王英聰，肖人彬

(1.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450002 2.華中科技大學(xué) 人工智能與自動化學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

級聯(lián)失效現(xiàn)象普遍存在于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1-2]，對級聯(lián)失效的研究主要集中在基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，如電網(wǎng)[3-4]、互聯(lián)網(wǎng)[5-6]和交通網(wǎng)[7-8]。如果電網(wǎng)的一條線路損壞，則其承載的電量會自動轉(zhuǎn)移到鄰近線路上；如果在互聯(lián)網(wǎng)上，則數(shù)據(jù)包會繞過失效路由器重新進行路由；如果在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，則車輛會避開擁堵的路口。在這些網(wǎng)絡(luò)中，后續(xù)節(jié)點(邊)失效的原因均為節(jié)點(邊)負載超出其容量，由此產(chǎn)生一些過載失效模型來研究基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效現(xiàn)象[9-11]。

供應(yīng)鏈是由供應(yīng)商、制造商、分銷商和零售商共同組成，從原材料到成品并滿足最終用戶需求的一個功能鏈狀結(jié)構(gòu)模式，其不但是一條連接供應(yīng)商到用戶的物流鏈、信息鏈、資金鏈，而且是一條增值鏈。隨著經(jīng)濟全球化和外包的盛行，供應(yīng)鏈逐漸由鏈式結(jié)構(gòu)演化為網(wǎng)式結(jié)構(gòu)，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論也被廣泛應(yīng)用于供應(yīng)鏈管理[12]。從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)角度出發(fā)，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中單個節(jié)點企業(yè)發(fā)生失效可能觸發(fā)整個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)崩潰[13-15],造成巨大的經(jīng)濟損失。

近年來，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效現(xiàn)象越發(fā)受到研究者的廣泛關(guān)注。閆妍等[16]針對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效問題，使用節(jié)點重要性評價方法分析了其特點；Zeng等[17]提出一種動態(tài)網(wǎng)絡(luò)負載熵方法，探討了集群供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)在級聯(lián)失效傳播過程中的脆弱性；Geng等[18]從級聯(lián)失效出發(fā)，研究了集群供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的自組織彈性恢復(fù)特性；Tang等[19-20]以無向信息層網(wǎng)絡(luò)和有向物理層網(wǎng)絡(luò)組成的關(guān)聯(lián)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為對象，分析了關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)和層間的級聯(lián)失效演化機理。

在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，企業(yè)會因產(chǎn)品需求下降或原料供應(yīng)不足而失效，屬于欠載失效。上述文獻直接采用基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中的過載級聯(lián)失效模型研究供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的欠載級聯(lián)失效現(xiàn)象存在一定的局限性，具體為：①過載級聯(lián)失效模型中的節(jié)點容量只有上限(負載超過上限時節(jié)點失效)，而供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中企業(yè)的容量存在上限和下限(負載達到上限時企業(yè)滿負荷運作，負載低于下限時企業(yè)失效)；②過載級聯(lián)失效模型中會將負載優(yōu)先分配給具有更大容量的節(jié)點，而供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的負載是按照企業(yè)間的業(yè)務(wù)關(guān)系強度進行分配；③過載級聯(lián)失效模型中采用過載函數(shù)簡單地描述保護措施(過載函數(shù)值越大表示保護措施越強)，而供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的企業(yè)一般通過加強已有的業(yè)務(wù)關(guān)系并建立新的業(yè)務(wù)關(guān)系等措施進行保護。

在之前的研究中[21]，筆者借鑒蟻群社會彈性并結(jié)合供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的欠載失效特性，重點研究了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)面向級聯(lián)失效的彈性恢復(fù)策略。為了更準確地刻畫供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)動力學(xué)行為，本文從企業(yè)欠載失效、企業(yè)負載容量存在上下限和負載按照企業(yè)間的業(yè)務(wù)關(guān)系強度重分配3方面出發(fā)，建立了相應(yīng)的欠載級聯(lián)失效模型，該模型可為控制和防范供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效現(xiàn)象提供參考。

