夏長久，王時(shí)龍+，孫守利，林曉川，黃筱調(diào)

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210009)

0 引言

大規(guī)格齒輪廣泛應(yīng)用于風(fēng)電、船舶、航空航天、工程機(jī)械等行業(yè)的高端裝備傳動(dòng)系統(tǒng)，其齒面精度及動(dòng)態(tài)性直接決定裝備的服役壽命、安全性和可靠性[1-2]。五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)的砂輪與齒輪在加工時(shí)為線接觸，具有受力均勻、生產(chǎn)效率高且易于齒面修形等優(yōu)點(diǎn)，特別適合大規(guī)格齒輪精加工[3-4]。然而，由于機(jī)床受到幾何誤差、熱誤差、力致變形誤差、伺服控制誤差等多源誤差的綜合影響[5-6]，很難保證磨齒精度。作為最重要的誤差源之一，幾何誤差主要由機(jī)床部件的制造缺陷、安裝偏差或運(yùn)動(dòng)磨損引起，不隨時(shí)間變化或變化微小，對其進(jìn)行測量標(biāo)定、辨識補(bǔ)償是有效減小加工誤差的重要途徑。然而，因?yàn)槟X機(jī)床的幾何誤差項(xiàng)眾多且存在強(qiáng)烈的耦合效應(yīng)，少量誤差的微小擾動(dòng)就可能大幅降低加工精度，所以建立準(zhǔn)確可靠的誤差模型并進(jìn)行有效的誤差分析，對于降低機(jī)床設(shè)計(jì)制造成本、保證磨齒加工精度至關(guān)重要。

為探明多軸機(jī)床幾何誤差對加工誤差的敏感性，國內(nèi)外學(xué)者通過對數(shù)控機(jī)床進(jìn)行刀具空間誤差建模，并結(jié)合相關(guān)敏感性分析方法，量化分析了各誤差項(xiàng)對刀具空間誤差的影響程度。例如，程強(qiáng)等[7]利用矩陣微分法建立了四軸數(shù)控機(jī)床誤差敏感度分析模型，通過計(jì)算誤差敏感系數(shù)，最終識別出影響加工精度的關(guān)鍵幾何誤差；唐宇航等[8]通過建立五坐標(biāo)龍門加工中心加工誤差模型，采用蒙特卡洛模擬法識別了影響加工精度的關(guān)鍵誤差參數(shù)；Li等[9]基于多體系統(tǒng)理論建立了誤差源與刀具位姿誤差間的映射關(guān)系，并通過定義廣義局部敏感指數(shù)、廣義全局敏感指數(shù)和廣義全局波動(dòng)指數(shù)分析誤差敏感性；Cheng等[10]基于旋量理論建立了三軸立式加工中心的空間誤差模型，并采用Morris法篩選出關(guān)鍵幾何誤差；Guo等[11]和Cheng等[12]采用傅里葉幅值靈敏度檢驗(yàn)擴(kuò)展法(Extended Fourier Amplitude Sensitivity Test, EFAST)對機(jī)床進(jìn)行敏感性分析，有效識別出關(guān)鍵幾何誤差，從而提高了機(jī)床幾何精度；Zhang等[13]基于空間誤差模型建立了三軸立式磨床的可靠性模型，并采用乘式降維法(Multiplicative Dimensional Reduction Method, MDRM)進(jìn)行機(jī)床全局敏感性分析，最后用蒙特卡洛仿真法進(jìn)行了驗(yàn)證。

