陳熙源，石春鳳，柳 笛

（1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096；2.微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，南京 210096）

彈道導(dǎo)彈具有速度快、射程遠、威力大等特點，在現(xiàn)代軍事領(lǐng)域擁有重要地位，對其的設(shè)計、改進工作受到各國的重視。在主動段助推過程中，包括助推器推進力、空氣阻力、地心引力、旋轉(zhuǎn)力矩等多種因素作用在彈體上，使其加速、過載而上升，從而改變飛行彈道[1]。在這種過載的高動態(tài)環(huán)境下，任一微小的誤差源都可能會嚴重影響慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度[2]。因此，研究多種誤差源對系統(tǒng)誤差的影響、建立合適的數(shù)學(xué)模型對于提高導(dǎo)彈導(dǎo)航系統(tǒng)精度是極為重要的。

影響彈道導(dǎo)彈導(dǎo)航定位精度的因素包括傳感器誤差、標度因數(shù)誤差、不正交誤差、桿臂誤差、二次項誤差、初始失準角誤差以及其他高動態(tài)誤差等[3,4]。其中傳感器誤差包括陀螺儀漂移與加速度計偏置等。除此之外，由于主動段劇烈振動的高動態(tài)環(huán)境，圓錐運動和線振動也會導(dǎo)致矢量積分產(chǎn)生較大的誤差，從而對姿態(tài)和位置都造成極大的影響[5,6]。因此，研究慣性器件誤差模型并予以補償是一種提高導(dǎo)航精度十分有效的途徑[7-9]。

通常情況下，學(xué)者們在研究彈道導(dǎo)彈主動段誤差時，會建立包括慣性儀表的零偏誤差、隨機誤差、安裝誤差和標度因數(shù)誤差共24 維誤差參數(shù)的系統(tǒng)級標定模型，通過系統(tǒng)級標定技術(shù)研究，取得了較好的結(jié)果[10,11]。除此之外，出于工程實踐考慮，對激光陀螺和加速度計的標定模型有更進一步的研究成果，但同樣也大多是在低動態(tài)的環(huán)境下工作[12,13]。當系統(tǒng)工作在彈道導(dǎo)彈這種存在劇烈振動的高動態(tài)環(huán)境時，傳統(tǒng)的誤差模型難以有效補償系統(tǒng)的誤差[14]。在此基礎(chǔ)上文章[15]針對有關(guān)加速度計的二次項誤差方面進行了補充研究，提高了加速度計的測量精度。而圓錐運動與線振動在彈道導(dǎo)彈主動段所引起的誤差在研究中鮮少出現(xiàn)。高動態(tài)環(huán)境下，過載段彈道導(dǎo)彈多維誤差模型的研究與建立具有重要意義。

針對彈道導(dǎo)彈過載段的高動態(tài)環(huán)境，本文提出了一種捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的多源誤差模型。首先分析了過載段高動態(tài)環(huán)境下的多種誤差源，建立了多源誤差模型；其次針對不同誤差源分別對系統(tǒng)誤差造成的影響進行了實驗分析，并分別討論；最后通過仿真實驗結(jié)果對比驗證了模型的可靠性。

1 坐標系介紹

定義發(fā)射點慣性坐標系（O-xyz）：如圖1（a）所示，以彈道導(dǎo)彈發(fā)射點為原點，x軸在發(fā)射平面內(nèi)，指向瞄準方向；y軸沿發(fā)射點水平面向上，z軸與xOy平面垂直并構(gòu)成右手坐標系。彈道導(dǎo)彈發(fā)射后，坐標系在慣性空間內(nèi)保持靜止。后續(xù)的彈道仿真及實驗分析，速度、位置、姿態(tài)誤差均在此坐標系下討論。

導(dǎo)彈坐標系（O-xbybzb）：如圖1（b）所示，以導(dǎo)彈坐標系為載體坐標系，與導(dǎo)彈本體固連。在進行運動分析時，假設(shè)導(dǎo)彈為一個質(zhì)點，原點位于導(dǎo)彈質(zhì)心，xb軸沿導(dǎo)彈縱軸指向彈頭方向，yb軸位于彈體縱平面內(nèi)，與xb軸垂直且指向上方，zb由右手定則確定。