1 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效現(xiàn)象

現(xiàn)實世界的網(wǎng)絡(luò)大都承載一定形式的物質(zhì)、能量、信息或數(shù)據(jù)，如電網(wǎng)中的電流、互聯(lián)網(wǎng)上的數(shù)據(jù)流和交通網(wǎng)中的車輛流，這些“流”通常稱為網(wǎng)絡(luò)負載。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某個節(jié)點發(fā)生失效時，該節(jié)點承擔(dān)的負載會通過節(jié)點間的耦合關(guān)系分配給其鄰居節(jié)點。然而，負載重新分配后可能使一些鄰居節(jié)點的負載超出其容量范圍而引發(fā)新的失效，使節(jié)點失效在整個網(wǎng)絡(luò)上傳播開來，這就是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中級聯(lián)失效的觸發(fā)原理。

隨著經(jīng)濟技術(shù)的發(fā)展，社會分工日益精細，供應(yīng)鏈呈現(xiàn)出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征[22]，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效時有發(fā)生。例如，2000年3月，飛利浦公司位于美國新墨西哥州的芯片工廠發(fā)生火災(zāi)，導(dǎo)致愛立信公司虧損近4億美元，并最終退出手機市場[23]；2001年，美國政府在“911”恐怖襲擊后迅速關(guān)閉了邊境線，福特公司未能按時從加拿大供應(yīng)商處獲得足夠的零部件而被迫關(guān)閉了多個生產(chǎn)工廠[24]；2007年7月，發(fā)生在日本中部的6.8級地震嚴重摧毀了理化研究所的設(shè)備，使得豐田公司不得不關(guān)閉其在日本的12個總裝工廠[25]。

供應(yīng)鏈是一個由供應(yīng)商、制造商、分銷商和零售商共同組成的、從原材料到成品并最終滿足客戶需求的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(如圖1)。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點表示企業(yè)，邊表示企業(yè)間的業(yè)務(wù)關(guān)系，邊上傳遞著物流、資金流和信息流等信息(如圖2)。一般而言，物流指貨物的流動，方向為從上游到下游；資金流指資金的周轉(zhuǎn)，方向為從下游到上游；信息流指信息的流通，方向為從上游(下游)到下游(上游)。供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的運作就是物流、資金流和信息流相互作用的結(jié)果，這3種“流”均可看作為供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的負載。

供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的目標是為最終用戶提供產(chǎn)品，具體到每一個企業(yè)，就是完成原材料、零部件、半成品、成品等從上游往下游的傳遞；資金流和信息流的流通是為了促進貨物的流動；而上述典型的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效現(xiàn)象是由物流的中斷造成的?；谶@些考慮，本文將物流作為供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的負載，并將供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)抽象為一個從上游指向下游的有向網(wǎng)絡(luò)。

2 基于欠載失效的級聯(lián)失效建模

物流視角下供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效過程為：上游企業(yè)因產(chǎn)品需求下降而失效，下游企業(yè)因材料供應(yīng)不足而失效。產(chǎn)品需求下降和材料供應(yīng)不足均可看作為負載減小，即欠載觸發(fā)了級聯(lián)失效，這與大多數(shù)基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中的過載級聯(lián)失效不同，欠載失效模型能夠更好地刻畫供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)動力學(xué)行為。下面從初始負載、節(jié)點容量、負載重分配和度量指標4方面出發(fā)，對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效進行建模。

在建模過程中，將供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)描述為一個具有N個節(jié)點(企業(yè))和M條邊(業(yè)務(wù)關(guān)系)的有向圖G，圖G用一個N×N的鄰接矩陣{aij}表示。若從節(jié)點i到節(jié)點j存在一條有向邊連接，則aij=1；否則，aij=0。節(jié)點i的度定義為Ki=Ki(in)+Ki(out)，Ki(in)為節(jié)點入度，Ki(out)為節(jié)點出度。Γi(in)表示節(jié)點i的上游鄰居節(jié)點集合，Γi(out)表示節(jié)點i的下游鄰居節(jié)點集合。

2.1 初始負載

在級聯(lián)失效模型中，初始負載的分配基于節(jié)點重要性，一般有基于度分配[26-27]和基于介數(shù)分配[9,28]兩種方法。度數(shù)是一種對節(jié)點重要性的局部度量方法，其計算比較簡單，但是容易忽略實際應(yīng)用中的一些有效信息。介數(shù)是一種對節(jié)點重要度的全局度量方法，其計算比較復(fù)雜，尤其對一些大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)。為了降低根據(jù)介數(shù)定義負載的復(fù)雜性，并改進根據(jù)度數(shù)定義負載的實用性，文獻[29]根據(jù)節(jié)點的度數(shù)及其相鄰節(jié)點的度數(shù)定義節(jié)點的初始負載。同時，在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，一個企業(yè)的有效運營對其他企業(yè)的依賴性越來越強，尤其是其上下游企業(yè)，它們之間通過業(yè)務(wù)關(guān)系緊密相連。在這樣的網(wǎng)絡(luò)中，一個節(jié)點的負載自然與其鄰居節(jié)點的負載緊密相關(guān)。文獻[30]進一步改進了文獻[29]中初始負載的定義方式，本文采用該方法將節(jié)點i的初始負載Li定義為