然而，現(xiàn)有機(jī)床誤差模型均以刀具空間誤差表征加工誤差，并將其作為評價(jià)指標(biāo)來計(jì)算誤差敏感指數(shù)，忽略了刀具與工件曲面間的運(yùn)動(dòng)干涉對加工效果的影響，倘若對于進(jìn)行齒輪精加工的五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)，也僅通過建立刀具空間誤差模型來分析誤差敏感性，并基于識別的關(guān)鍵誤差進(jìn)行補(bǔ)償，則很難保證磨齒精度。目前，國內(nèi)外考慮齒輪加工過程所建立的齒面誤差模型，大多僅考慮單項(xiàng)刀具誤差或安裝誤差等對齒面加工精度的影響，缺少幾何誤差與齒面誤差間的系統(tǒng)性映射模型。例如方成剛等[14-15]和張虎等[16]考慮成形磨齒加工過程建立齒面誤差模型，分析了砂輪安裝誤差對齒面誤差的影響，但考慮的誤差參數(shù)較少，幾何誤差分析不全面；Zhou等[17]雖然建立了成形磨齒機(jī)33項(xiàng)幾何誤差與刀具空間誤差間的映射模型，但未考慮成形磨齒加工過程對齒面精度的影響，也忽略了A，C軸8項(xiàng)安裝幾何誤差的影響。鑒于磨齒機(jī)床眾多的幾何誤差對刀具空間誤差的影響互相耦合，而且刀具空間誤差與齒面誤差間的映射關(guān)系也不清楚，如何基于幾何誤差—刀具空間誤差模型，根據(jù)實(shí)際成形磨削過程建立刀具空間誤差—齒面誤差模型，從而構(gòu)建幾何誤差—齒面誤差模型，仍是一大難點(diǎn)。

為此，本文在構(gòu)建幾何誤差—刀具空間誤差模型的基礎(chǔ)上，考慮砂輪與齒輪間的共軛磨削加工過程，通過磨削軌跡離散化和接觸線數(shù)值演算構(gòu)建幾何誤差—齒面誤差模型，來揭示幾何誤差與齒面誤差間的定量映射規(guī)律；然后利用Morris全局敏感性分析法計(jì)算幾何誤差的敏感指數(shù)，識別關(guān)鍵誤差項(xiàng)和敏感部件；最后通過關(guān)鍵誤差修正仿真和補(bǔ)償加工實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提識別方法的有效性，并與現(xiàn)有基于刀具空間誤差模型的識別結(jié)果進(jìn)行對比，證明所提方法的優(yōu)勢，為后續(xù)強(qiáng)化敏感部件精度和精確補(bǔ)償關(guān)鍵誤差提供理論指導(dǎo)。

1 幾何誤差—齒面誤差模型

1.1 機(jī)床幾何誤差

五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括X，Y，Z3個(gè)直線運(yùn)動(dòng)軸和A，C兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)軸。成形磨齒的加工原理為：①通過旋轉(zhuǎn)A軸和移動(dòng)X軸，保證砂輪安裝角和砂輪—齒輪中心距分別為γ和a；②工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度φ，同時(shí)自旋轉(zhuǎn)的砂輪沿齒輪軸線向上移動(dòng)pφ，使砂輪和齒輪做相對螺旋運(yùn)動(dòng)，從而完成單個(gè)齒槽加工，其中p為螺旋參數(shù)。成形磨齒是典型的線接觸加工工藝，加工齒面和磨削砂輪可以看作為接觸線分別通過螺旋和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡面。

由于磨齒機(jī)的運(yùn)動(dòng)軸存在安裝偏差和制造缺陷，多軸聯(lián)動(dòng)磨齒時(shí)會(huì)產(chǎn)生加工誤差。通常，由安裝偏差引起的位置無關(guān)幾何誤差(Position Independent Geometric Error, PIGE)有11項(xiàng)，包括3個(gè)直線軸間的3項(xiàng)直線度誤差(SZX，SYX，SYZ)和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的8項(xiàng)安裝誤差(δAy，δAz，βAZ，γAY，δCx，δCy，αCY，βCX)，其中每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸有2項(xiàng)安裝位置誤差和2項(xiàng)安裝姿態(tài)誤差；由制造缺陷引起的位置相關(guān)幾何誤差(Position Dependent Geometric Error, PDGE)有30項(xiàng)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸包括6項(xiàng)誤差，其中3項(xiàng)為位移誤差，3項(xiàng)為角度誤差。數(shù)控成形磨齒機(jī)的運(yùn)動(dòng)鏈和41項(xiàng)幾何誤差的位置示意如圖2所示。

為便于分析，將幾何誤差序列進(jìn)行編號，如表1所示。其中，直線軸Y主要用作刀具對中和砂輪修整，與成形磨削過程相對獨(dú)立，其幾何誤差對磨齒精度的影響暫可忽略，不進(jìn)行編號。

