rèn)為不同類型的模型修正方法各具優(yōu)勢(shì)，在工程應(yīng)用時(shí)需要酌情選取。從上述的文獻(xiàn)可知，目前常用的有限元模型修正方法中，采用的響應(yīng)主要包括靜力學(xué)響應(yīng)、模態(tài)參數(shù)、加速度時(shí)頻域響應(yīng)等。靜力學(xué)響應(yīng)、結(jié)構(gòu)整體模態(tài)參數(shù)等對(duì)于結(jié)構(gòu)中局部連接參數(shù)的靈敏度較低。此外，采用模態(tài)參數(shù)作為修正目標(biāo)，要求試驗(yàn)?zāi)軌蚓_測(cè)量多階模態(tài)，并且對(duì)阻尼參數(shù)的修正效果通常不理想。本文作者采用復(fù)雜加筋壁板結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，聯(lián)合加速度和應(yīng)變頻響函數(shù)對(duì)模型中的材料參數(shù)、連接參數(shù)以及模態(tài)阻尼比進(jìn)行修正，并對(duì)修正后的模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 基于頻響函數(shù)的模型修正

1.1 模型修正方法

有限元模型修正的基本思想是通過調(diào)整模型中的參數(shù)達(dá)到縮小有限元分析與結(jié)構(gòu)試驗(yàn)測(cè)試之間的差距的目的，本質(zhì)上是一個(gè)力學(xué)反問題，并可以表示為如下數(shù)學(xué)形式：

式中：X為待修正參數(shù)；Xlb和Xub分別為其下限和上限；R(X)為響應(yīng)殘差；RA(X)和RE分別為有限元分析響應(yīng)以及試驗(yàn)測(cè)試響應(yīng)；WR為殘差的加權(quán)系數(shù)。

1.2 多響應(yīng)頻響函數(shù)分析方法

在有限元分析時(shí)，通常將結(jié)構(gòu)離散為多自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M，C和K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X(t)，˙(t)和¨(t)分別為位移、速度及加速度向量；F(t)為激勵(lì)力向量。

對(duì)上述動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行變換，引入模態(tài)坐標(biāo)對(duì)方程組進(jìn)行解耦，根據(jù)模態(tài)疊加原理可得在任意坐標(biāo)下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)為

式中：φr為第r階模態(tài)振型向量；N為模態(tài)截?cái)嗟目傠A次；Mr，Cr和Kr分別為模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼及模態(tài)剛度；為第r階模態(tài)頻率；ζr=為第r階模態(tài)阻尼比；Hd(ω)為位移的頻率響應(yīng)函數(shù)。

根據(jù)有限元理論中的應(yīng)變和位移之間的關(guān)系以及上述位移響應(yīng)表達(dá)式，通過坐標(biāo)變換等過程可得結(jié)構(gòu)中任一節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)變響應(yīng)為

式中：ψr稱為第r階應(yīng)變模態(tài)振型；Hε(ω)為應(yīng)變頻響函數(shù)。

1.3 頻響函數(shù)的相關(guān)性

假設(shè)有限元分析獲得的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)處的頻響函數(shù)矩陣為HA，試驗(yàn)的頻響函數(shù)矩陣為HE。借鑒評(píng)價(jià)模態(tài)振型相關(guān)性的概念，定義頻響函數(shù)的相關(guān)系數(shù)描述仿真分析與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果之間相關(guān)性[20]：

式中：HiA(X)和HiE分別為仿真分析和試驗(yàn)測(cè)試頻響函數(shù)矩陣在頻率點(diǎn)i處的列向量；RSAC和RMAC分別為形狀相關(guān)系數(shù)和幅值相關(guān)系數(shù)。

由兩類相關(guān)系數(shù)的定義式可以看出，RSAC和RMAC分別是對(duì)頻響函數(shù)矩陣中各頻率點(diǎn)處的頻響函數(shù)向量的形狀相似程度和幅值一致程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)?；陬l響函數(shù)相關(guān)系數(shù)的有限元模型修正目標(biāo)函數(shù)可表示為

2 加筋壁板結(jié)構(gòu)建模及試驗(yàn)

2.1 加筋壁板結(jié)構(gòu)建模

加筋壁板結(jié)構(gòu)在航空航天等領(lǐng)域廣泛使用，其動(dòng)力學(xué)特性決定著結(jié)構(gòu)在各個(gè)方面的研究進(jìn)展。加筋壁板主要由基礎(chǔ)板、夾持邊以及筋條等零部件組成，各零部件之間通過螺栓或鉚釘相連接。在有限元建模時(shí)，考慮到各零部件厚度相對(duì)于其余方向尺寸較小，采用板單元建立加筋壁板各零部件的模型。對(duì)于零部件之間的連接，采用彈簧阻尼單元描述。由于各零部件之間的連接方向不一，因此在建模時(shí)對(duì)彈簧阻尼單元按照連接方向進(jìn)行分組，并分別賦予不同的屬性值。將螺栓視為彈性桿件，根據(jù)材料力學(xué)對(duì)其軸向剛度進(jìn)行近似計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果圓整后作為模型中參數(shù)的初值。此外，由于結(jié)構(gòu)中的連接數(shù)量較多，為了減小其質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算的影響，在建模時(shí)采用集中質(zhì)量單元描述螺栓的質(zhì)量。加筋壁板結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖1所示。

2.2 加筋壁板試驗(yàn)測(cè)試

圖1 加筋壁板結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.1 Finite elementmodelof stiffened structure