(1)

式中：Kr為i的鄰居節(jié)點r的度數(shù)；θ為一個可調(diào)整的參數(shù)，用來控制節(jié)點負載的強度。

2.2 節(jié)點容量

在現(xiàn)實世界網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點處理負載的能力(即容量)通常受到成本等因素的限制，例如電網(wǎng)中的變電站有最大負荷，交通網(wǎng)絡(luò)中路口的通行能力不可能無限大。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中也是如此，一個企業(yè)的供應(yīng)能力、制造能力或者銷售能力通常受到企業(yè)規(guī)模的限制，這些網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的負載都存在一個上限。在電網(wǎng)或交通網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點的負載超過上限會導(dǎo)致節(jié)點性能下降，甚至失效；在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中卻不一樣，企業(yè)滿負荷運作時的負載為達到且不會超過上限。在級聯(lián)失效模型中，通常假設(shè)節(jié)點的負載容量上限與其初始負載成正比[31-32]，本文以同樣的方式將節(jié)點i的負載容量上限定義為

Ci(max)=δ·Li。

(2)

式中δ為可調(diào)整的容量上限參數(shù)，取值范圍為δ≥1。

供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的目標是為最終用戶提供產(chǎn)品，具體到每一個環(huán)節(jié)的企業(yè)，就是以營利為最終目的。一個企業(yè)的產(chǎn)品需求或者原料供應(yīng)如果低于一定水平，則不能正常運營，甚至?xí)驘o法營利而倒閉。因此，維持企業(yè)正常運作的負載必須高于某一界限，過低(即欠載)將會導(dǎo)致企業(yè)失效，本文將該界限稱為企業(yè)的負載容量下限，與企業(yè)的運營成本(如勞動力成本、機器破損成本)有關(guān)。不同于大多數(shù)基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中的過載失效，欠載是造成供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的一個主要原因。為簡便起見，本文假設(shè)節(jié)點的負載容量下限也與其初始負載成正比[21]，則節(jié)點i的負載容量下限定義為

Ci(min)=σ·Li。

(3)

式中σ為可調(diào)整的容量下限參數(shù)，取值范圍為0<σ≤1。

2.3 負載重分配

當(dāng)節(jié)點失效后，其自身的負載會在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)重新分配。級聯(lián)失效模型中通常采用擇優(yōu)概率重新分配的原則描述這一過程，即按照與鄰近節(jié)點的初始負載成比例的方式向其分配負載[33-34]，而且認為負載會更多地優(yōu)先分配給那些與失效節(jié)點相連的高能力節(jié)點，該觀點可用于描述供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的負載重分配[17-20]。在現(xiàn)實生活中，企業(yè)失效后，與其業(yè)務(wù)關(guān)系越緊密的企業(yè)遭受的損失越大，因此按照企業(yè)間的業(yè)務(wù)關(guān)系強度進行負載重分配。經(jīng)驗表明[35-36]，網(wǎng)絡(luò)中邊的權(quán)重與該邊所連接節(jié)點的度的關(guān)系為Wij～(KiKj)τ，其中τ是一個可調(diào)整的參數(shù)，用來控制邊權(quán)的強度。為簡便起見，本文假設(shè)節(jié)點i和節(jié)點的j的業(yè)務(wù)關(guān)系強度為Wij=(KiKj)τ。

假設(shè)節(jié)點i在t時刻發(fā)生失效(Li(t)=0)，其上游鄰居節(jié)點h，h′和下游鄰居節(jié)點j，j′都將遭受損失，如圖3所示。以下游節(jié)點j為例，其減少的負載為

(4)

