王 恒，徐方雨

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

為了充分利用頻譜資源，目前現(xiàn)代通信系統(tǒng)廣泛采用非恒定包絡(luò)的調(diào)制方式[1]，而該調(diào)制方式對(duì)射頻功放的性能提出了更高的要求[2-3]。在實(shí)際應(yīng)用中，一方面，為了提高功放的效率，往往會(huì)使其工作在臨近飽和區(qū)，此時(shí)功放的輸入輸出不是線性關(guān)系；另一方面，由于信號(hào)帶寬增大，功放將會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)記憶效應(yīng)。因此，功放的非線性記憶效應(yīng)會(huì)影響信息的正確傳輸，導(dǎo)致帶內(nèi)失真和帶外頻譜擴(kuò)展[4]。

在現(xiàn)有線性化技術(shù)中，數(shù)字預(yù)失真技術(shù)使用最廣泛[5-6]。目前常用的數(shù)字預(yù)失真模型有：Volterra級(jí)數(shù)、記憶多項(xiàng)式(Memory Polynomial，MP)、廣義記憶多項(xiàng)式(Genneral Memory Polynomial，GMP)、分?jǐn)?shù)階記憶多項(xiàng)式(Fractional Order Memory Polynomial，F(xiàn)MP)和傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型等。Volterra級(jí)數(shù)[7]有很好的建模能力，但運(yùn)算量比較大；MP模型是Volterra級(jí)數(shù)的簡化形式[7]，只包含Volterra級(jí)數(shù)矩陣主對(duì)角線上的參數(shù)，簡化了模型復(fù)雜度，但建模誤差較大；GMP模型[8]雖然考慮了功放的記憶效應(yīng)，但由于交叉的引入導(dǎo)致了運(yùn)算量過大；FMP模型[9]雖說在建模能力上有了提高，但對(duì)于強(qiáng)動(dòng)態(tài)非線性的建模能力仍然有限；傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型引入了反饋項(xiàng)，但不能表征高階非線性特性。針對(duì)現(xiàn)有研究中存在的問題，本文提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型。

1 改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型描述

最常用的數(shù)字預(yù)失真模型大多數(shù)為MP模型，因?yàn)樵擃惸Ｐ湍軌蚝芎玫乇碚魃漕l功率放大器的非線性記憶效應(yīng)，許多文獻(xiàn)提出的模型都是基于MP模型。其中，F(xiàn)MP模型也是在常用MP模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，由于功放偶數(shù)階次項(xiàng)帶來的非線性失真不明顯，所以可將偶數(shù)階次改為分?jǐn)?shù)階次來提高對(duì)非線性失真的抑制能力，但對(duì)功放的強(qiáng)記憶效應(yīng)并沒有很大的改善。傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型同樣也是在MP模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，與MP模型不同的是，它將過去時(shí)刻的輸出項(xiàng)和輸入—輸出交叉項(xiàng)引入一階線性輸入序列，是一種帶有反饋結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)模型，由于雙線性多項(xiàng)式模型只能通過交叉項(xiàng)來表征系統(tǒng)的非線性，所以對(duì)高階非線性特性的建模不夠精確。

1.1 FMP模型

FMP模型的表達(dá)式為

式中：x(n)和y(n)分別為該模型的輸入和輸出信號(hào)；k為該模型的非線性階數(shù)，k∈[0,K],K為k的最大整數(shù)值；q為該模型的記憶深度，q∈[0，Q]，Q為q的最大整數(shù)值；akq為該模型的系數(shù)；mod(k,2)為k對(duì)2的取模運(yùn)算。

1.2 傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型

傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式[10]模型的表達(dá)式為

式中：cj為該模型輸出項(xiàng)的系數(shù)；ai為該模型輸入項(xiàng)的系數(shù)；bij為該模型反饋交叉項(xiàng)的系數(shù)；i為該模型輸入項(xiàng)的記憶深度，i∈[0，Q]；j為該模型輸出項(xiàng)的記憶深度，j∈[0，K]；N1和N2為該模型反饋交叉項(xiàng)的記憶深度。表達(dá)式中第1和第3部分均表示反饋項(xiàng)，第2部分表示輸入項(xiàng)。

1.3 改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型

FMP模型雖然在建模能力上有一定的提高，但對(duì)功放的強(qiáng)記憶效應(yīng)不能很好的建模；傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型僅僅是一個(gè)一維模型，其只有純粹的輸入輸出數(shù)據(jù)，其非線性特點(diǎn)只能通過交叉項(xiàng)來進(jìn)行表征，對(duì)系統(tǒng)的高階非線性建模精確度不高。本文采用傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型的反饋解決問題思路，結(jié)合FMP模型的優(yōu)點(diǎn)，提出一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型，該模型兼顧了以上兩種模型的優(yōu)點(diǎn)，顯著降低了模型系數(shù)數(shù)量，提高了建模的精確度，同時(shí)也能更好地表征功放的非線性特性和強(qiáng)記憶效應(yīng)特性。