表1 五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)的幾何誤差定義

運(yùn)動(dòng)軸誤差序號PDGEs位移誤差角度誤差PIGEsX1～6δx(NXX),δy(NXX),δz(NXX)εx(NXX),εy(NXX),εz(NXX)—Y—δx(NXY),δy(NXY),δz(NXY)εx(NXY),εy(NXY),εz(NXY)SYX,SYZ

續(xù)表1

1.2 幾何誤差—刀具空間誤差模型

表2 相鄰坐標(biāo)系間的位姿變換

因此，基于磨齒運(yùn)動(dòng)鏈(W-Y-A-Z-X-R-C-G)和齊次變換矩陣，齒輪坐標(biāo)系與砂輪坐標(biāo)系間的理想位姿變換矩陣

(1)

考慮機(jī)床幾何誤差，實(shí)際位姿變換矩陣

(2)

若在砂輪坐標(biāo)系中，將砂輪中心位置和姿態(tài)的齊次坐標(biāo)分別設(shè)為[a,b,c,1]T和[i,j,k,0]T，并用δ表示刀具中心位置誤差，ε表示刀具軸線姿態(tài)誤差，則幾何誤差—刀具空間誤差模型可表示為：

(3)

1.3 幾何誤差—齒面誤差模型

在成形磨齒加工中忽略砂輪修整誤差，若以η表示砂輪軸向廓形參數(shù)，則修整后的砂輪軸向廓形的坐標(biāo)矢量可表示為

rq(η)=[xq(η),yq(η),0,1]T。

(4)

將砂輪軸向廓形繞砂輪軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，掃掠軌跡面即為砂輪回轉(zhuǎn)曲面。用φ表示砂輪的回轉(zhuǎn)參數(shù)，在砂輪坐標(biāo)系中，砂輪的坐標(biāo)矢量

rw(η,φ)=Mwq(φ)rq(η)；

(5)

(6)

因此，砂輪的單位法矢

(7)

根據(jù)砂輪和齒輪坐標(biāo)系間的理想位姿變換矩陣，以坐標(biāo)矢量和單位法矢聯(lián)合表征砂輪曲面特征，齒輪坐標(biāo)系中理想砂輪可表示為：

(8)

考慮幾何誤差對位姿變換的影響，以向量G=[x1,x2,…,xm]T表示所有幾何誤差，實(shí)際砂輪可表示為：

(9)

由于砂輪參數(shù)已知，齒輪與砂輪間的共軛磨削接觸條件可表述為[18]：從齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)向砂輪回轉(zhuǎn)面上的一點(diǎn)作徑矢rg，如果這一點(diǎn)繞齒輪軸線kg作螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度矢量與其在回轉(zhuǎn)面上的法線ng垂直，則該點(diǎn)即為磨削接觸點(diǎn)。

f(η,φ,φ,γ,a)=(kg×rg+pkg)·ng=0。

(10)

因此，理想接觸條件和實(shí)際接觸條件分別為：

fi(η,φ,φ,γ,a)=(kg×rgi+pkg)·ngi=0；

fa(η,φ,φ,γ,a,G)=(kg×rga+pkg)·nga=0。

(11)

(12)

因?yàn)榧庸X面可視為由離散的λ條接觸線組成，理想齒面和實(shí)際齒面分別表示為：

(13)

(14)

所以幾何誤差—齒面誤差模型為：

k=1,2,…,λ,j=1,2,…,n。

(15)

齒面誤差定義為ETS=[δTS;εTS]=[δx,δy,δz,εx,εy,εz]T，包括δx，δy，δz，εx，εy，εz共6個(gè)齒面誤差分量。其中：δx，δy，δz表示齒面接觸點(diǎn)群的位置誤差分別在工件坐標(biāo)系x，y，z方向上的分量，用于描述實(shí)際齒面與理論齒面的位置偏移，同時(shí)齒面法向偏差也可以通過將各接觸點(diǎn)處的位置偏差矢量[δx,δy,δz]T與相應(yīng)理論齒面點(diǎn)的單位法矢作點(diǎn)積求得；εx，εy，εz表示齒面接觸點(diǎn)群的單位法矢誤差分別在工件坐標(biāo)系x，y，z旋向上的分量，用于描述實(shí)際齒面相對于理論齒面的滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏擺誤差，在誤差補(bǔ)償過程中，需要通過控制機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行補(bǔ)償消除。另外，齒廓偏差和螺旋線偏差等精度信息可基于齒面誤差的定義，經(jīng)過簡單的代數(shù)運(yùn)算提取來評價(jià)齒廓、齒向精度等級。例如，齒廓偏差可通過提取端截面上離散接觸點(diǎn)的偏差來計(jì)算，螺旋線偏差可通過提取分度圓柱齒線上的離散接觸點(diǎn)的偏差來計(jì)算。