大多數(shù)實際網(wǎng)絡(luò)中都有監(jiān)控保護策略，不是所有節(jié)點過載后都會被立即從網(wǎng)絡(luò)中移除[29-30,37]。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中也是如此，例如Philips火災(zāi)事件。2000年3月18日，Philips的一家芯片廠發(fā)生火災(zāi)，中斷了對Nokia和Ericsson的芯片供應(yīng)。Nokia從其他供應(yīng)商處緊急追加訂貨，減少了損失，但是Ericsson的單一供應(yīng)商策略使其遭受近4億美元的虧損，并最終退出市場[38]。Zeng等[17]采用過載函數(shù)描述這一現(xiàn)象，提出一種基于概率的過載節(jié)點失效策略。下面本文將設(shè)計一種更加具體的策略。

企業(yè)失效以后對其鄰居企業(yè)造成損失，鄰居企業(yè)一般會采取兩種措施進行彌補，即加強已有的業(yè)務(wù)關(guān)系和建立新的業(yè)務(wù)關(guān)系，一般后者比前者更加困難，而且會帶來額外的開銷，本文只考慮前者。加強已有業(yè)務(wù)關(guān)系的前提是相應(yīng)的企業(yè)具有冗余能力，能夠滿足意外的需求。冗余能力的表現(xiàn)形式多種多樣，如額外的庫存、備用的機器、富余的工人等。圖3中節(jié)點i′的冗余能力可用負載容量上限與當(dāng)前負載的差來度量[21]：

Ri′(t)=Ci(max)-Li′(t)。

(5)

在圖3中，節(jié)點i失效以后，節(jié)點j選擇與其他上游節(jié)點強化已有關(guān)系。假設(shè)冗余能力大的節(jié)點會被優(yōu)先選擇，則節(jié)點i′被選中的概率為

(6)

相應(yīng)地，增加的負載為

(7)

節(jié)點i′的負載更新為

(8)

節(jié)點j的負載更新為

(9)

假設(shè)節(jié)點i失效以后，節(jié)點j同時與一些上游節(jié)點強化已有關(guān)系，直到損失得到彌補或者所有上游節(jié)點沒有冗余能力為止。如果Lj(t)

2.4 度量指標

級聯(lián)失效可能傳播若干步后停止擴散，也可能導(dǎo)致整個網(wǎng)絡(luò)崩潰。對級聯(lián)失效后果的度量指標主要有網(wǎng)絡(luò)魯棒性和網(wǎng)絡(luò)效率兩種，其中魯棒性一般基于雪崩規(guī)模或最大聯(lián)通子圖，效率一般基于最短路徑或最有效路徑。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效傳播過程中，節(jié)點負載經(jīng)常會處在初始負載與負載容量下限之間，魯棒性指標和效率指標均無法有效反映這一種狀態(tài)。李釗等[30]定義了一種基于節(jié)點效率的全網(wǎng)絡(luò)效率，能夠反映節(jié)點效率變化對全網(wǎng)絡(luò)效率的影響，本文采用該方法度量級聯(lián)失效在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中造成的后果。

用一個N×1的效率矩陣{ei}表示各節(jié)點的效率狀態(tài)，其取值范圍為0≤ei≤1。0表示節(jié)點失效，1表示節(jié)點正常工作，其他值表示節(jié)點效率因欠載而降低，ei值越小節(jié)點效率越低。假設(shè)初始時刻所有節(jié)點都正常工作(即ei=1)，則節(jié)點在t時刻的效率為

ei(t)=eiLi(t)/Li，

(10)

相對網(wǎng)絡(luò)效率E定義為

(11)

E能夠度量t時刻網(wǎng)絡(luò)效率相對于初始效率的變化情況，進而可以準確表示網(wǎng)絡(luò)效率在級聯(lián)失效過程中的變化情況。令Eend為級聯(lián)失效結(jié)束后的相對網(wǎng)絡(luò)效率。

3 仿真與分析

因為供應(yīng)商與顧客之間的具體信息關(guān)系一般是專有的和保密的，而且構(gòu)建一個真實的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)也非常困難，所以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)視角下對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的研究大多基于典型網(wǎng)絡(luò)模型進行，其中以隨機網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)為主[39-41]。本文構(gòu)建ER(Erdos-Renyi)網(wǎng)絡(luò)模型[42]和BA(Barabasi-Albert)網(wǎng)絡(luò)模型[43]，通過仿真研究供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)動力學(xué)行為，ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)都包括1 000個節(jié)點和3 000條邊。采用MATLAB_R2017a進行模擬仿真，仿真實驗從兩個方面展開：①驗證本文模型的有效性；②研究模型參數(shù)對級聯(lián)失效規(guī)模的影響。在仿真實驗中，每個實驗都獨立運行20次，結(jié)果取其統(tǒng)計平均值。

