張麗 王魯

摘 ?要： 針對(duì)柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題中的約束條件，考慮到低碳排放是制造業(yè)急需解決的問(wèn)題，構(gòu)建了一種基于最大完成時(shí)間和最大能耗的數(shù)學(xué)模型，提出一種改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法。首先，在傳統(tǒng)的NSGA?Ⅱ算法中融入粒子群算法的思想，提高解集的搜索能力;其次，將機(jī)器和工序部分進(jìn)行分層編碼，保證解集的合法性;然后，使用一種改進(jìn)的密度估計(jì)方法計(jì)算平均距離，保證解集的分布性。為了驗(yàn)證算法的有效性，使用mk01～mk07標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)NSGA?Ⅱ算法及改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。結(jié)果顯示，改進(jìn)后算法得到的Pareto最優(yōu)解集在解的多樣性及收斂性方面優(yōu)于傳統(tǒng)多目標(biāo)算法。

關(guān)鍵詞： 柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度; 多目標(biāo)優(yōu)化; 能耗; 分層編碼; 調(diào)和平均數(shù); 融合非支配排序進(jìn)化算法

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.1?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)： 1004?373X（2020）07?0126?05

Multi?objective optimization algorithm for flexible job shop scheduling

based on energy consumption

ZHANG Li， WANG Lu

（College of Information Science & Engineering， Shandong Agricultural University， Taian 271018， China）

Abstract： In view of the constraints in the flexible job shop scheduling problem， an urgent issue of low carbon emission to be solved in the manufacturing industry is considered， a mathematical model based on maximum completion time and maximum energy consumption is constructed， and an improved multi?objective optimization algorithm is proposed. The particle swarm optimization is integrated into the traditional NSGA?Ⅱ algorithm in order to improve the search ability of solution set. The parts of machine and process are subjected to hierarchical coding to ensure the validity of the solution set. An improved density estimation method is used to calculate the average distance to ensure the distribution of the solution set. In order to validate the validity of the algorithm， mk01 ～ mk07 standard test data is used to perform contrast experiments to make comparison between the NSGA?Ⅱ algorithm and the improved multi?objective optimization algorithm. The results show that the Pareto optimal solution set obtained by the improved algorithm is superior to that by the traditional multi?objective algorithm in terms of diversity and convergence of solution.

Keywords： flexible job shop scheduling; multi?objective optimization; energy consumption; hierarchical coding; harmonic average; fusion non?dominated sorting genetic algorithm

0 ?引 ?言

近年來(lái)，車(chē)間調(diào)度問(wèn)題也面臨著環(huán)境和經(jīng)濟(jì)的雙重解決問(wèn)題[1]，因此，通過(guò)提高資源的利用率來(lái)降低能耗的產(chǎn)生對(duì)于節(jié)能減排這一目標(biāo)具有極其重要的意義。在當(dāng)前行業(yè)中設(shè)計(jì)一種降低能耗的模型對(duì)于提高生產(chǎn)效率必不可少[2]。

現(xiàn)實(shí)生活中，單目標(biāo)已經(jīng)無(wú)法滿足人們對(duì)于優(yōu)化得到最優(yōu)解的需要，傳統(tǒng)的多目標(biāo)處理方法是將多目標(biāo)問(wèn)題通過(guò)加權(quán)和的方式轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)問(wèn)題求解，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是操作簡(jiǎn)易，缺點(diǎn)是每次只能獲得一個(gè)解，多目標(biāo)Pareto方法是在求解的過(guò)程中同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)，產(chǎn)生一組Pareto最優(yōu)解，減少了計(jì)算時(shí)間，增加了解的多樣性[3]。

文獻(xiàn)[4]對(duì)車(chē)間調(diào)度的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的遺傳算法來(lái)優(yōu)化工業(yè)機(jī)器在加工不同工件時(shí)產(chǎn)生不同能耗的問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]建立了車(chē)間調(diào)度的完工時(shí)間、加工成本、質(zhì)量以及能耗四個(gè)目標(biāo)的最小化模型，然后提出一種基于廣泛數(shù)值分析的性能評(píng)估方法。文獻(xiàn)[6]建立了一種優(yōu)化能源消耗和使工作流程更靈活有效的調(diào)度模型，并對(duì)金屬加工工廠車(chē)間生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題的案例進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]以能耗和平均時(shí)間為目標(biāo)，建立了基于遺傳算法的車(chē)間作業(yè)調(diào)度問(wèn)題的多目標(biāo)研究方法。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了相應(yīng)的矩陣編碼、交叉算子，改進(jìn)了非劣前沿分級(jí)方法，并提出了基于Pareto等級(jí)的自適應(yīng)變異算子以及精英保留策略。