圖1 (a)發(fā)射點慣性坐標系（A-方位角，B0-初始地球緯度，N-正北方向）Fig.1 (a)Launch inertial coordinate system(A - azimuthal angle,B0- initial terrestrial latitude,N - north)

圖1 (b)導(dǎo)彈坐標系Fig.1 (b)Missile coordinate system

2 多源誤差模型分析與建立

2.1 傳統(tǒng)誤差模型分析

目前有關(guān)捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差模型，根據(jù)前文分析，從導(dǎo)航微分方程組入手，大多采用如式（1）所示慣性器件誤差方程[9,10]：

其中，下標b表示載體坐標系，i表示發(fā)射點慣性坐標系。為陀螺儀的三軸輸出角速率誤差；為加速度計的輸出誤差。是陀螺儀輸出角速率真值，為測量值；為陀螺儀的常值零偏，為陀螺儀的隨機游走噪聲。加速度計方面，為加速度計的比力輸出真值，為測量值；ba=[baxbaybaz]T為加速度計的常值偏置，wa=[waxwaywaz]T為加速度計的隨機噪聲。

一般慣性導(dǎo)航誤差建模只考慮上述誤差項，而實際上，它并不能完全表達大機動、高動態(tài)環(huán)境下的彈道導(dǎo)彈過載段的情況。因此，綜合分析多種不同誤差源、建立多源誤差模型尤為重要。

2.2 過載段多源誤差模型

彈道導(dǎo)彈在過載段中，經(jīng)歷了載體振動、軸章動、自轉(zhuǎn)運動、燃氣舵繞其鉸鏈軸擺動、冷噴管噴氣等周期性動作[1]；在這些周期性動作的高動態(tài)工作環(huán)境中，IMU工作頻率與環(huán)境變化頻率的匹配度將對其動態(tài)性能造成極為重要的影響。慣性元件安裝方面，盡管在實驗室中，桿臂誤差會被測量標定，但在高動態(tài)環(huán)境下，IMU的位置會隨振動而變化，桿臂效應(yīng)對加速度計有更明顯的影響。加速度計在y,z軸安裝精度較高，但沿軸向的x軸安裝誤差較大，且在當前的工程應(yīng)用中并沒有被修正，從而導(dǎo)致桿臂效應(yīng)對慣導(dǎo)解算精度的影響不可忽視。

除此之外，彈道導(dǎo)彈所處的高動態(tài)環(huán)境下，上述傳統(tǒng)的一階誤差模型無法完全實現(xiàn)其高精度的要求，因此加入了二次項誤差系數(shù)。令K2g為二次項誤差系數(shù)，其中，則有二次項誤差：

在過載階段的高動態(tài)環(huán)境下，彈道導(dǎo)彈處于振動環(huán)境中，微小的振動帶來的誤差會隨時間不斷積累，嚴重影響彈道導(dǎo)彈關(guān)機點甚至后續(xù)落點精度。有關(guān)圓錐運動和線振動的描述及補償方法已有很多研究[5,16]，此處不做贅述。在對圓錐運動優(yōu)化算法的研究中發(fā)現(xiàn)[16]，對于20 Hz以下的圓錐運動，使用周期分量改進的圓錐優(yōu)化算法能夠有效減小其帶來的誤差。此處針對運動頻率為k，半錐角為a，姿態(tài)更新周期為 ΔT的圓錐運動，其圓錐誤差表示為[17]：

基于上述對彈道導(dǎo)彈的多種誤差源分析，最終建立過載段彈道導(dǎo)彈的捷聯(lián)慣導(dǎo)多源誤差模型：

ξ為線振動所造成的誤差，其中，?為圓頻率，A為振幅，V為速度矢量。

因此當對捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)進行了誤差建模標定之后，可以對陀螺儀和角速度計的輸出進行補償：

