梁 健，眭曉虹，趙 陽，蔡婭雯，張和芬

（1.北京空間飛行器總體設(shè)計部， 北京 100094；2.錢學(xué)森空間技術(shù)實驗室， 北京 100094）

0 引言

隨著天基遙感衛(wèi)星觀測能力的逐步提升，具有快速機動能力的敏捷衛(wèi)星日益受到人們的關(guān)注。對地觀測衛(wèi)星為實現(xiàn)高分辨大幅寬成像、同軌立體成像以及視頻成像等功能需要具備快速姿態(tài)機動和穩(wěn)定的能力，同時偵察衛(wèi)星為跟蹤快速機動目標(biāo)，對姿態(tài)快速機動能力也提出了更高的要求。和飛輪相比，控制力矩陀螺（Control Moment Gyroscope，CMG）具有強大的力矩輸出和力矩放大能力，因而適合作為敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)。然而，由于CMG結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且力矩輸出存在奇異問題，因而限制了CMG的廣泛應(yīng)用。當(dāng)前，應(yīng)用CMG的敏捷衛(wèi)星有Pleiades、WorldView、SPOT等系列［1］。Pleiades衛(wèi)星上配備了4個安裝成金字塔構(gòu)型的單框架控制力矩陀螺（Single Gimbal Control Moment Gyroscope，SGCMG），每個SGCMG的角動量為15Nms，最大框架轉(zhuǎn)速為3rad/s，輸出力矩峰值為45Nm，平均最大輸出力矩為20Nm。該SGCMG配置能使Pleiades衛(wèi)星最大姿態(tài)機動角速度達到4（°）/s，并在25s內(nèi)繞滾動或俯仰通道完成60°姿態(tài)機動［2］。我國也積極發(fā)展敏捷衛(wèi)星平臺，其中的商業(yè)遙感衛(wèi)星“高景一號”的姿態(tài)機動能力與Pleiades衛(wèi)星相當(dāng)，具有多條帶拼接、立體觀測等觀測模式，分辨率可達0.5m。

在諸多控制算法中，變結(jié)構(gòu)控制的特點是在滑動模態(tài)下對系統(tǒng)參數(shù)變化和干擾具有很強的魯棒性。正是由于這種對參數(shù)變化和外部擾動的不敏感特性，使得變結(jié)構(gòu)控制算法在敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制方面具有巨大的應(yīng)用潛力［3］。

為實現(xiàn)敏捷衛(wèi)星快速姿態(tài)機動，本文采用6個SGCMG組成的五棱錐構(gòu)型作為姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)。為縮短衛(wèi)星姿態(tài)機動所需時間，對衛(wèi)星繞Euler軸進行姿態(tài)機動的角軌跡進行了規(guī)劃，并根據(jù)星體實際姿態(tài)與規(guī)劃姿態(tài)之間的誤差四元數(shù)和誤差角速度設(shè)計了變結(jié)構(gòu)控制律。仿真及在軌驗證結(jié)果表明，該控制律能有效完成繞Euler軸的姿態(tài)機動并具有較強的魯棒性。

1 衛(wèi)星姿態(tài)運動數(shù)學(xué)模型

帶有SGCMG的剛體衛(wèi)星姿態(tài)運動的動力學(xué)方程為

式（1）中，J為包含SGCMG系統(tǒng)的衛(wèi)星慣量矩陣，ω為星體在慣性系下的轉(zhuǎn)動角速度，h為SGCMG系統(tǒng)的角動量，Td為作用于星體上的外部干擾力矩。若將SGCMG系統(tǒng)輸出的控制力矩表示為，此時，衛(wèi)星姿態(tài)運動的動力學(xué)方程可以表示為

采用誤差四元數(shù)表示星體的姿態(tài)運動學(xué)模型。首先，定義衛(wèi)星本體相對于軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)四元數(shù)：q＝［q0q1q2q3］T。其中，q0＝cos（φ/2），［q1q2q3］T＝nsin（φ/2），n為Euler軸方向的單位矢量，φ為繞Euler軸轉(zhuǎn)過的角度，且姿態(tài)四元數(shù)滿足約束條件qTq＝1。在用四元數(shù)表示衛(wèi)星姿態(tài)時，q和-q對應(yīng)同一姿態(tài)，為消除四元數(shù)表示姿態(tài)的雙重性，本文取q0＞0。