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化算法在求解柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題時(shí)會(huì)出現(xiàn)解集個(gè)數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值并不如意的情況，因此，改進(jìn)傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)于得到更多的解集個(gè)數(shù)，提高算法的快速收斂性具有重要意義。

1 ?問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)建模

1.1 ?多目標(biāo)優(yōu)化理論

首先給出有關(guān)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一般描述[9]，給定決策向量[X=（x1，x2，…，xn）]，滿足下列約束：

[gi（X）≥0， ? ?i=1，2，…，k] （1）

[hi（X）≥0， ? ?i=1，2，…，k] （2）

設(shè)有[r]個(gè)相互沖突的優(yōu)化目標(biāo)，則優(yōu)化目標(biāo)可以表示為：

[f（X）=（f1（X），f2（X），…，fr（X））] （3）

尋求[X*=（x*1，x*2，…，x*n）]，使[f（X*）]在滿足約束條件（1）和（2）時(shí)達(dá)到最優(yōu)。

多目標(biāo)優(yōu)化中，各個(gè)目標(biāo)的解相互約束，最優(yōu)解未必只有一個(gè)，在進(jìn)行多目標(biāo)問(wèn)題的研究過(guò)程中，不能簡(jiǎn)易地比較各解，通?？汕蟮貌槐绕渌魏谓獠畹慕饧痆10]，相比于傳統(tǒng)的將多目標(biāo)轉(zhuǎn)為單目標(biāo)的方法，增加了解的多樣性，為決策者提供了一個(gè)較佳的選擇空間。

1.2 ?柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題理論

柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題（Flexible Job Shop Schedu?ling Problem，F(xiàn)JSP）是一類(lèi)進(jìn)行任務(wù)配置和順序約束的資源分配問(wèn)題，關(guān)于FJSP的描述[11]如下：

[n]個(gè)工件，集合表示為：[J={J1，J2，…，Ji，…，Jn}]，

[i∈[1，n]];

[m]臺(tái)機(jī)器，集合表示為：[M={M1，M2，…，Mj，…，Mm}]，

[j∈[1，m]]。

每個(gè)工件需要經(jīng)過(guò)若干道工序加工才能完成，每個(gè)工件的工序的數(shù)目可以是不相同的，并且每道工序可以選擇在不同的機(jī)器上進(jìn)行加工[12]。首先需要做出如下約束條件[13?14]：

1） 工件在不同機(jī)器的加工時(shí)間是已知的，且每類(lèi)工件加工工序已經(jīng)預(yù)先確定;

2） 在零時(shí)刻所有的工件都可以被加工;

3） 加工過(guò)程中，任一道工序一旦加工開(kāi)始則不允許中途中斷;

4） 同一臺(tái)機(jī)器只能在同一時(shí)刻加工一道工序;

5） 每道工序必須在其前一道工序完成才能進(jìn)行后續(xù)工序。

1.3 ?數(shù)學(xué)建模

1） 最小化最大完成時(shí)間

最大完成時(shí)間是柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度過(guò)程中多個(gè)工件同時(shí)進(jìn)行加工，所有工件加工結(jié)束需要的時(shí)間。時(shí)間越短，表明實(shí)際生產(chǎn)中的效率越高，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

[f（1）=min Cmax=min{Cii∈n}] （4）

式中：[Cmax]是指最大完成時(shí)間;[n]表示工件的總數(shù)量;[Ci]表示工件[i]的完成時(shí)間，機(jī)器[i]總的時(shí)間等于加工時(shí)間[runtimei]和待機(jī)時(shí)間[idlei]的總和。