改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型的表達(dá)式為

式中：akxqx為該模型輸入項(xiàng)系數(shù)；akzqz為該模型輸出項(xiàng)系數(shù)；kz和qz分別為該模型輸出項(xiàng)的非線性階數(shù)和記憶深度，且kz∈[1，Kz]，qz∈[1，Qz]，Kx和Qz分別為kz和qz的最大整數(shù)值；kx和qx分別為該模型輸入項(xiàng)的非線性階數(shù)和記憶深度，且kx∈[0，Kx]，qx∈[0，Qx]，Kx和Qx分別為kx和qx的最大整數(shù)值。

2 系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)及迭代算法

2.1 系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)

圖1 系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)示意圖

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，由于并不知道功放具體的行為模型，只是假設(shè)在結(jié)構(gòu)上存在一個(gè)與預(yù)失真器完全一樣的后預(yù)失真器，所以通過分析直接學(xué)習(xí)和間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)各自的特點(diǎn)，本文采用間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)模型參數(shù)辨識(shí)。

2.2 系統(tǒng)辨識(shí)算法

用于系統(tǒng)自適應(yīng)辨識(shí)的算法有很多種，但是最常用的有最小二乘 (Least Square，LS)、最小均方 (Least Mean Square，LMS)和遞推最小二乘(Recursive Least Square，RLS)算法。

(1) LS算法

LS算法是一種實(shí)用算法，它是通過求實(shí)際值與模型計(jì)算值之差的平方和達(dá)到最小值作為最小二乘法的解[13]。

(2) LMS算法

LMS算法以計(jì)算復(fù)雜度較低、性能較穩(wěn)定和硬件實(shí)現(xiàn)相對(duì)較簡單等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于各種自適應(yīng)辨識(shí)系統(tǒng)算法中[14]。LMS算法的思想主要是利用隨機(jī)梯度下降法來使代價(jià)函數(shù)最小化。

(3) RLS算法

通過與LS及LMS算法對(duì)比可知，LS算法系統(tǒng)辨識(shí)算法是最簡單的，但在算法求解的過程中需要進(jìn)行矩陣求逆，而矩陣求逆過程比較復(fù)雜，需要消耗大量的時(shí)間且求解相當(dāng)困難；LMS算法雖然計(jì)算量較小，但收斂速度較慢，且會(huì)受到收斂步長的限制導(dǎo)致收斂精度不高；而RLS算法雖然迭代時(shí)的計(jì)算量加大，但無論在收斂速度還是收斂精度上效果都比較好，所以綜合考慮，本文將RLS算法辨識(shí)用于改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性模型的仿真驗(yàn)證中，該算法具體的推導(dǎo)過程如下：

RLS算法是通過n-1時(shí)刻的數(shù)據(jù)去估計(jì)n時(shí)刻的數(shù)據(jù)并經(jīng)過多次迭代得到的，有關(guān)RLS算法詳細(xì)的推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[15]，最終的迭代過程和公式如下：

3 仿真分析與驗(yàn)證

3.1 模型評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)模型精度的標(biāo)準(zhǔn)有很多種，本文使用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)來衡量所建模型的精度。NMSE的表達(dá)式[16]為

式中：NMSE單位為dB，其能很好地反映模型與實(shí)際模塊的接近程度，其值越小越好；y(n)為實(shí)際測(cè)試得到的模型輸出信號(hào)；ymodel(n)為模型計(jì)算的輸出信號(hào)；N為樣本的數(shù)量。

3.2 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證以上所提方案的合理性，本文通過Matlab 2018a軟件產(chǎn)生大量的正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證分析?？紤]到數(shù)據(jù)量過大，本文截取了其中4 096組數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析，將所截取的帶寬為1.85 MHz的信號(hào)作為系統(tǒng)輸入信號(hào)，采用間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)并結(jié)合RLS算法實(shí)現(xiàn)預(yù)失真參數(shù)提取。選取輸入輸出信號(hào)的幅度-幅度 (Amplitude Modulation to Amplitude Modulation Effects, AM-AM)曲線、幅度-相位(Amplitude Modulation to Phase Modulation Effects, AM-PM)曲線、NMSE、鄰道功率泄露比(Adjacent Channel Power Ratio，ACPR)等指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證分析。

(1) AM-AM、AM-PM曲線

AM-AM和AM-PM曲線是用來反映功放非線性記憶效應(yīng)特性的表現(xiàn)形式，對(duì)于理想的線性系統(tǒng)來說，其AM-AM曲線發(fā)散程度比較小，近似為一條比較理想的直線，AM-PM曲線同樣也是一條近似為零的直線[17]。