設(shè)規(guī)劃姿態(tài)四元數(shù)為qs，q與qs之間的誤差四元數(shù)qe可表示為

采用誤差四元數(shù)表示的姿態(tài)運動學(xué)方程為

式（4）中，ωr為本體坐標(biāo)系相對于軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)角速度，ωs為規(guī)劃姿態(tài)角速度，A（qe）的表達式如下

本體系相對于慣性系的姿態(tài)角速度在本體系中可表示為

式（6）中，ωo＝［0-ω00］T，ω0為軌道角速度，Tbo（q）為軌道坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，表達式為

2 SGCMG系統(tǒng)操縱律設(shè)計

對于單個SGCMG，其輸出力矩位于與框架軸垂直的角動量面上，產(chǎn)生的力矩方向始終與角動量方向相互正交。如圖1所示，SGCMG輸出力矩方向為τi或τ′i。設(shè)期望力矩方向u在角動量面上的投影為τdi，當(dāng)角動量矢量hi與期望力矩的投影τdi相互正交時，SGCMG角動量改變產(chǎn)生的輸出力矩與期望力矩投影方向相同。此時，SGCMG在期望方向的力矩輸出能力達到最大。

圖1 SGCMG輸出力矩示意圖Fig.1 Schematic diagram of SGCMG output moment

對于SGCMG系統(tǒng)，可定義如下力矩輸出性能指標(biāo)

式（8）中，θi為第i個SGCMG角動量矢量hi與期望力矩的投影τdi之間的夾角，θi＝δi-ηi，n為系統(tǒng)中SGCMG個數(shù)。S越大，表明系統(tǒng)在期望方向的力矩輸出能力也越大；S＝0表明系統(tǒng)各個SGCMG角動量方向均與期望力矩投影方向相同或相反，此時系統(tǒng)無法產(chǎn)生期望方向的輸出力矩，系統(tǒng)陷入奇異狀態(tài)。相對于奇異度量D，力矩輸出性能指標(biāo)S更能反映系統(tǒng)在期望方向的力矩輸出性能。

框架轉(zhuǎn)速指令可分解為兩部分

式（9）中，為有力矩輸出的轉(zhuǎn)速指令，為空轉(zhuǎn)指令，它們滿足以下方程

零運動方程的解為

式（11）中，v為待定的n維矢量，En為n×n維的單位矩陣。

框架在轉(zhuǎn)動過程中會引起力矩輸出性能指標(biāo)S的變化，S隨框架轉(zhuǎn)角變化的表達式可表示為

零運動控制影響表達式的第二項，令其為R

代入的表達式，可得

因此，基于力矩輸出性能指標(biāo)的零運動操縱律表達式為

零運動系數(shù)λ的大小反映了操縱律通過零運動在期望方向保持力矩輸出能力的強弱程度。λ取值越大，操縱律在期望方向具有更強的力矩輸出能力，由于SGCMG最大框架轉(zhuǎn)速的限制，操縱律輸出指令力矩能力越??；λ取值過小時，會使得系統(tǒng)不能在期望方向取得較大的力矩輸出能力，故系數(shù)λ需合適選取。當(dāng)力矩輸出性能指標(biāo)S較大時，系統(tǒng)在期望方向輸出力矩能力較大，零運動系數(shù)λ可取較小值；當(dāng)S較小時，系統(tǒng)在期望方向輸出力矩能力較小，零運動系數(shù)λ應(yīng)取較大值。因而，參數(shù)λ取值可寫為如下形式

式（18）中，λ0＞0，b＞0。

3 姿態(tài)機動角軌跡規(guī)劃

3.1 旋轉(zhuǎn)Euler軸的確定

設(shè)星體在軌道坐標(biāo)系中的初始姿態(tài)四元數(shù)為qc，目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)為qm，初始姿態(tài)四元數(shù)與目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)之間的誤差四元數(shù)qerr可表示為