2 誤差全局敏感性分析

2.1 Morris法

五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)的幾何誤差項(xiàng)眾多且對加工誤差的影響存在耦合效應(yīng)，正確識別關(guān)鍵誤差并進(jìn)行精確補(bǔ)償，可高效提升磨齒精度。考慮到幾何誤差—齒面誤差模型實(shí)質(zhì)上是一個(gè)高階非線性的多輸入多輸出參數(shù)系統(tǒng)，以幾何誤差G=[x1,x2,…,xm]T作為輸入，齒面誤差ETS=[δx,δy,δz,εx,εy,εz]T作為輸出，該模型可簡化為

ETS=f(G)。

(16)

Morris全局敏感性分析法[19]主要致力于分析輸入?yún)?shù)在全局范圍內(nèi)變化時(shí)對輸出參數(shù)的影響。設(shè)計(jì)理念基于基本效應(yīng)，每次運(yùn)行中僅單個(gè)輸入?yún)?shù)值有所不同。若假設(shè)誤差項(xiàng)xi的基本效應(yīng)服從分布Fi，測得該分布的均值μi和標(biāo)準(zhǔn)差σi作為敏感指數(shù)，則可定量描述該誤差項(xiàng)的敏感性。μi越大，該誤差項(xiàng)對齒面誤差影響越大；σi越大，該誤差項(xiàng)與其他誤差項(xiàng)的耦合作用越大。因?yàn)镸orris法分析過程中存在隨機(jī)誤差，所以實(shí)際操作中需要獨(dú)立重復(fù)多次求取敏感指數(shù)平均值。

齒面誤差模型中，先將每個(gè)誤差項(xiàng)的取值范圍映射到區(qū)間[0,1]，然后將其離散化，使每個(gè)誤差項(xiàng)只能從{0,Δ,2Δ,…,1}中取值，其中Δ=1/(q-1)，q為每個(gè)誤差項(xiàng)的采樣數(shù)。構(gòu)成的隨機(jī)采樣矩陣

G0=[x1,x2,…,xm]T。

(17)

若僅將誤差項(xiàng)xi的取值變化Δ，則xi的基本效應(yīng)

EEi=[f(x1,x2,…,xi+Δ,…,xm)-

f(x1,x2,…,xi,…,xm)]/Δ。

(18)

Morris法的具體分析步驟如下：

(1)構(gòu)造m維對角矩陣D*，其對角元素為等概率隨機(jī)生成的+1或-1，并生成元素均為1的嚴(yán)格下三角矩陣S(m+1)×m；同時(shí)建立(l×m)維單位矩陣E，其中l(wèi)=m+1，則隨機(jī)化矩陣

E*=(2S-E)D*+E。

(19)

(2)生成幾何誤差的基值向量G*，其中每個(gè)誤差項(xiàng)的值均在{0,Δ,2Δ,…,1}中隨機(jī)均勻采樣。

(3)生成m維隨機(jī)置換矩陣P*，該矩陣的每行每列只有一個(gè)元素為1，其余元素均為0。因此，隨機(jī)化采樣矩陣

(20)

D*，G*，P*均為相互獨(dú)立的隨機(jī)矩陣，由其生成的S*自然也是隨機(jī)矩陣，該矩陣每相鄰兩行間只有一個(gè)誤差項(xiàng)的取值不同，而且差異值為Δ。假定相鄰兩行只有第i列元素相差Δ，則誤差項(xiàng)xi的基本效應(yīng)

EEi=[f(x1,x2,…,xi1,…,xm)-

f(x1,x2,…,xi2,…,xm)]/Δ。

(21)