3.1 欠載級聯(lián)失效模型的有效性

為了觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)失效，一般采用隨機攻擊和蓄意攻擊兩種攻擊策略。隨機攻擊指隨機選取節(jié)點進行攻擊，蓄意攻擊指選取網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點進行攻擊。節(jié)點的重要性一般用節(jié)點的度或負載描述，在此基礎(chǔ)上有兩種蓄意攻擊方式：①攻擊最重要的節(jié)點；②按節(jié)點重要性從大到小進行攻擊[28,31,40]。研究表明[44-45]，隨機網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊和蓄意攻擊表現(xiàn)出相似的抗毀性，無標度網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊表現(xiàn)出魯棒性，而對蓄意攻擊表現(xiàn)出脆弱性?；谶@一結(jié)論驗證本文模型的有效性，即對ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)分別進行隨機攻擊和蓄意攻擊，考察所觸發(fā)的級聯(lián)失效對網(wǎng)絡(luò)效率變化的影響。本文采用的隨機攻擊策略為隨機移除一定比例f的節(jié)點，蓄意攻擊策略為依據(jù)節(jié)點負載的降序排列移除一定比例f的節(jié)點。

圖4所示為在4種參數(shù)取值下ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)面對隨機攻擊和蓄意攻擊時的網(wǎng)絡(luò)效率變化情況。從圖4可見，隨著攻擊比例f的增大，不同攻擊策略下兩個網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)效率都呈現(xiàn)出下降趨勢。當(dāng)攻擊比例f相同時，不同攻擊策略下兩個網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)效率變化差異較大。以圖4b為例，當(dāng)攻擊比例f=5%時，ER網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊和蓄意攻擊下的相對網(wǎng)絡(luò)效率分別為0.953 4和0.925 5，而BA網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊和蓄意攻擊下的相對網(wǎng)絡(luò)效率分別為0.945 9和0.216 9；當(dāng)攻擊比例f=15%時，ER網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊和蓄意攻擊下的相對網(wǎng)絡(luò)效率分別為0.813 9和0.623 1，而BA網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊和蓄意攻擊下的相對網(wǎng)絡(luò)效率分別為0.805 4和0.012 5。使ER網(wǎng)絡(luò)完全癱瘓的隨機攻擊比例和蓄意攻擊比例分別為85%和75%，而使BA網(wǎng)絡(luò)完全癱瘓的隨機攻擊比例和蓄意攻擊比例分別為90%和20%。動態(tài)視角下，隨機攻擊和蓄意攻擊對網(wǎng)絡(luò)的破壞體現(xiàn)在會觸發(fā)不同程度的級聯(lián)失效。圖4的結(jié)果表明，BA網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊所觸發(fā)的級聯(lián)失效具有魯棒性，對蓄意攻擊所觸發(fā)的級聯(lián)失效比較脆弱；相比之下，ER網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊和蓄意攻擊所觸發(fā)的級聯(lián)失效表現(xiàn)出相似的抗毀性。在其他參數(shù)組合的情況下也可發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)論，表明本文模型是有效的。

3.2 模型參數(shù)對級聯(lián)失效的影響

本文模型包括θ，δ，σ，τ4個參數(shù)，本節(jié)側(cè)重研究這些參數(shù)在級聯(lián)失效過程中對網(wǎng)絡(luò)效率變化的影響?？紤]到蓄意攻擊比隨機攻擊更容易觸發(fā)級聯(lián)失效，在t=1時刻，對ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)分別進行如下攻擊：依據(jù)節(jié)點負載的降序排列移除ER網(wǎng)絡(luò)中的前200個節(jié)點和BA網(wǎng)絡(luò)中的前20個節(jié)點。

