楊練根，劉 凡，冉晶晶，翟中生

（1. 湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068；2. 湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430068）

引言

軸錐透鏡為任一形狀回轉(zhuǎn)體，一側(cè)為平面，另一側(cè)為圓錐面[1]。不同于透鏡匯聚于一點(diǎn)的成像方式，經(jīng)軸錐透鏡的光束在傳輸過(guò)程中表現(xiàn)出線焦特性，即光束高度約束在以中心軸線為基準(zhǔn)的局部區(qū)域內(nèi)，且不受衍射影響，具有中心光斑強(qiáng)度高、方向性好、準(zhǔn)直距離長(zhǎng)以及自修復(fù)特性等特點(diǎn)[2]。由于其獨(dú)特的光學(xué)特性，廣泛應(yīng)用于無(wú)衍射光生成、光學(xué)成像系統(tǒng)、瞳孔整形、光學(xué)測(cè)試、激光束整形、自由空間光通信、飛秒激光加工、光互聯(lián)和精密準(zhǔn)直、精密光學(xué)檢測(cè)等領(lǐng)域[3-6]。

在軸錐透鏡的實(shí)際應(yīng)用中，需要提前精確獲取錐角參數(shù)，因此，對(duì)錐角有嚴(yán)格的測(cè)量要求。例如，為了保證光刻照明系統(tǒng)中的瞳孔能量平衡，瞳孔整形單元中一對(duì)軸棱錐透鏡的錐角精度要求應(yīng)在±30″以內(nèi)。

近年來(lái)，各種錐角測(cè)量方法得到了發(fā)展，其中坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（CMM）就是一種常用的方法，但這種接觸測(cè)量方式可能造成軸錐透鏡表面損傷，影響其光學(xué)特性，并且較為耗時(shí)。接觸測(cè)量方式可以用于驗(yàn)證非接觸方法的測(cè)量結(jié)果。除了接觸測(cè)量技術(shù)，很多非接觸測(cè)量方法也用于測(cè)量軸錐透鏡的錐角。De Angelis 等人[7]提出了雙光束剪切干涉法測(cè)量軸錐透鏡的錐角，此方法僅適用于小基準(zhǔn)角的測(cè)量。Fantonetal[8]用馬赫曾德干涉儀測(cè)試軸錐透鏡表面，該方法結(jié)合一個(gè)精確的方形沿切向旋轉(zhuǎn)掃描獲得錐角。然而，上述兩種方法的設(shè)置都很復(fù)雜。此外，這些方法在在測(cè)量錐角范圍上存在局限性。Ma 等人[9]用計(jì)算機(jī)生成的全息圖（CGH）測(cè)量錐角，測(cè)量裝置設(shè)置很簡(jiǎn)單，但是CGH 通常是復(fù)雜、昂貴和耗時(shí)的。Zhang J[10]提出一種基于雙波長(zhǎng)色散的方法，測(cè)量裝置緊湊，容易調(diào)節(jié)，然而忽略了不同波長(zhǎng)對(duì)于成像透鏡焦點(diǎn)距離的影響，不能滿足大多數(shù)現(xiàn)代應(yīng)用要求。Zhang[11]提出了一種基于自準(zhǔn)直光路的軸錐透鏡錐角的測(cè)量方法，但測(cè)量時(shí)需要實(shí)時(shí)調(diào)整記錄平行板和經(jīng)緯儀與軸錐透鏡之間的偏角，另外，為提高測(cè)量分辨率延長(zhǎng)了整體光路，增加了測(cè)量難度。

本文提出一種基于無(wú)衍射光莫爾條紋測(cè)量方法，經(jīng)分光合束的兩無(wú)衍射光束相互干涉疊加后形成一定數(shù)目的莫爾條紋。根據(jù)兩無(wú)衍射光束中心光斑間距、莫爾條紋數(shù)量、激光波長(zhǎng)、軸錐透鏡折射率可以計(jì)算出錐角值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本方法具有較高的錐角測(cè)量精度。

1 軸錐透鏡錐角測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 軸錐透鏡錐角測(cè)量系統(tǒng)硬件構(gòu)成