[Ci=runtimei+idlei] （5）

[f（1）=min Ci] （6）

式（6）表示最小化最大完成時(shí)間。

2） 最小化最大能耗

機(jī)器除了在加工過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生能耗外，在待機(jī)時(shí)也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的能耗，隨著時(shí)間的增加，產(chǎn)生的能耗也會(huì)增加，因此，定義關(guān)于能耗的數(shù)學(xué)公式為：

[Qi=PWi×runtimei+PIi×idlei] （7）

式中：[PWi]為機(jī)器[i]的加工功率;runtime[i]為機(jī)器[i]的運(yùn)行時(shí)間;[PIi]為機(jī)器[i]的待機(jī)功率;[idlei]為機(jī)器[i]的待機(jī)時(shí)間;[Qi]為機(jī)器[i]的能耗。

[Q=i=1mQi] （8）

式中：[Qi]為機(jī)器[i]的加工功率加上待機(jī)功率的總和;[Q]為[m]臺(tái)機(jī)器的總能耗。

[f（2）=min Q] （9）

式（9）將最大能耗的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為最小值，能耗與完成時(shí)間有關(guān)，時(shí)間越長(zhǎng)能耗也就越大。

各機(jī)器功率參數(shù)設(shè)置如表1所示。

2 ?改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法流程

NSGA?Ⅱ是目前應(yīng)用比較廣泛的多目標(biāo)進(jìn)化算法之一，其在求解多目標(biāo)問(wèn)題時(shí)應(yīng)用也比較多，該算法具有運(yùn)行速度快、解集的收斂性好等優(yōu)點(diǎn)。改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法主要是基于融合非支配排序遺傳算法（Fusion Non?dominated Sorting Genetic Algorithms，F(xiàn)NSGA）對(duì)搜索空間中的個(gè)體進(jìn)行快速非支配排序，算法具體操作流程如下。

2.1 ?編解碼方式

FJSP需要解決兩個(gè)子問(wèn)題，即機(jī)器的選擇問(wèn)題和工序的排序問(wèn)題。為了處理這兩個(gè)子問(wèn)題，這里采用分層編碼的方式，采用兩個(gè)[L]維（[L]為所有工件的總工序數(shù)）向量分別來(lái)表示工序和機(jī)器，其中，第一行代表工序的排序，向量中的每個(gè)分量為不大于工件總數(shù)的整數(shù)，第二行代表機(jī)器的選擇順序，向量中的每個(gè)分量為不大于機(jī)器總數(shù)的整數(shù)。

染色體的編碼方式如圖1所示，這是一個(gè)關(guān)于3個(gè)工件3臺(tái)機(jī)器柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度的問(wèn)題。第一行是關(guān)于工序的排序問(wèn)題，其中“1”表示工件1，“2”表示工件2;第一行第一次出現(xiàn)的“1”表示工件1的第一道工序，第二次出現(xiàn)的“1”表示工件1的第二道工序;第二行是關(guān)于機(jī)器的選擇問(wèn)題，其中，第一個(gè)元素“2”表示工件1的第一道工序在機(jī)器2上加工，第二個(gè)元素“1”表示工件3的第一道工序在機(jī)器1上加工。

解碼就是將粒子轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的時(shí)間矩陣、能耗矩陣、機(jī)器矩陣和對(duì)應(yīng)的機(jī)器加工向量，根據(jù)以上轉(zhuǎn)換產(chǎn)生相應(yīng)的調(diào)度方案，從而根據(jù)調(diào)度方案生成對(duì)應(yīng)的調(diào)度甘特圖。

2.2 ?初始化

對(duì)算法中涉及到的參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置。根據(jù)參數(shù)設(shè)置生成粒子群初始位置，求解初始粒子群的適應(yīng)度，對(duì)初始粒子群進(jìn)行非支配排序，初始化局部最優(yōu)粒子群解集和全局最優(yōu)粒子，保存全局最優(yōu)粒子。