(1)θ在級聯(lián)失效過程中對網(wǎng)絡(luò)效率變化的影響 模型參數(shù)的取值為δ=1.2，σ=0.8，τ=1.0。圖5所示為在具有不同參數(shù)θ的級聯(lián)失效模型中，網(wǎng)絡(luò)效率在ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)中的演化情況，其中θ用來控制節(jié)點負載的強度。從圖5可見，隨著參數(shù)θ取值的逐漸增大，網(wǎng)絡(luò)效率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，說明根據(jù)節(jié)點的度數(shù)及其相鄰節(jié)點的度數(shù)來定義節(jié)點的初始負載時，存在一個最優(yōu)初始負載分布，使得網(wǎng)絡(luò)在抵制級聯(lián)失效時表現(xiàn)出強魯棒性。這與文獻[29,46]中的發(fā)現(xiàn)類似，該文獻通過理論推導(dǎo)，證明了θ=0.5時網(wǎng)絡(luò)抵制級聯(lián)失效的魯棒性最強，θ>0.5(θ<0.5)時網(wǎng)絡(luò)抵制級聯(lián)失效的魯棒性逐漸減弱。在本文模型中，節(jié)點遭遇欠載后不會立即失效，而是以一定概率選擇鄰居節(jié)點加強關(guān)系來彌補損失。對于網(wǎng)絡(luò)抵制級聯(lián)失效的魯棒性，本文得到了θ取值的一個較優(yōu)區(qū)間，而不是最優(yōu)值，這可能與概率選擇方式有關(guān)。另外，在采用其他負載定義方式的文獻中，沒有給出最優(yōu)負載分布。

(2)δ在級聯(lián)失效過程中對網(wǎng)絡(luò)效率變化的影響 模型參數(shù)的取值為θ=0.9，σ=0.8，τ=1.0。圖6所示為在具有不同參數(shù)δ的級聯(lián)失效模型中，網(wǎng)絡(luò)效率在ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)中的演化情況，其中δ用來控制節(jié)點負載的容量上限。從圖6可見，網(wǎng)絡(luò)效率隨著δ的增加而增大。原因為：失效節(jié)點會對其鄰居節(jié)點造成損失，該損失可能造成鄰居節(jié)點進一步失效；而鄰居節(jié)點可以通過與失效節(jié)點功能相同的其他節(jié)點加強關(guān)系來彌補損失，從而降低其失效的可能。δ越大，節(jié)點的空余能力越大，意味著與失效節(jié)點功能相同的節(jié)點有更多的冗余來彌補鄰居節(jié)點的損失。因此，失效不會發(fā)生在鄰居節(jié)點上，從而有效地阻止了級聯(lián)失效的傳播。從圖6還可以看出，當(dāng)δ增大到一定程度以后(如δ>1.8)，網(wǎng)絡(luò)效率的變化很小，幾乎不再增大，因為此時節(jié)點的冗余已經(jīng)大到足以彌補損失。

(3)σ在級聯(lián)失效過程中對網(wǎng)絡(luò)效率變化的影響 模型參數(shù)的取值為θ=0.9，δ=1.2，τ=1.0。圖7所示為在具有不同參數(shù)σ的級聯(lián)失效模型中網(wǎng)絡(luò)效率在ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)中的演化情況，其中σ用來控制節(jié)點負載的容量下限。從圖7可見，網(wǎng)絡(luò)效率隨著σ的增加而減小，這一現(xiàn)象可以通過與過載失效進行對比得到解釋。在過載失效模型中，后續(xù)節(jié)點失效是由于節(jié)點的負載超出一定的界限，該界限的值越大，級聯(lián)失效的規(guī)模越小[9,31]。在欠載失效模型中則正好相反，后續(xù)節(jié)點的失效是由于節(jié)點的負載低于一定的界限，該界限的值越大，級聯(lián)失效的規(guī)模越大。在本模型中，該界限的值就是σ，隨著σ的增加，失效的節(jié)點越來越多，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)效率越來越小。從圖中還可以看出，對于較小的σ(如σ<0.3)，網(wǎng)絡(luò)效率變化很小，因為此時節(jié)點失效的臨界值已經(jīng)足夠小，初始攻擊不會觸發(fā)后續(xù)節(jié)點失效。

