劉婷婷，彭亞紅

(東華大學 理學院，上海 201620)

我國經(jīng)濟的日益發(fā)展以及人口日漸增多，導致環(huán)境遭受的污染越來越嚴重。人們缺乏環(huán)境保護的意識，導致水資源惡化嚴重，因此浮游生物大量繁衍暴發(fā)的現(xiàn)象頻繁出現(xiàn)。在2007年，中國第三大淡水湖——太湖由于藻類植物的暴發(fā)，直接導致水源被嚴重污染，給當?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境和淡水養(yǎng)殖業(yè)產生了不容小覷的影響。對于此類浮游生物暴發(fā)現(xiàn)象，有關學者通過建模，試圖先從理論上對這一問題進行研究[1-4]，進而為解決實際問題提供指導。

早在2000—2001年，Chattopadhayay等[5]對浮游植物暴發(fā)現(xiàn)象進行實地考察并采集一定數(shù)據(jù)對此進行分析，根據(jù)分析統(tǒng)計的結果，建立了浮游植物釋放毒素的浮游生物模型，如式(1)所示。

(1)

其中：P=P(t)和Z=Z(t)分別為浮游植物種群和浮游動物種群在t時刻的濃度；r和K分別為浮游植物種群的內秉增長率和環(huán)境容納量；c為生物量之間的轉化系數(shù)；μ為浮游動物種群的自然死亡率；f(P)為浮游植物被浮游動物捕食的函數(shù)；g(P)為浮游植物種群釋放有毒物質的函數(shù)。

(2)

式中：β=cα；θ為浮游植物種群的毒素釋放率；η為密度制約系數(shù)。文獻[1]在模型(2)中引入自擴散系數(shù)，并在Neumann邊界條件下考慮如下的擴散模型：

(3)

式中：P=P(x，t)，Z=Z(x，t)，Ω為具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；v為?Ω的外法單位向量；d1和d2分別為浮游植物和浮游動物的自擴散系數(shù)；ΔP和ΔZ分別為P和Z的拉普拉斯算子。假設上述模型中的所有參數(shù)均為正常數(shù)。

對空間擴散模型(3)，文獻[1]先證明了正平衡點是局部漸進穩(wěn)定的，接著通過構造Lyapunov函數(shù)，進一步證明了正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

同時，許多學者研究了具有交叉擴散的反應擴散模型的動力學行為[6-11]。而文獻[12-14]的研究表明，交叉擴散項的出現(xiàn)會對模型動力學行為產生影響。本文在文獻[1]的研究基礎上，在模型(3)中引入交叉擴散項，考慮如下模型：

(4)

其中：d11>0，d22>0分別為浮游植物和浮游動物種群的自擴散系數(shù)；d12∈R，d21∈R分別為浮游植物和浮游動物種群的交叉擴散系數(shù)。涉及的其他參數(shù)均為正常數(shù)，并假設式(5)成立。

d11d22-d12d21>0

(5)

1 模型(4)正平衡點的穩(wěn)定性分析

易知，當且僅當

P*

(6)

時，模型(4)存在唯一的正平衡點E*(P*，Z*)，其中：

定理1不等式(6)成立當且僅當

(7)

證明由于P*是方程

的正根，顯然有式(8)成立。

(8)

又因為P*

(9)

成立。

不等式(9)成立當且僅當

(10)

和

(11)

同時成立。

不等式(10)成立當且僅當不等式(8)成立。不等式(11)成立當且僅當

(12)

成立，即式(9)成立當且僅當式(12)成立。從而定理1得證。

引理1(文獻[1]中定理3.2和3.3)

(1) 如果模型(3)滿足條件(7)，則模型(3)存在唯一的正平衡點E*(P*，Z*)，且正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的；

由引理1可知，在浮游植物產生有毒物質的浮游生物模型中引入自擴散項之后，該模型的正平衡點仍舊是穩(wěn)定的，即自擴散項的引入并未引起系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定性的變化。

令

則模型(2)在E*處的雅可比矩陣為

顯然，a11<0，a12<0，a22<0。由于

所以a21>0。從而有

T0=a11+a22=

D0=a11a22-a12a21=

模型(4)在E*處的穩(wěn)定性由如下特征方程的特征值決定。

λ2-Tkλ+Dk=0，k=0，1，2，…

其中：

Tk=[T0-k2(d11+d22)]

Dk=D0-k2(a11d22+a22d11-a21d12-a12d21)+
k4(d11d22-d12d21)

這里

由Tk的表達式知，對?k≥0，顯然有Tk<0。根據(jù)式(5)和D0>0可知，Dk是關于k2的開口向上且截距為正的一元二次多項式，所以可能存在k∈N+，使得Dk<0。這是由于交叉擴散項d12或d21的出現(xiàn)引起的。考慮Dk的對稱軸表達式為

注意到在臨界值

時，Dk取到如下最小值：

1.1 圖靈不穩(wěn)定的必要條件

模型(3)中，自擴散項的加入未引起正平衡點穩(wěn)定性的變化，接下來討論模型(4)引入交叉擴散項后正平衡點穩(wěn)定性的情況。根據(jù)上文分析可知，產生圖靈不穩(wěn)的必要條件為

(13)

(14)

式(13)成立當且僅當

(15)

式(14)成立當且僅當

(16)