式（19）中，qerr＝［qerr0qerr1qerr2qerr3］T，Euler旋轉(zhuǎn)軸的指向nc在本體坐標(biāo)系中表示為

繞Euler軸旋轉(zhuǎn)的角度為

3.2 繞Euler軸機動的角軌跡規(guī)劃

衛(wèi)星進行姿態(tài)機動時，衛(wèi)星最大機動角速度受到姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)最大輸出角動量和姿態(tài)敏感器測量范圍的限制。衛(wèi)星進行大角度姿態(tài)機動時，繞Euler軸進行旋轉(zhuǎn)機動可獲得最短的姿態(tài)機動角路徑［4］。設(shè)星體進行姿態(tài)機動時，所能達到的最大機動角速度為。為了節(jié)省姿態(tài)機動所需時間，將衛(wèi)星繞Euler軸的姿態(tài)機動過程規(guī)劃為勻加速、勻速、勻減速三個階段。其中，勻加速、勻減速階段能達到的最大角加速度由執(zhí)行機構(gòu)所能提供的最大輸出力矩和星體轉(zhuǎn)動慣量決定。

圖2 角加速度、角速度、角度軌跡示意圖Fig.2 Schematic diagram of angular acceleration，angular velocity and angular trajectory

圖2中，t0為姿態(tài)機動開始時刻，t1為加速階段結(jié)束時刻，t2為勻速機動結(jié)束時刻，t3為減少階段結(jié)束時刻。

姿態(tài)機動過程中，角加速度可表示為

機動角速度為

機動角度為

星體自初始姿態(tài)qc繞Euler軸nc旋轉(zhuǎn)角度φ后的規(guī)劃姿態(tài)四元數(shù)qs可表示為

q與qs之間的誤差四元數(shù)表示為qe，則。繞Euler軸的旋轉(zhuǎn)角速度在本體三軸上的分量可表示為

4 變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

為實現(xiàn)衛(wèi)星繞Euler軸按規(guī)劃的角度、角速度軌跡完成姿態(tài)機動，設(shè)計了以下變結(jié)構(gòu)控制器。

4.1 滑動模態(tài)設(shè)計

設(shè)計滑動模態(tài)如下

式（28）中，G為正定對角矩陣，qe13＝［qe1qe2qe3］T。系統(tǒng)在滑動模態(tài)上運動時，s＝0，取Lyapunov函數(shù)

V≥0，當(dāng)且僅當(dāng)qe13＝0，即q＝qs時，V＝0。因此，V為正定函數(shù)。對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，可得

當(dāng)且僅當(dāng)qe13＝0時，0。因此，系統(tǒng)在滑動模態(tài)上是漸進穩(wěn)定的。

4.2 變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計

對s求導(dǎo)，可得

為保證滑動模態(tài)的可達性，選擇以下形式的趨近律

式（32）中，K、W均為正定對角矩陣，進而可得

4.3 魯棒性分析

設(shè)衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量標(biāo)稱值為J0，當(dāng)系統(tǒng)中存在模型誤差ΔJ和外部干擾力矩Td時，經(jīng)推導(dǎo)可得出

式（36）中，wi（i＝1，2，3）為W矩陣對角線上的三個元素。wi的取值越大，系統(tǒng)抗干擾能力越強，但不連續(xù)控制引起的抖動也會更劇烈。為減小抖動對系統(tǒng)的影響，用飽和函數(shù)sat（s）代替sgn（s），sat（s）函數(shù)定義如下

式（37）中，si為滑模面s的第i個分量，ε為一適當(dāng)?shù)男≌龜?shù)。

以上通過將符號函數(shù)sgn（s）用飽和函數(shù)sat（s）代替，在一定程度上減弱了因符號函數(shù)引起的系統(tǒng)抖振，但飽和函數(shù)項仍會使得系統(tǒng)存在一定的抖動，從而影響到衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的精度。為提高變結(jié)構(gòu)控制方法的姿態(tài)穩(wěn)定控制精度，以及降低執(zhí)行機構(gòu)的工作負擔(dān)，將飽和函數(shù)sat（s）做如下改進。

改進的飽和函數(shù)sat′（s）定義為［5］

式（38）中，ε1、ε2為改進的飽和函數(shù)sat′（s）的兩個邊界值，且有0＜ε1＜ε2。sat′（s）的示意圖如圖3所示。

圖3 飽和函數(shù)示意圖Fig.3 Schematic diagram of saturation function

對于以上改進后的飽和函數(shù)sat′（s），當(dāng)ε1時，sat′（s）表現(xiàn)出與sat（s）相同的性質(zhì)；不同之處在于，當(dāng)時，sat′（s）＝0，控制器中的飽和函數(shù)項sat′（s）不再發(fā)揮作用，從而不會引起系統(tǒng)的抖動。此時，變結(jié)構(gòu)控制參數(shù)中僅K、C產(chǎn)生控制作用，變結(jié)構(gòu)控制器已退化為PD控制器。為了達到進一步削弱系統(tǒng)抖動的目的，當(dāng)衛(wèi)星長期維持在要求穩(wěn)定姿態(tài)精度時，應(yīng)使得。本文取