(4)τ在級聯(lián)失效過程中對網(wǎng)絡(luò)效率變化的影響 模型參數(shù)的取值為θ=0.5，δ=1.2，σ=0.8。圖8所示為在具有不同參數(shù)τ的級聯(lián)失效模型中網(wǎng)絡(luò)效率在ER網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)中的演化情況，其中τ用來控制節(jié)點間的關(guān)系強度。從圖8可見，隨著參數(shù)τ取值的逐漸增大，網(wǎng)絡(luò)效率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。由式(1)和式(3)可知，節(jié)點負載的大小與其度正相關(guān)，節(jié)點對欠載的容忍程度為Li-Ci(min)=(1-σ)Li,即節(jié)點在負載損失大于其欠載容忍程度時失效。因此，當(dāng)σ一定時，節(jié)點的度越大，其對欠載的容忍程度越大。由式(4)可知，負載重分配在τ<0時會優(yōu)先考慮度小的節(jié)點，在τ>0時會優(yōu)先考慮度大的節(jié)點。對圖8現(xiàn)象的解釋為：①當(dāng)τ<0時，對欠載容忍程度小的節(jié)點因負載降低較多而容易失效，從而引發(fā)大規(guī)模的級聯(lián)失效。②當(dāng)τ>0時，對欠載容忍程度大的節(jié)點不但在負載降低較多時不會失效，而且還可以減小其他節(jié)點的負載損失，從而避免發(fā)生大規(guī)模級聯(lián)失效；然而當(dāng)τ太大時(如τ=2)，情況又會發(fā)生反轉(zhuǎn)，這是因為此時對欠載容忍程度大的節(jié)點因負載降低過多而失效，而且這些節(jié)點之前承擔(dān)了較多的負載，其失效會觸發(fā)雪崩。

對于能觸發(fā)級聯(lián)失效的參數(shù)θ，δ，σ，τ的其他取值組合，也能得到與圖5～圖8相似的結(jié)果。在本文定義方式下，θ為節(jié)點負載可調(diào)參數(shù)，τ為節(jié)點間關(guān)系強度可調(diào)參數(shù)。仿真結(jié)果表明，初始負載的分布和節(jié)點間的關(guān)系強度均會影響級聯(lián)失效的傳播，同時θ和τ都存在一個最優(yōu)取值區(qū)間，使得網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)失效表現(xiàn)出強魯棒性?，F(xiàn)實供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中企業(yè)負載與企業(yè)間業(yè)務(wù)關(guān)系的復(fù)雜性和多樣性，難以對其進行準確度量，這一結(jié)論可為供應(yīng)鏈管理提供一定參考。δ為節(jié)點容量上限參數(shù)，其值越大，企業(yè)能夠滿足的意外需求越多，因此δ與企業(yè)的備用生產(chǎn)能力有關(guān)，可以看作是冗余的一種形式(如額外的庫存、備用的機器、富余的工人等)。充足的生產(chǎn)能力能夠滿足意外的需求，但是在運營環(huán)境相對穩(wěn)定時，生產(chǎn)能力閑置的代價很高。σ為節(jié)點容量下限參數(shù)，其值越小，企業(yè)在遭遇損失時越不容易失效，例如面對供應(yīng)減少時，競爭力強的企業(yè)可以通過產(chǎn)品漲價維持運營，因此σ與企業(yè)的核心競爭力有關(guān)。在激烈的市場競爭中，企業(yè)在短時間內(nèi)一般很難有效提高核心競爭力。

4 結(jié)束語

作為一類典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，供應(yīng)鏈時常發(fā)生級聯(lián)失效，已有研究均在過載級聯(lián)失效模型的基礎(chǔ)上進行，用這樣的模型研究供應(yīng)鏈的級聯(lián)失效存在不足。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，后續(xù)企業(yè)的失效由欠載造成，即上游企業(yè)因需求下降而失效，下游企業(yè)因供應(yīng)減少而失效，因此欠載級聯(lián)失效模型更適合刻畫供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的級聯(lián)動力學(xué)行為?；谇份d失效，本文建立了相應(yīng)的級聯(lián)失效模型，驗證了模型的有效性，并分析了模型參數(shù)對級聯(lián)失效的影響。研究結(jié)果表明，負載可調(diào)參數(shù)θ(企業(yè)的負載分布)和關(guān)系可調(diào)參數(shù)τ(企業(yè)間的業(yè)務(wù)關(guān)系強度)均會影響級聯(lián)失效的傳播。容量上限參數(shù)δ能夠有效緩解級聯(lián)失效的傳播，與企業(yè)的備用生產(chǎn)能力有關(guān)。容量下限參數(shù)σ是決定級聯(lián)失效規(guī)模大小的主要因素，與企業(yè)的核心競爭力有關(guān)。本文所提模型能夠很好地反映實際供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中級聯(lián)失效現(xiàn)象的特征，可為預(yù)防、控制級聯(lián)失效提供參考。今后的研究工作擬從以下兩方面展開：①基于現(xiàn)實中企業(yè)負載之間的供需平衡，進一步完善欠載級聯(lián)失效模型；②基于欠載級聯(lián)失效模型研究供應(yīng)鏈的彈性恢復(fù)策略。