因此，若將S*中的所有相鄰行元素作為模型的輸入誤差向量，則可求得m個(gè)誤差項(xiàng)的基本效應(yīng)。

(4)根據(jù)設(shè)定的循環(huán)采樣次數(shù)SN重復(fù)(1)～(3)SN次，獲得每個(gè)誤差項(xiàng)的SN個(gè)基本效應(yīng)。

(5)按式(22)計(jì)算每個(gè)誤差項(xiàng)基本效應(yīng)的均值μi和標(biāo)準(zhǔn)差σi作為敏感指數(shù)。

(22)

(6)根據(jù)敏感指數(shù)判斷并比較所有幾何誤差項(xiàng)的敏感性。

2.2 敏感性分析步驟的修正

由于輸入幾何誤差取值區(qū)間對敏感性分析結(jié)果的影響很大，其概率分布必須提前測定。針對五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)，研究團(tuán)隊(duì)已經(jīng)利用雷尼紹XL-80激光干涉儀和QC10球桿儀在機(jī)床全工作空間內(nèi)測得33項(xiàng)幾何誤差的分布情況[17]。根據(jù)測量結(jié)果，位移誤差和角度誤差可看作分別均勻分布于[0,20] μm和[0,29] mdeg，據(jù)此對步驟(3)中的隨機(jī)化采樣矩陣S*進(jìn)行映射修正，得到新的采樣矩陣MS*。同時(shí)，為便于比較各誤差項(xiàng)對齒面誤差影響的相對大小，在步驟(5)中，需根據(jù)式(23)對求得的均值μi和標(biāo)準(zhǔn)差σi作歸一化處理，得到歸一化均值Mμi和標(biāo)準(zhǔn)差Mσi。

(23)

3 關(guān)鍵幾何誤差的識別

3.1 敏感性分析結(jié)果

由于每個(gè)誤差項(xiàng)的采樣數(shù)q和判定誤差項(xiàng)基本效應(yīng)分布的循環(huán)采樣次數(shù)SN直接影響修正Morris法的計(jì)算效率，經(jīng)過多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后可知，當(dāng)p=SN=50時(shí)，能在較短時(shí)間內(nèi)求得收斂精度較高的誤差項(xiàng)歸一化敏感指數(shù)-均值Mμ和標(biāo)準(zhǔn)差Mσ。為系統(tǒng)全面地分析識別每個(gè)方向上的關(guān)鍵誤差，分別以6個(gè)齒面誤差分量(δx,δy,δz,εx,εy,εz)為分析目標(biāo)，根據(jù)修正Morris法的步驟獨(dú)立進(jìn)行全局敏感性分析。

以齒面接觸點(diǎn)群在工件坐標(biāo)系x方向上的齒面誤差分量δx為分析目標(biāo)，具體敏感性分析流程如下：

(4)根據(jù)設(shè)定的循環(huán)采樣次數(shù)SN，獨(dú)立重復(fù)計(jì)算每個(gè)誤差項(xiàng)的SN個(gè)基本效應(yīng)，并利用式(22)和式(23)求得每個(gè)誤差項(xiàng)基本效應(yīng)的歸一化均值Mμi和標(biāo)準(zhǔn)差Mσi，將其作為敏感指數(shù)來比較識別相應(yīng)的關(guān)鍵誤差項(xiàng)。

以33項(xiàng)幾何誤差構(gòu)成的誤差序列為橫坐標(biāo)，以敏感指數(shù)Mμ和Mσ為縱坐標(biāo)，繪制齒面誤差分量δx的敏感指數(shù)圖，如圖3所示。在誤差序列中，第1～6項(xiàng)誤差表示X軸的6項(xiàng)幾何誤差(δx(NXX),δy(NXX),δz(NXX),εx(NXX),εy(NXX),εz(NXX))；第7～13項(xiàng)誤差表示Z軸的7項(xiàng)幾何誤差(δx(NXZ),δy(NXZ),δz(NXZ),εx(NXZ),εy(NXZ),εz(NXZ),SZX)；第14～23項(xiàng)誤差表示A軸的10項(xiàng)幾何誤差(δx(NXA),δy(NXA),δz(NXA),εx(NXA),εy(NXA),εz(NXA),δAy,δAz,βAZ,γAY)；第24～33項(xiàng)誤差表示C軸的10項(xiàng)幾何誤差(δx(NXC),δy(NXC),δz(NXC),εx(NXC),εy(NXC),