系統(tǒng)在未進(jìn)行預(yù)失真處理的情況下，功放輸出的AM-AM與AM-PM曲線如圖2所示。

圖2 預(yù)失真處理前的曲線圖

由圖2(a)可知，預(yù)失真處理前功放輸出的AM-AM曲線是一條較發(fā)散的曲線，且非線性關(guān)系，其輸出信號(hào)的幅度隨著輸入信號(hào)幅度的增加將會(huì)達(dá)到飽和狀態(tài)，即輸出信號(hào)幅度的增加速度越來越慢。在實(shí)際工程應(yīng)用中，為了提高功放的效率，一般會(huì)使功放工作在臨近飽和區(qū)。

由圖2(b)可知，預(yù)失真處理前功放輸出的AM-PM曲線是一條近似為零的曲線，功放在小信號(hào)輸入的情況下，輸入信號(hào)受之前輸入信號(hào)的影響較大，所以曲線較發(fā)散，這也更進(jìn)一步表明了功放的記憶效應(yīng)較明顯；而在大信號(hào)輸入的情況下，輸入信號(hào)受之前輸入信號(hào)的影響較小，曲線的發(fā)散程度也較小。

經(jīng)過預(yù)失真處理之后功放輸出的AM-AM與AM-PM曲線如圖3所示。

圖3 預(yù)失真處理后的曲線圖

由圖可知，經(jīng)預(yù)失真處理后功放輸出的AM-AM和AM-PM曲線發(fā)散程度較小，近似為一條理想的直線。所以，經(jīng)預(yù)失真處理后，功放的非線性記憶效應(yīng)得到了很好的校正，使得系統(tǒng)更接近于理想的線性系統(tǒng)。

(2) NMSE參數(shù)

使用本文提到的數(shù)據(jù)結(jié)合改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型，并使用間接學(xué)習(xí)系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用RLS自適應(yīng)辨識(shí)算法進(jìn)行建模分析。表1將本文提出的改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型分別與MP、GMP、FMP以及傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型在模型的參數(shù)設(shè)置、NMSE值和模型系數(shù)個(gè)數(shù)這3個(gè)方面進(jìn)行比較，來驗(yàn)證建模的效果。

表1 不同模型性能比較

由表可知，改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型和其他幾種多項(xiàng)式模型相比，NMSE值均有所提高，系數(shù)個(gè)數(shù)均比這幾種多項(xiàng)式模型少，和傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型相比NMSE提高了2.6 dB，系數(shù)減少了34.3%?？梢姡疚奶岢龅哪Ｐ蜔o論是在建模的精確度上還是在計(jì)算復(fù)雜度方面均有一定的改善。

實(shí)現(xiàn)功放線性化效果的目的之一是減小信號(hào)的帶外頻譜擴(kuò)展，如果帶外頻譜擴(kuò)展比較嚴(yán)重則會(huì)使信道內(nèi)的信號(hào)功率泄漏到相鄰信道，影響信號(hào)的傳輸效果。而衡量頻譜擴(kuò)展能力的指標(biāo)為ACPR[18]，圖4和5展示了原始信號(hào)、功放輸出信號(hào)以及預(yù)失真處理后輸出信號(hào)的功率譜密度圖。

圖4 預(yù)失真處理前后功率譜密度圖

圖5 預(yù)失真處理前后功率譜密度局部放大圖

由圖可知，系統(tǒng)未經(jīng)預(yù)失真處理時(shí)對(duì)帶外頻譜擴(kuò)展的抑制效果非常差，但在經(jīng)過預(yù)失真處理后，功率譜更接近于輸入信號(hào)的功率譜特性，明顯比未經(jīng)預(yù)失真處理時(shí)的效果好。所以，經(jīng)預(yù)失真處理后，對(duì)功放的帶外頻譜擴(kuò)展的抑制效果有了顯著改善。

(3) ACPR

ACPR表征了系統(tǒng)的帶外頻譜擴(kuò)展能力。表2列出了幾種不同模型在偏離載波上下2.35 MHz時(shí)的ACPR值。

表2 不同模型在偏離載波上下

由表可知，改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型和其他幾種多項(xiàng)式模型相比有較好的抑制帶外頻譜擴(kuò)展的效果，其ACPR值均有一定的改善，與傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型相比，ACPR值改善了約5 dB。

4 結(jié)束語

本文介紹了幾種常用的基于MP的預(yù)失真器模型，在FMP和傳統(tǒng)的雙線性多項(xiàng)式模型的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型，該模型采用了間接學(xué)習(xí)系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)和RLS自適應(yīng)辨識(shí)算法提取預(yù)失真器的模型系數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的預(yù)失真模型相比，改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階雙線性多項(xiàng)式模型減少了模型系數(shù)，降低了計(jì)算復(fù)雜度，能夠更有效地改善功放的非線性記憶效應(yīng)，使功放輸出達(dá)到理想的線性化效果，具備良好的實(shí)際工程應(yīng)用前景。