本文提出的測(cè)量方法的光路結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。測(cè)量裝置由激光器、準(zhǔn)直擴(kuò)束鏡、待測(cè)軸錐透鏡、分束器、反射鏡、二維平移臺(tái)、以及與計(jì)算機(jī)相連的圖像傳感器組成。上述裝置固定安裝在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，其中反射鏡2 安裝在二維平移臺(tái)上。實(shí)際測(cè)量時(shí)，反射鏡2 能夠沿光路傳播方向進(jìn)行水平位移，待測(cè)軸錐透鏡錐角可以為任意角度。

1.2 軸錐透鏡錐角測(cè)量系統(tǒng)工作原理

圖 1 測(cè)量光路結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Structure diagram of measuring optical path

軸錐透鏡錐角測(cè)量系統(tǒng)工作原理為：激光器發(fā)出的光經(jīng)準(zhǔn)直擴(kuò)束后垂直入射軸錐透鏡，在軸錐透鏡后形成零階貝塞爾形狀的同心圓環(huán)（無(wú)衍射光），其仿真圖如圖2（a）所示。圖1 中分束器1 將無(wú)衍射光分為兩束衍射光，分別稱為參考光束和測(cè)量光束，其中參考光束經(jīng)反射鏡1 和分束器2 后垂直入射到圖像傳感器上形成無(wú)衍射光，其中心光斑位置不變稱為參考點(diǎn)；測(cè)量光束經(jīng)反射鏡2 和分束器2 后垂直入射到圖像傳感器上形成測(cè)量點(diǎn)，這兩束無(wú)衍射光相互干涉形成莫爾條紋，其Matlab仿真圖如圖2（b）所示。

圖 2 仿真示意圖Fig. 2 Schematic diagram of simulation

其中測(cè)量點(diǎn)受反射鏡2 位置的影響而發(fā)生改變，通過(guò)調(diào)節(jié)二維平移臺(tái)完成調(diào)整參考點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)中心距離的任務(wù)。每一次中心距離改變，對(duì)應(yīng)的莫爾條紋數(shù)發(fā)生變化，圖像傳感器完成對(duì)不同莫爾條紋數(shù)干涉圖像采集。采集的圖像由計(jì)算機(jī)完成圖像處理并計(jì)算相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，最終得到軸錐透鏡錐角計(jì)算結(jié)果。

通過(guò)軸棱錐透鏡傳輸?shù)募す馐? 個(gè)方向偏轉(zhuǎn)，因此，需要調(diào)整反射鏡。為了從一維分析中獲得精確的結(jié)果，激光光束須嚴(yán)格平行于軸錐透鏡光軸方向。一是經(jīng)擴(kuò)束準(zhǔn)直的激光束垂直入射到軸錐透鏡的平面上，調(diào)整軸錐透鏡位置使激光束通過(guò)錐體頂點(diǎn)傳輸，通過(guò)判斷設(shè)置在軸錐透鏡后方白屏上是否出現(xiàn)中心光斑光強(qiáng)均勻的同心圓，確定激光束是否通過(guò)錐形頂點(diǎn)傳輸；二是經(jīng)反射鏡反射回來(lái)的測(cè)量光束與參考光束在分束器后表面合束產(chǎn)生干涉，其中參考點(diǎn)在圖像傳感器上位置是固定的，通過(guò)調(diào)整反射鏡2 姿態(tài)對(duì)反射點(diǎn)位置進(jìn)行微調(diào)，使圖像傳感器上出現(xiàn)干涉明顯的莫爾條紋。三是沿光束傳播方向水平移動(dòng)反射鏡2，以實(shí)現(xiàn)對(duì)參考點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)之間中心距離的調(diào)節(jié)，采集多個(gè)不同中心距離下的莫爾條紋，進(jìn)而測(cè)得軸錐透鏡某些輪廓線下的錐角平均值。

2 軸錐透鏡錐角計(jì)算方法

2.1 不同位置兩條無(wú)衍射光干涉疊加

設(shè)參考光束和測(cè)量光束光程分別為Z1和Z2，在圖像傳感器平面上的極坐標(biāo)分別為r1和r2，r 為光束透過(guò)軸錐透鏡半徑，兩束無(wú)衍射光在圖像傳感器上的復(fù)合振幅為

根據(jù)上式，利用穩(wěn)相法[12]可得光強(qiáng)近似為

由公式（2）可知，其光強(qiáng)分布可以理解為2 個(gè)不同位置的零階貝塞爾函數(shù)的疊加，其干涉圖樣表現(xiàn)為明暗條紋等距相間分布的同心圓環(huán)[13]。兩束無(wú)衍射光的干涉場(chǎng)可視為2 個(gè)等間距的同心圓環(huán)光柵的疊加。