5 仿真結(jié)果及分析

基于設(shè)定的仿真參數(shù)，分別對標(biāo)稱慣量、慣量矩陣增加50%以及慣量矩陣減小50%的情況進行仿真分析，仿真結(jié)果如圖4～圖9所示，不同慣量下三軸穩(wěn)定時間如表1所示。

圖4 星體姿態(tài)角、姿態(tài)角速度變化曲線（J0）Fig.4 Curves of attitude angle and attitude angular velocity（J0）

圖5 三軸輸出力矩、角動量、奇異度量值變化曲線（J0）Fig.5 Curves of triaxial output moment，angular momentum and singularity degree（J0）

圖6 星體姿態(tài)角、姿態(tài)角速度變化曲線（1.5J0）Fig.6 Curves of attitude angle and attitude angular velocity（1.5 J 0）

圖7 三軸輸出力矩、角動量、奇異度量值變化曲線（1.5J0）Fig.7 Curves of triaxial output moment，angular momentum and singularity degree（1.5J0）

圖8 星體姿態(tài)角、姿態(tài)角速度變化曲線（0.5J0）Fig.8 Curves of attitude angle and attitude angular velocity（0.5 J 0）

圖9 三軸輸出力矩、角動量、奇異度量值變化曲線（0.5J0）Fig.9 Curves of triaxial output moment，angular momentum and singularity degree（0.5J0）

表1 三軸姿態(tài)穩(wěn)定所需時間對比Table 1 Comparison of the time required for triaxial attitude stabilization

分析以上仿真結(jié)果可知：1）本文設(shè)計的變結(jié)構(gòu)控制器能夠按要求完成繞Euler軸進行的大角度姿態(tài)機動，并達到指標(biāo)要求的指向精度和穩(wěn)定度；2）將衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量增大或減小50%時，衛(wèi)星姿態(tài)角、姿態(tài)角速度變化曲線無明顯差異，三軸穩(wěn)定時間基本一致，驗證了控制系統(tǒng)具有較強的魯棒性；3）姿態(tài)機動過程中，SGCMG系統(tǒng)始終遠離奇異狀態(tài)。

6 在軌驗證

本文提出的姿態(tài)機動方法已成功應(yīng)用于我國某商業(yè)遙感小衛(wèi)星，該衛(wèi)星于2018年成功發(fā)射入軌，控制分系統(tǒng)在軌表現(xiàn)穩(wěn)定，機動能力滿足設(shè)計要求。圖10、圖11分別為進行某一次變軌期間停止偏航角修正以及完成變軌后重新引入偏航角修正的過程中衛(wèi)星的三軸姿態(tài)角及角速度曲線，可以看出，其姿態(tài)機動時間及穩(wěn)定時間都滿足設(shè)計要求，設(shè)計的控制率滿足應(yīng)用要求。目前，衛(wèi)星在軌表現(xiàn)優(yōu)異，為我國商業(yè)遙感衛(wèi)星的發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)。

圖10 偏航角及偏航目標(biāo)角曲線Fig.10 Curves of yaw angle and target drift angle

圖11 變軌后的姿態(tài)角及角速度曲線Fig.11 Curves of attitude angle and attitude angular velocity after orbit maneuver

7 結(jié)論

為實現(xiàn)敏捷衛(wèi)星快速姿態(tài)機動，本文對繞Euler軸進行姿態(tài)機動的角軌跡進行了規(guī)劃，將姿態(tài)機動過程劃分為勻加速、勻速和勻減速三個階段。為完成對規(guī)劃姿態(tài)的跟蹤，本文設(shè)計了基于誤差四元數(shù)和誤差角速度的變結(jié)構(gòu)控制律，并以由6個SGCMG組成的五棱錐構(gòu)型作為姿態(tài)控制系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)。仿真及在軌驗證結(jié)果表明，該控制算法能有效完成姿態(tài)機動控制任務(wù)，且對衛(wèi)星參數(shù)變化不敏感，體現(xiàn)出較強的魯棒性和良好的控制性能，本文的研究成果對敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制器的設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。