若式(16)成立，顯然式(15)成立。

定理2假設參數(shù)d12，d21∈R，模型(4)中其他參數(shù)均為正常數(shù)并滿足條件(5)和(7)，如果式(16)成立，則模型(4)的正平衡點E*(P*，Z*)是不穩(wěn)定的。

L1為0.08-d12d21=0

由圖1可知，曲線L1和圖靈分支曲線L2所交區(qū)域D1和D2為圖靈不穩(wěn)區(qū)域。其中，D1分布在三、四象限，D2分布在一、四象限，且D1和D2表示如下：

D1={(d21，d12)|d12<0，0.08-d12d21>0且

0.172 3d12+0.405 938<0}

D2={(d21，d12)|d21>0，0.08-d12d21>0

0.172 3d12+0.405 938<0}

1.2 在有界區(qū)間中圖靈不穩(wěn)定的充分條件

1.1節(jié)給出了模型(4)在正平衡點處不穩(wěn)定的必要條件。模型(4)引入交叉擴散之后，交叉擴散的出現(xiàn)可能會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的發(fā)生，由于模型(4)是在Neumann邊界條件下討論，而波數(shù)k是離散的，依賴于Neumann邊界條件，因此，需進一步分析模型(4)的圖靈不穩(wěn)定的充分條件。為方便起見，在模型(4)中取空間變量為一維，即令Ω=(0，l)。下面分析引起模型(4)正平衡點不穩(wěn)定的充分條件[12]。

記：

(17)

由于d12，d21∈R，根據(jù)式(17)可知，存在d12或d21使M<0。

(18)

(19)

也即

(20)

成立，其中M由式(17)給出。

由以上分析可得模型(4)的正平衡點不穩(wěn)定的充分條件，即定理3。

定理3假設d12，d21∈R，模型(4)的其他參數(shù)均為正常數(shù)并滿足條件(5)和(7)以及式(15)和(16)，若存在正整數(shù)n，使得式(20)成立，則模型(4)的正平衡點E*(P*，Z*)是不穩(wěn)定的。

為了驗證定理3中滿足條件的正整數(shù)n存在，下面舉例說明。

根據(jù)曲線l1和曲線l2表達式可知，當取d21=2時，n1=0.223 6，n2=1.277 9，則取到一個n=1滿足式(19)。

2 數(shù)值模擬

通過以上理論分析，得知模型(4)在引入交叉擴散項之后出現(xiàn)圖靈不穩(wěn)。在d21-d12平面上，得到不穩(wěn)定區(qū)域D1和D2。本節(jié)對不穩(wěn)定區(qū)域及其他區(qū)域進行數(shù)值模擬。由于浮游植物種群和浮游動物種群模擬出的斑圖類型是類似的，所以在下文的數(shù)值模擬中，僅對浮游植物種群進行模擬。 在上文分析中已經(jīng)得知模型(4)的圖靈不穩(wěn)定是由交叉擴散系數(shù)d12或d21引起的，在接下來的數(shù)值模擬中，固定r=1.5，K=17，α=0.063，β=0.038 7，μ=0.035，η=0.09，θ=0.1，γ=1.5，d11=0.4，d22=0.2。d12和d21取不同數(shù)值，在圖1中取點驗證。

(1) 固定d12=-7.5，取d21=2.35，0.029進行數(shù)值模擬，結果分別如圖2和圖3所示。

在圖1中取(d21，d12)=(2.35，-7.5)，該點在d21-d12平面的第四象限中，且在穩(wěn)定區(qū)域中。由圖2可知，隨著時間變化，模型很快出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。

在圖1中取(d21，d12)=(0.029，-7.5)，該點在不穩(wěn)定區(qū)域D1中。由圖3可知，隨著時間變化，底部變?yōu)辄S色區(qū)域，在黃色區(qū)域中出現(xiàn)大量的藍色點狀斑圖，再經(jīng)過一段時間的變化，最終穩(wěn)定下來形成點條型斑圖。

(2) 固定d21=2.499，取d12=-0.46和1.222進行數(shù)值模擬，結果分別如圖4和5所示。

在圖1中取(d21，d12)=(2.499，-0.46)，該點在不穩(wěn)定區(qū)域D2中。由圖4可知：起初出現(xiàn)無規(guī)律的紫色塊狀，隨著時間的延長，開始隱約出現(xiàn)條狀和點狀的斑點；隨著時間再進一步延長，點狀和條狀逐漸明顯，并且點狀斑圖連接成條狀，最終，基本上以條狀斑圖穩(wěn)定下來。

在圖1中取(d21，d12)=(2.499，1.222)，此點在不穩(wěn)定區(qū)域D2上方的區(qū)域中。由圖5可知，隨著時間延長先出現(xiàn)一些不規(guī)則的紅色斑點，但模型很快出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。

3 結 語

本文主要討論了交叉擴散對具有產毒浮游植物的浮游生物系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，與僅含有自擴散項的浮游生物模型對比，交叉擴散項d12或d21的出現(xiàn)引起圖靈不穩(wěn)。在數(shù)值模擬部分，分別固定交叉擴散系數(shù)d12(改變d21的取值)和d21(改變d12的取值)，發(fā)現(xiàn)交叉擴散系數(shù)d12或d21中任一個量的改變都會引起圖靈不穩(wěn)定性發(fā)生，從而產生豐富的圖靈斑圖，如點條混合斑圖或條狀斑圖。同時，穩(wěn)定性區(qū)域的模擬結果與理論結果也是一致的。