其中零階貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)近似可以表示為[14]

對(duì)（4）式作進(jìn)一步推導(dǎo)，得到同心圓環(huán)兩相鄰光柵間距d 為

2.2 錐角公式推導(dǎo)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，兩無(wú)衍射光束疊加形成的莫爾條紋軌跡表現(xiàn)為一系列對(duì)稱分布的雙曲線簇，其條紋分布及數(shù)量受兩光斑中心間距影響。通過(guò)對(duì)中心間距 D與雙曲線漸近線與兩光斑中心之間連線夾角 α關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，可得到：

式中k 為莫爾條紋族對(duì)應(yīng)的序列數(shù)，由公式（5）可知，光斑中心間距與光束光程無(wú)關(guān)。即在無(wú)衍射光有效傳播距離內(nèi)，光柵間距為定值。設(shè) D=nd，n 為正整數(shù)，結(jié)合（5）式可得：

由（7）式可知，當(dāng)k=0， α=90°；當(dāng)k=n， α=0°。表明 α在0°～90°內(nèi)，對(duì)應(yīng)的莫爾條紋數(shù)與光柵中心間距數(shù)一致。則總體圓周上莫爾條紋數(shù)N 與中心間距數(shù)n 呈4 倍線性關(guān)系，即N=4n。

利用Matlab 對(duì)不同間距數(shù)下莫爾條紋數(shù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到的結(jié)果如圖3 所示。由圖3 可以看出， α在0°～90°內(nèi)，莫爾條紋族最大序數(shù)始終等于對(duì)應(yīng)間距數(shù)，與上述推論結(jié)果保持一致。明顯地，與排列緊湊的同心圓環(huán)明暗條紋相比，呈發(fā)散分布的雙曲線莫爾條紋更易被識(shí)別，采集莫爾條紋數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)間距數(shù)的計(jì)量。

圖 3 不同間距數(shù)下莫爾條紋圖Fig. 3 Moire fringe pattern with different spacings

莫爾條紋數(shù)量與兩同心圓環(huán)光柵中心間距及中心距離關(guān)系為

將圖像傳感器視場(chǎng)平面作為坐標(biāo)平面，連續(xù)2 個(gè)像素點(diǎn)間距視為最小單位長(zhǎng)度。以視場(chǎng)左上角頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，記錄參考點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)中心位置，其中參考點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)中心位置分別對(duì)應(yīng)于兩同心圓環(huán)光柵中心。根據(jù)算法直接確定參考點(diǎn)及測(cè)量點(diǎn)中心坐標(biāo)（x0，y0）和（x1，y1），中心距離D 表示為

通過(guò)圖像處理程序?qū)崿F(xiàn)莫爾條紋的計(jì)數(shù)，結(jié)合像素坐標(biāo)計(jì)算得到中心距離，完成對(duì)軸錐透鏡錐角 θ求解。根據(jù)公式（5）和（8），軸錐透鏡錐角 θ可以表示為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)所選用激光器為大恒光電DH-HN 系列氦氖激光器，輸出功率大于1.8 mW，波長(zhǎng) λ為632.8 nm，擴(kuò)束鏡頭擴(kuò)束范圍比為5x～10x。分束器及反射鏡材料均為K9，分束器尺寸 為25.4 mm ×2 5.4 mm×25.4 mm，反射鏡直徑為25.4 mm，其表面反射率大于99.5%。圖像傳感器像元尺寸為5.2 μm ×5.2 μm。結(jié)合公式（10）以及圖像傳感器像元分辨率，帶入前后坐標(biāo)參數(shù)最小差值，得到理論測(cè)量分辨率優(yōu)于0.72″。實(shí)際實(shí)驗(yàn)中直接將所述激光器作為光源，會(huì)因?yàn)槿肷鋱D像傳感器激光光束亮度過(guò)高使得采集的莫爾條紋圖泛白，進(jìn)而導(dǎo)致測(cè)量失效。在實(shí)際光路中引入光衰減片對(duì)激光光束亮度進(jìn)行調(diào)節(jié)，得到明暗對(duì)比明顯的莫爾條紋圖，以方便下一步的圖像處理。