更進一步,得到發(fā)射點慣性系下慣性導(dǎo)航的姿態(tài)、速度以及位置更新方程：

其中，Cbi代表姿態(tài)角［γφψ］T從導(dǎo)彈坐標系b系向發(fā)射點慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣，即姿態(tài)矩陣；vi代表發(fā)射點慣性系下的速度矢量，ri為發(fā)射點慣性系下的位置矢量；為的斜對稱矩陣。

引力加速度γi為發(fā)射點慣性坐標系中位置矢量ri的函數(shù)，即[3]：

其中，R0為地球半徑，μ= 3.986× 1014m3/s2為引力常數(shù)，J2=1.082627 ×10-3為地球第二引力常數(shù)。

綜合上述誤差模型，可以建立統(tǒng)一的過載段彈道導(dǎo)彈捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的多源誤差模型如式（9）所示：

其中，δN(t)代表IMU誤差值，N(t)代表傳感器測量真值項，B為包括常值誤差和隨機誤差的傳感器誤差項，δK為標度因數(shù)誤差項，為不正交誤差項，K2為二次項誤差項，L為其他誤差項。

3 仿真實驗與結(jié)論分析

3.1 仿真實驗

根據(jù)2.2所述的誤差模型，本章節(jié)對某過載段彈道導(dǎo)彈進行導(dǎo)彈彈道仿真，并進行捷聯(lián)慣性系統(tǒng)多源誤差仿真實驗。

圖2 (a)160 s過載段導(dǎo)彈軌跡圖（發(fā)射點慣性系）Fig.2 (a)Ballistic trajectory(i -frame)

圖2 (b)導(dǎo)彈軌跡圖（在地球模型中展示）Fig.2 (b)Ballistic trajectory(shown in the earth)

圖2 (c)過載系數(shù)變化圖Fig.2 (c)Overload variation

圖2 (d)三軸速度變化圖Fig.2 (d)Velocity variation

在考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，仿真初始條件為：發(fā)射點坐標（116.34 °E,39.98°N），向東垂直發(fā)射。主動段飛行時間160 s，火箭推力加速度為40m/s2。 初始航向角、俯仰角、橫滾角分別為0°，90°，0°。導(dǎo)彈與點火后10 s開始轉(zhuǎn)彎，60 s轉(zhuǎn)彎結(jié)束，160 s發(fā)動機關(guān)機。本文所討論的160 s過載段彈道導(dǎo)彈的捷聯(lián)慣導(dǎo)多源誤差，均在發(fā)射點慣性系下。初始方位失準角誤差設(shè)定為20''，水平誤差角為10''，所述運行軌跡、速度變化和過載變化如圖2所示。

首先，實驗分析不同誤差源占系統(tǒng)總誤差的百分比，其次，利用控制變量法分析多源耦合誤差對系統(tǒng)誤差的影響。實驗中，考慮傳感器誤差、標度因數(shù)誤差、不正交誤差、桿臂誤差、二次項誤差及圓錐運動、線振動七種誤差源。誤差源的設(shè)定參考表1。

表1 誤差源參數(shù)設(shè)定Tab.1 Parameters of error sources

3.2 仿真結(jié)果與討論

本文首先將表1中的A-E共五項誤差加入捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，所得到的姿態(tài)和位移解算誤差結(jié)果如圖3所示。圓錐運動與線振動對彈道導(dǎo)彈精度的影響較大。

圖3 (a)多源誤差對過載段彈道導(dǎo)彈造成的三軸姿態(tài)誤差Fig.3 (a)Triaxial attitude errors of multiple sources for ballistic missile overloaded

圖3 (b)多源誤差對過載段彈道導(dǎo)彈造成的三軸位移誤差Fig.3 (b)Triaxial position errors of multiple sources for ballistic missile overloaded

為了分析多種誤差源分別對捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，首先統(tǒng)計不同誤差在系統(tǒng)誤差中所占的百分比，進而分析彈道導(dǎo)彈過載段的誤差源對系統(tǒng)精度的影響，從而根據(jù)IMU配置等對特定誤差進行優(yōu)化。我們考慮了上述五項誤差源設(shè)定，分別進行了仿真比對，并統(tǒng)計了每種誤差源所引起的誤差值。