εz(NXC),δCx,δCy,αCY,βCX)。同理，以齒面誤差在工件坐標(biāo)系另外5個(gè)自由度方向上的誤差分量(δy，δz，εx，εy，εz)為分析目標(biāo)繪制的敏感指數(shù)圖，如圖4～圖8所示。

3.2 關(guān)鍵誤差與敏感部件

根據(jù)圖3～圖8，針對任意齒面誤差分量比較各誤差項(xiàng)的敏感指數(shù)Mμ和Mσ，可識別出相應(yīng)的關(guān)鍵誤差和強(qiáng)耦合誤差。同時(shí)，運(yùn)動(dòng)軸的誤差敏感指數(shù)通過疊加其包含的多項(xiàng)誤差的敏感指數(shù)得到，比較敏感指數(shù)可以識別出齒面誤差的敏感軸，即敏感部件。

以齒面誤差分量δx的敏感性分析為例，根據(jù)圖3比較均值而識別出的關(guān)鍵幾何誤差序列為δx(NXX)，εy(NXX)，δx(NXZ)，δx(NXA)，δx(NXC)，εy(NXC)，δCx，βCX；比較標(biāo)準(zhǔn)差而識別出的強(qiáng)耦合幾何誤差序列為εx(NXX)，εx(NXZ)，εx(NXA)，εx(NXC)，εy(NXC)，αCY，βCX；各軸的誤差敏感性排序?yàn)镃>X>A>Z。因此，為減小齒面誤差分量δx，應(yīng)著重補(bǔ)償修正上述誤差項(xiàng)目，并合理強(qiáng)化C軸和X軸的精度。同理，根據(jù)圖4～圖8可以識別其余5個(gè)齒面誤差分量對應(yīng)的關(guān)鍵誤差序列、強(qiáng)耦合誤差序列和敏感部件序列，如表3所示。其中，對齒面誤差分量εx，εy，εz而言，角度誤差間的耦合作用比較強(qiáng)。

4 驗(yàn)證與討論

4.1 關(guān)鍵誤差修正仿真

為驗(yàn)證識別關(guān)鍵誤差的準(zhǔn)確性，提出一種關(guān)鍵誤差修正仿真方法。該方法針對某齒面誤差分量的關(guān)鍵誤差進(jìn)行虛擬修正，假設(shè)關(guān)鍵誤差被完美修正為零，而其余誤差數(shù)值保持不變，通過觀察6個(gè)齒面誤差分量的誤差消減率來驗(yàn)證識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。誤差消減率表示關(guān)鍵誤差修正后各齒面誤差分量的減少值占修正前齒面誤差分量原始值的百分比。其中，被修正的齒面誤差分量的誤差消減率稱為主誤差消減率，主誤差消減率越大，所識別的關(guān)鍵誤差對該齒面誤差分量的影響越大，識別結(jié)果越可靠。關(guān)鍵誤差修正后，各齒面誤差分量的誤差消減率如表4所示。

表3 各齒面誤差分量的關(guān)鍵誤差識別結(jié)果

表4 各齒面誤差分量的誤差消減率 %

由表4可知，將某齒面誤差分量的少數(shù)幾項(xiàng)關(guān)鍵誤差修正后，主誤差消減率至少達(dá)40%以上，誤差分量均大幅減小，驗(yàn)證了關(guān)鍵誤差與齒面精度間的強(qiáng)相關(guān)性。以齒面誤差分量δx的關(guān)鍵誤差修正為例，當(dāng)δx(NXX)，εy(NXX)，δx(NXZ)，δx(NXA)，δx(NXC)，εy(NXC)，δCx，βCX8項(xiàng)關(guān)鍵誤差被修正后，該分量的主誤差消減率高達(dá)87.27%，說明這8項(xiàng)關(guān)鍵誤差對齒面誤差分量δx的影響遠(yuǎn)大于其余25項(xiàng)誤差，驗(yàn)證了關(guān)鍵誤差識別的準(zhǔn)確性和可靠性。但必須注意到，由于幾何誤差間的耦合效應(yīng)，修正單個(gè)齒面誤差分量的關(guān)鍵誤差可能增加其他齒面誤差分量，因此在后續(xù)的部件精度強(qiáng)化和誤差精確補(bǔ)償中，必須綜合考慮所有齒面誤差分量的變化情況，以全方位提升齒面精度。