本文以THORLABS 公司生產(chǎn)的軸錐透鏡作為測(cè)量對(duì)象，相關(guān)數(shù)據(jù)如下：材質(zhì)為紫外熔融石英，錐鏡折射率n=1.46，半徑r=12.7 mm，錐角θ=0.5°±0.01°，即錐角公差為72″。二維平移臺(tái)為高精密線性平移臺(tái)，位移最小分辨率為5 μm，行程為±12.5 mm。選取莫爾條紋數(shù)為8、12、16、20、24 和28 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，同時(shí)記錄圖像傳感器中莫爾條紋圖像以及所述平移臺(tái)位移行程。圖像傳感器采集的圖像如圖4所示。

圖 4 不同位移下莫爾條紋圖Fig. 4 Moire fringe pattern under different displacements

通過(guò)圖像傳感器記錄的圖像信息，可以確定對(duì)應(yīng)莫爾條紋數(shù)下參考點(diǎn)中心及測(cè)量點(diǎn)中心的位置，結(jié)果如表1 所示。根據(jù)公式（9）計(jì)算的參考點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)中心距離，結(jié)合已知激光器及軸錐透鏡參數(shù)帶入公式（10），得到錐角測(cè)量結(jié)果如圖5（a）所示，平均角度為0.490 7°。其中圖5（b）給出了本測(cè)量系統(tǒng)12 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，錐角測(cè)量結(jié)果的均值為0.490 8°，重復(fù)性為0.86″。為驗(yàn)證本測(cè)量方法的精度，采用Hexagon 公司的Leitz Infinity 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行比較。該測(cè)量機(jī)的最小測(cè)量分辨率為0.1 μm，空間精度為0.3 + L/1000 μm，因其測(cè)量精度很高，故用其測(cè)量軸錐棱鏡錐角的測(cè)量誤差幾乎可以忽略。如圖6 所示，選取軸錐透鏡某一輪廓的母線上兩點(diǎn)作為探頭測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量12 個(gè)不同位置母線，其中相鄰母線角度分布間距為30°，得到該軸錐透鏡的錐角平均值為0.493 5°。與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量結(jié)果的差值為?0.002 7°，即?9.72″，可認(rèn)為本文所提出的測(cè)量方法的相對(duì)測(cè)量誤差近似為0.54%。

表 1 測(cè)量結(jié)果Table 1 Measurement results

圖 5 軸錐透鏡錐角測(cè)量結(jié)果及重復(fù)性試驗(yàn)Fig. 5 Axicon cone angle measurement results and repeatability test

圖 6 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量方式示意圖及測(cè)量結(jié)果Fig. 6 Schematic diagram and measurement results of CMM measurement mode

4 結(jié)論

本文提出的基于無(wú)衍射光莫爾條紋的軸錐透鏡錐角測(cè)量方法，以無(wú)衍射光同心圓環(huán)間距與軸錐鏡錐角滿足確定關(guān)系式為切入點(diǎn)，將待測(cè)軸錐鏡自生成無(wú)衍射光引入到測(cè)量系統(tǒng)中，簡(jiǎn)化了測(cè)量光路。同時(shí)對(duì)雙無(wú)衍射光干涉形成的莫爾條紋數(shù)與兩中心光斑間距數(shù)關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)并仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明兩者存在確定的線性關(guān)系，通過(guò)采集相對(duì)易識(shí)別的莫爾條紋數(shù)完成對(duì)間距數(shù)的計(jì)量。另外，根據(jù)無(wú)衍射光同心圓環(huán)間距大小不隨光程而改變特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)不同光程下，即兩束無(wú)衍射中心光斑在不同中心距離下軸錐鏡錐角的測(cè)量，提高了系統(tǒng)測(cè)量精度。本系統(tǒng)測(cè)量的軸錐鏡錐角與CMM 測(cè)量結(jié)果相比，測(cè)量誤差為?9.72″，僅為錐角公差1/8，重復(fù)性為0.86″，完全滿足對(duì)錐角的測(cè)量要求。該方法只需對(duì)軸錐鏡生成的無(wú)衍射光進(jìn)行簡(jiǎn)單的分光合束，僅使用單一波長(zhǎng)光源，無(wú)需設(shè)置如全息圖、高精度方形、電子經(jīng)緯儀等測(cè)量元件，與其他測(cè)量方法相比，本方法簡(jiǎn)單、成本低、可靠性高。