在對(duì)加筋壁板進(jìn)行試驗(yàn)前，首先對(duì)各零部件進(jìn)行組裝，并通過扭矩扳手控制螺栓的擰緊力矩，保證同一方向的螺栓具有相同的擰緊力。試驗(yàn)時(shí)采用彈性繩將加筋壁板懸掛于剛性支架上，通過激振器產(chǎn)生0～200 Hz的連續(xù)掃頻信號(hào)對(duì)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)板施加垂向激勵(lì)。采用動(dòng)態(tài)信號(hào)采集儀，同時(shí)記錄激勵(lì)力信號(hào)以及基礎(chǔ)板上測(cè)點(diǎn)處的加速度和應(yīng)變信號(hào)。隨后基于信號(hào)處理方法獲得各測(cè)點(diǎn)處加速度及應(yīng)變頻響函數(shù)信息。加筋壁板試驗(yàn)測(cè)試激勵(lì)點(diǎn)及響應(yīng)測(cè)點(diǎn)分布如圖2所示，其中，C1為激勵(lì)點(diǎn)，激勵(lì)方向垂直于基礎(chǔ)板；A1～A5為加速度測(cè)點(diǎn)，方向垂直于基礎(chǔ)板；S1～S6為應(yīng)變測(cè)點(diǎn)，其中S1～S2以及S5～S6測(cè)試方向沿Y向，S3～S4測(cè)試方向沿X向。

圖2 加筋壁板結(jié)構(gòu)試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)Fig.2 Testpointof stiffened structure

表1 加筋壁板模型修正參數(shù)Table1 Updating parametersof stiffened structure

3 加筋壁板結(jié)構(gòu)模型修正

正如建模部分所述，加筋壁板模型中存在多組未知參數(shù)，本文采用多響應(yīng)頻響函數(shù)對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行修正，一方面，可以避免模態(tài)參數(shù)識(shí)別引起的誤差，另一方面，頻響函數(shù)上可用于修正的信息更多。在對(duì)加筋壁板結(jié)構(gòu)模型修正前，首先采用靈敏度分析方法對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行篩選，確定結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)板與夾持邊連接的Z向平動(dòng)剛度Kn1以及X和Y向轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Krx1和Kry1、基礎(chǔ)板與筋條連接的Z向平動(dòng)剛度Kn2以及Y向轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kry2、結(jié)構(gòu)前6階模態(tài)的阻尼比ξ1～ξ6為待修正參數(shù)。在模型修正時(shí)，選取頻響函數(shù)各共振峰的半功率帶寬點(diǎn)以及相鄰共振峰的峰值間距的中點(diǎn)作為目標(biāo)頻率點(diǎn)，分別計(jì)算加速度和應(yīng)變頻響函數(shù)的兩類相關(guān)系數(shù)，基于式(7)構(gòu)造用于修正的目標(biāo)函數(shù)。采用遺傳算法對(duì)所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而獲得待修正參數(shù)合理空間內(nèi)的最優(yōu)組合。加筋壁板模型修正各待修正的初值、修正值如表1所示。分別基于修正前后的模型參數(shù)計(jì)算加筋壁板結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率，并與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果比較，其各階頻率的誤差如表2所示。

表2 修正前后的模態(tài)頻率對(duì)比Table2 Modal frequency before and afterupdating

從表2可知：在模型修正前各階頻率誤差最大值為-16.49%，絕對(duì)平均誤差為8.42%；經(jīng)過模型修正后，各階頻率誤差最大值為-3.45%，絕對(duì)平均誤差為1.45%。故經(jīng)過模型修正，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率誤差得到有效減小。

分別基于修正前和修正后的待修正參數(shù)值計(jì)算加筋壁板結(jié)構(gòu)試驗(yàn)測(cè)試對(duì)應(yīng)位置的多響應(yīng)頻響函數(shù)，并與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果比較。修正前后加速度測(cè)點(diǎn)5處的頻響函數(shù)以及應(yīng)變測(cè)點(diǎn)4處的頻響函數(shù)與對(duì)應(yīng)試驗(yàn)頻響函數(shù)的對(duì)比如圖3所示。

圖3 修正前后多響應(yīng)頻響函數(shù)對(duì)比Fig.3 Comparison ofmulti response FRF

與修正前相比，修正后加速度頻響函數(shù)的形狀相關(guān)系數(shù)均值從0.61提高至0.88，幅值相關(guān)系數(shù)均值從0.59提高至0.88；應(yīng)變頻響函數(shù)的形狀相關(guān)系數(shù)均值從0.62提高至0.84，幅值相關(guān)系數(shù)均值從0.59提高至0.79。修正前后加速度和應(yīng)變頻響函數(shù)的2類相關(guān)系數(shù)變化如圖4所示。

由頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)以及對(duì)應(yīng)的曲線對(duì)比可知，修正后兩類響應(yīng)的頻響函數(shù)的相關(guān)系數(shù)均得到有效改善。上述現(xiàn)象表明：修正后2類響應(yīng)的頻響函數(shù)更趨向于一致，即修正后模型更能表征結(jié)構(gòu)真實(shí)的特性。

圖4 修正前后多響應(yīng)頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)對(duì)比Fig.4 Correlation ofmultiresponse FRFs

4 結(jié)論

1)采用頻響函數(shù)作為目標(biāo)響應(yīng)可以為模型修正過程提供更豐富的響應(yīng)信息，修正后模型能夠準(zhǔn)確表征結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息。

2)聯(lián)合多響應(yīng)頻響函數(shù)的模型修正得到的模型能夠同時(shí)復(fù)現(xiàn)用于修正的目標(biāo)響應(yīng)，修正后的模型是一個(gè)能同時(shí)反映結(jié)構(gòu)加速度和應(yīng)變特性的模型。

3)本文實(shí)現(xiàn)的聯(lián)合多響應(yīng)頻響函數(shù)的加筋壁板結(jié)構(gòu)模型修正具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值，為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的模型修正提供了可行的思路。