2.3 ?選擇操作

適應(yīng)度函數(shù)的選取對(duì)問(wèn)題的求解非常重要，使用層次分析方法，其思想如圖2所示。

具體是重新按工序排好序，根據(jù)機(jī)器的開(kāi)始加工時(shí)間和結(jié)束時(shí)間計(jì)算機(jī)器總的加工時(shí)間，這里用到的目標(biāo)函數(shù)為1.3節(jié)中的最大完成時(shí)間和最大能耗兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，將對(duì)應(yīng)的粒子[xi]逐個(gè)解碼得到機(jī)器總的時(shí)間向量[C]，運(yùn)行時(shí)間向量runtime，讀取出每個(gè)機(jī)器的加工功率[PWi]和待機(jī)功率[PIi]。

第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)最大完工時(shí)間為[f1（xi）=max（Ci）]，機(jī)器[i]的空閑時(shí)間向量[idlei=Ci-runtimei];

第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)最大能耗為：[f2（xi）=max（runtimei?PWi+idlei?PIi）]。

粒子[xi]所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)[f（xi）=[f1（xi） ? ? f2（xi）]]，分別計(jì)算各目標(biāo)對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值。

2.4 ?交叉操作

選擇操作是將具有較高適應(yīng)度的一半粒子遺傳給下一代，同時(shí)用適應(yīng)度好的前一半粒子的位置替代適應(yīng)度較低的后一半粒子的相應(yīng)矢量。在交叉操作中，后一半粒子作為待交叉因子，兩兩進(jìn)行結(jié)合配對(duì)，將產(chǎn)生的子代和父代作比較，選擇適應(yīng)度高的一半再進(jìn)入下一代，更新后代粒子的位置。

[y1=2?α*x1+（1-2?α）*x2] （10）

[y2=2?α*x2+（1-2?α）*x1] （11）

按照式（10）和式（11）進(jìn)行交叉操作，其中，[y1]，[y2]是產(chǎn)生的父代粒子;[x1]，[x2]是子代粒子;[α]是與[x1]維數(shù)相同的隨機(jī)數(shù)向量，向量中的每個(gè)值[α∈（0，12）]。按照此種方式進(jìn)行交叉的優(yōu)點(diǎn)是繼承了父代的優(yōu)良基因。

對(duì)新產(chǎn)生粒子的位置進(jìn)行判斷，若超過(guò)編碼范圍，則將其重新隨機(jī)分配在編碼范圍內(nèi)，計(jì)算交叉后粒子的適應(yīng)度值。

2.5 ?變異操作

對(duì)每個(gè)粒子產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)[r]，[r～N（0，1）]，通過(guò)將該隨機(jī)數(shù)和預(yù)先設(shè)定的變異概率相比較來(lái)判斷是否進(jìn)行變異操作。如果變異概率比這個(gè)隨機(jī)數(shù)大，則粒子重新進(jìn)行搜索，其最優(yōu)位置保持不變，這主要是為了增加遺傳算法的全局搜索能力。

結(jié)合文獻(xiàn)[3]中的變異操作，使用一種停滯阻止策略，通過(guò)對(duì)全局最優(yōu)粒子進(jìn)行變異操作來(lái)產(chǎn)生更好的全局最優(yōu)粒子，減少遺傳算法在迭代過(guò)程中陷入早熟的現(xiàn)象，防止出現(xiàn)局部最優(yōu)。

對(duì)新產(chǎn)生粒子的位置進(jìn)行檢查，若超出編碼范圍，則將其重新隨機(jī)分配在編碼范圍內(nèi)，計(jì)算變異后粒子的適應(yīng)度值。

2.6 ?多目標(biāo)優(yōu)化中擁擠密度估計(jì)方法改進(jìn)

多目標(biāo)優(yōu)化算法大多采用密度估計(jì)維護(hù)進(jìn)化群體的多樣性，為每個(gè)個(gè)體估計(jì)鄰域密度值，密度值越大說(shuō)明個(gè)體周?chē)綋頂D，分布性能越差。通過(guò)在進(jìn)化群體中保留鄰域密度較小的個(gè)體，刪除鄰域密度較大的個(gè)體，保證解集的分布性。

在進(jìn)行密度估計(jì)時(shí)，個(gè)體密度估計(jì)僅考慮周?chē)徑鼈€(gè)體的影響，鄰域個(gè)體數(shù)目為2或[k]（[k]<種群數(shù)量），使用的距離為歐氏距離，此計(jì)算公式的缺點(diǎn)是只考慮了同一Pareto非支配等級(jí)個(gè)體。