4.2 關(guān)鍵誤差識別結(jié)果的比較

現(xiàn)有的關(guān)鍵誤差識別研究絕大部分基于刀具空間誤差模型進(jìn)行，即以刀具空間誤差直接表征加工誤差進(jìn)行敏感性分析并識別關(guān)鍵誤差。為驗(yàn)證本文提出的基于齒面誤差模型識別方法的優(yōu)勢，以敏感指數(shù)Mμ為參考指標(biāo)，對齒面誤差分量δx，δy，δz的關(guān)鍵誤差識別結(jié)果進(jìn)行對比分析(如圖9)。結(jié)果表明：

(1)對于齒面誤差分量δx和δz，各誤差項(xiàng)的敏感指數(shù)大體相同。若將關(guān)鍵誤差敏感閾值設(shè)為0.05，則識別的關(guān)鍵誤差完全一致，既側(cè)面印證了幾何誤差—齒面誤差模型的可靠性，又證明了關(guān)鍵誤差識別的正確性。

(2)對于齒面誤差分量δy，若將關(guān)鍵誤差敏感閾值設(shè)為0.05，則關(guān)鍵誤差識別結(jié)果存在差異。其中，基于齒面誤差模型識別的關(guān)鍵誤差序列包括εz(NXX)，εz(NXZ)，εy(NXA)，βAZ，εz(NXC) 5項(xiàng)，而基于刀具空間誤差模型識別的關(guān)鍵誤差僅有εz(NXC)。

(3)對于齒面誤差分量δy，根據(jù)兩種識別結(jié)果分別進(jìn)行關(guān)鍵誤差修正仿真?；邶X面誤差模型的方法，δy的主誤差消減率為43.01%；基于刀具空間誤差模型的方法，δy的主誤差消減率為-7.85%，δy不降反升。一方面表明誤差項(xiàng)εz(NXC)與其他誤差的耦合作用較強(qiáng)，從側(cè)面驗(yàn)證了表3中將其列為強(qiáng)耦合幾何誤差的合理性；另一方面也說明基于齒面誤差模型的識別結(jié)果更為準(zhǔn)確可靠，有助于后續(xù)進(jìn)行誤差精確補(bǔ)償。

4.3 關(guān)鍵誤差補(bǔ)償加工實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證成形磨齒機(jī)關(guān)鍵誤差識別結(jié)果的有效性，針對識別的關(guān)鍵誤差進(jìn)行補(bǔ)償加工實(shí)驗(yàn)，觀察補(bǔ)償前后的齒面誤差消減情況。實(shí)施途徑是基于840Dsl數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行二次開發(fā)，利用嵌入式誤差補(bǔ)償模塊對關(guān)鍵誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。補(bǔ)償對比實(shí)驗(yàn)為：①忽略幾何誤差，基于成形磨削軌跡生成理想的NC代碼對齒槽1進(jìn)行磨削加工；②基于幾何誤差標(biāo)定結(jié)果，將誤差值寫入含空間誤差模型和實(shí)際逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的誤差補(bǔ)償模塊中[20]，計(jì)算補(bǔ)償修正后的NC代碼，對相鄰的齒槽2實(shí)施關(guān)鍵誤差補(bǔ)償后的磨削加工。

將關(guān)鍵誤差補(bǔ)償加工實(shí)驗(yàn)應(yīng)用于國內(nèi)某公司自主研發(fā)的數(shù)控成形磨齒機(jī)，利用磨齒機(jī)自帶的在機(jī)測量系統(tǒng)(包括雷尼紹高精度測量頭和配套測量軟件)對加工后的兩齒槽齒面進(jìn)行齒廓精度測量，結(jié)果包括齒廓總偏差(Fα)和齒廓斜率偏差(ffα)。補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵誤差為表3中的所有關(guān)鍵幾何誤差，即δx(NXX)，εy(NXX)，εz(NXX)，δx(NXZ)，εz(NXZ)，δx(NXA)，εy(NXA)，βAZ，δx(NXC)，εy(NXC)，εz(NXC)，δCx，βCX。其中，工件齒輪與磨削砂輪的基本參數(shù)如表5所示，關(guān)鍵誤差補(bǔ)償加工和齒面誤差在機(jī)測量現(xiàn)場如圖10所示，補(bǔ)償前后的齒面精度檢測結(jié)果如表6所示。