本文采用一種改進(jìn)的密度估計(jì)方法，即Harmonic平均距離（調(diào)和平均數(shù)），主要用來(lái)解決在無(wú)法掌握總體單位數(shù)的情況下，只有變量值，需要得到平均數(shù)的情況下使用的一種數(shù)據(jù)方法。其思想為：針對(duì)種群的第[i]個(gè)個(gè)體，假設(shè)目標(biāo)空間中與其距離最近的[k]個(gè)個(gè)體的歐氏距離為[di，1，di，2，…，di，k]，則個(gè)體[i]的Harmonic平均距離[di]如式（12）所示：

[di=kj=1k1di，j=k1di，1+1di，2+...+1di，k] （12）

為了避免鄰域個(gè)體數(shù)目和Pareto非支配等級(jí)的局限，式（12）中的參數(shù)[i]的取值范圍為種群數(shù)目為-1，即排除自身個(gè)體的影響。

3 ?實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

mk01～mk07是7組包含不同工件數(shù)、不同機(jī)器數(shù)、不同工序數(shù)的部分柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題測(cè)試數(shù)據(jù)[15]，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的Pareto解集個(gè)數(shù)也不盡相同。FNSGA在各個(gè)測(cè)試集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果如表2所示。表2中，Pareto解集這一列中數(shù)據(jù)（50，383.5），前者表示最大完成時(shí)間為50，后者表示最大能耗為383.5，依次類(lèi)推。

以下以mk06測(cè)試數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，mk06是一組包含10個(gè)工件，10臺(tái)機(jī)器，150道工序的柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題。

將FNSGA與NSGA?Ⅱ進(jìn)行單獨(dú)實(shí)驗(yàn)，得到的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。NSGA?Ⅱ得到的第一組數(shù)據(jù)（3，60，387），3表示Pareto解集個(gè)數(shù)，60表示最大完成時(shí)間最大值，387表示最大能耗最大值，依次類(lèi)推。結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法最大完成時(shí)間和最大能耗比改進(jìn)前少，得到的Pareto解集個(gè)數(shù)多于或等于未改進(jìn)前的。算法獨(dú)立運(yùn)行30次，最優(yōu)運(yùn)行時(shí)間對(duì)比如表4所示，表中比較了傳統(tǒng)的NSGA?Ⅱ只使用GA，PSO以及改進(jìn)算法的最優(yōu)運(yùn)行時(shí)間。

FNSGA和NSGA?Ⅱ算法使用mk06測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得到的Pareto解集的對(duì)比實(shí)驗(yàn)圖如圖3所示。圖3中，F(xiàn)NSGA得到的Pareto解集共有6個(gè)，NSGA?Ⅱ得到的Pareto解集共4個(gè)。通過(guò)對(duì)比觀察可以看出，改進(jìn)后的算法解集個(gè)數(shù)多于未改進(jìn)的，同時(shí)最大能耗也比未改進(jìn)的要低，收斂性也較好。

不同的非支配解對(duì)應(yīng)不同的調(diào)度方案，因此，得到的最佳調(diào)度甘特圖也是不相同的。FNSGA算法使用mk06測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到的其中一個(gè)最佳調(diào)度方案如圖4所示，圖中橫坐標(biāo)表示完成時(shí)間，縱坐標(biāo)表示10臺(tái)機(jī)器，從圖4中可以看出不同工序在不同機(jī)器上的加工情況，同一顏色代表同一工件，O1，1 表示工件1的第一道工序，依次類(lèi)推。圖中[Cmax]為最大完成時(shí)間，最大完成時(shí)間為132。

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度和多目標(biāo)優(yōu)化的特點(diǎn)，建立了基于考慮最大完成時(shí)間和最大能耗的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)最小化最大完成時(shí)間和最小化最大能耗，在多種約束條件下，使用多目標(biāo)優(yōu)化算法，將改進(jìn)后的算法應(yīng)用于柔性作業(yè)車(chē)間調(diào)度中，通過(guò)在Matlab平臺(tái)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到最優(yōu)調(diào)度方案和Pareto解集，為決策者的決策提供了多種選擇，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)后算法的有效性。

注：本文通訊作者為王魯。

參考文獻(xiàn)

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