表5 齒輪和砂輪的基本參數(shù)

表6 補(bǔ)償前后的齒面精度檢測結(jié)果

補(bǔ)償前(齒槽1)補(bǔ)償后(齒槽2)檢測項(xiàng)目測量值/μmISO精度理論值/μm測量值/μmISO精度左齒面Fα62.694.83628.46ffα53.994.09619.26右齒面Fα53.284.06926.76ffα46.693.84815.15

由表6可知，關(guān)鍵誤差補(bǔ)償前，齒槽1的左右齒面齒廓總偏差(Fα)為62.6 μm和53.2 μm，分別為ISO 9級和8級精度；左右齒面齒廓形狀偏差(ffα)為53.9 μm和46.6 μm，均為9級精度。若僅考慮幾何誤差對齒面精度的影響，則在關(guān)鍵誤差補(bǔ)償后，左右齒面的齒廓總偏差和齒廓形狀偏差的理論值分別為4.836 μm，4.069 μm，4.096 μm，3.848 μm，印證了13項(xiàng)關(guān)鍵誤差對齒面精度的巨大影響。然而在實(shí)際加工時(shí)，由于存在熱誤差、力致變形誤差、伺服控制誤差等其他因素，補(bǔ)償后的理論值與測量值差異顯著。補(bǔ)償后的左右齒面齒廓總偏差(Fα)的實(shí)測結(jié)果為28.4 μm和26.7 μm，均為6級精度；左右齒面齒廓形狀偏差(ffα)為19.2 μm和15.1 μm，分別為6級和5級精度。但仍然可以看出，齒廓精度在關(guān)鍵誤差補(bǔ)償后顯著提升，證明了關(guān)鍵誤差與齒面精度之間的強(qiáng)相關(guān)性，以及通過關(guān)鍵誤差識別補(bǔ)償來高效提升磨齒精度的可行性。

5 結(jié)束語

本文針對數(shù)控成形磨齒機(jī)床幾何誤差與齒面誤差間的定量映射規(guī)律尚未探明以及影響齒面精度的關(guān)鍵誤差難以有效識別等問題，給出幾何誤差—齒面誤差建模過程，并提出一種聯(lián)合Morris全局敏感性分析的關(guān)鍵誤差識別方法。本文的貢獻(xiàn)如下：

(1)基于數(shù)控成形磨齒機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈和共軛磨削原理，同時(shí)建立了幾何誤差—刀具空間誤差模型和幾何誤差—齒面誤差模型，揭示了幾何誤差與齒面誤差間的定量映射規(guī)律。

(2)提出了幾何誤差—齒面誤差模型和Morris法相結(jié)合的關(guān)鍵誤差識別方法，成功量化計(jì)算了各誤差項(xiàng)的敏感指數(shù)，識別出了關(guān)鍵誤差和敏感部件，其識別結(jié)果優(yōu)于基于幾何誤差—刀具空間誤差模型的識別手段。

(3)通過關(guān)鍵誤差修正仿真和關(guān)鍵誤差補(bǔ)償加工實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了有效性檢驗(yàn)。當(dāng)齒面誤差分量的關(guān)鍵誤差被修正時(shí)，齒面誤差分量的數(shù)值大幅減小，驗(yàn)證了所識別關(guān)鍵誤差與齒面誤差間的強(qiáng)相關(guān)性。

根據(jù)幾何誤差與齒面誤差間的映射建模方法，將來可綜合考慮機(jī)床熱變形誤差、磨削力致變形誤差、機(jī)床伺服控制誤差等多源誤差，類似地建立多源誤差—齒面誤差模型，再利用全局敏感性分析方法更加全面地識別影響加工誤差的關(guān)鍵因素，為高效提升磨齒精度提供指導(dǎo)。