此外，本文對不同誤差源之間的耦合效應(yīng)也進行了研究。通過控制變量的方式，選擇不同的誤差源組合對系統(tǒng)起作用。以誤差源A為例，EA-BCDE表示誤差源A與誤差源B、C、D、E之間的耦合誤差，可以通過式(10)進行計算：

其中，EABCDE由五項誤差源的相互作用引起的誤差，EBCDE為后四項誤差源相互作用引起的誤差。EA為由誤差源A單獨作用引起的誤差。因此誤差源A和B之間的耦合誤差可以由式(11)求得：

綜合上述實驗，最終計算由各誤差源引起的誤差的均方根項，得到雷達圖，如圖4所示。

圖4 五項誤差源與初始失準角所致誤差占比圖（dψ-航向角誤差，dφ-俯仰角誤差，dγ-橫滾角誤差，dVx-x軸速度誤差，dVy-y軸速度誤差，dVz-z軸速度誤差，dx-x軸位移誤差，dy-y軸位移誤差，dz-z軸位移誤差）Fig.4 Error proportions caused by five sources and misalignment angles in radar map(dψ- yaw angle error,dφ- pitching angle error,dγ- roll angle error,dVx- x-axis velocity error,dVy- y-axis velocity error,dVz- z-axis velocity error,dx- x-axis position error,dy- y-axis position error,dz- z-axis position error)

其中，dψ,dφ,dγ分別為航向角誤差、俯仰角誤差和橫滾角誤差，dVx,dVy,dVz為三軸向速度誤差，dx,dy,dz為三軸向位移誤差。根據(jù)式（10）（11）的耦合誤差分析，對A到E五項誤差源之間的耦合誤差進行了仿真和計算。經(jīng)計算，所求得姿態(tài)誤差僅有 10-3角秒量級，位移誤差僅為 10-5到 10-3m?？梢哉J為在當前條件下這五個源之間的耦合誤差很小，可忽略不計。因此，我們重點分析研究五項誤差源對于系統(tǒng)誤差的獨立影響，同時包括初始失準角誤差的影響分析，如圖4。

從圖4可以看出，二次項誤差封閉的區(qū)域面積最大，即二次項誤差對于系統(tǒng)誤差的影響最大。失準角誤差對于方位有較為明顯的影響，易造成z軸方向的位置漂移，即在水平方向使得導(dǎo)彈偏離目標。此外，不正交誤差主要對橫滾角造成較大誤差影響，桿臂誤差與標度因數(shù)誤差對橫向位移也有較為明顯的影響。傳感器誤差則影響了多個維度的精度。由此可以認為，所述多種誤差源均會對系統(tǒng)誤差造成較為明顯的影響。另外就初始失準角誤差而言，可造成角秒級的不超過30%的系統(tǒng)誤差，造成的最大橫向偏移位置誤差同樣不超過系統(tǒng)誤差的30%，因此對于高精度IMU，若工作環(huán)境較為穩(wěn)定，則影響不能忽略，需要在對準中進行優(yōu)化處理；但在振動等高動態(tài)環(huán)境下，所造成的影響遠小于其他誤差影響，本文主要針對高動態(tài)環(huán)境與慣性器件的誤差源進行分析，因此后續(xù)討論中將失準角誤差忽略不計。

就圓錐運動與線振動而言，二者對彈道導(dǎo)彈精度的影響較大。將表1中的F、G兩項運動加入捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，所得到的解算誤差結(jié)果明顯大于前五項誤差源造成的最大200 m位移誤差，如圖5(b)所示，位置誤差高達千米級；根據(jù)仿真實驗結(jié)果，姿態(tài)角誤差最大值不超過1.5 °，遠大于圖3(a)所示的角秒級的實驗誤差，因此此處實驗忽略所添加的20角秒的初始失準角誤差。由于圓錐運動與線振動結(jié)合的影響，航向角誤差和俯仰角誤差均呈明顯的波動形式，如圖5(a)中選取65-66 s、100-101 s兩個時長為1 s的時間間隔內(nèi)，姿態(tài)角誤差波動明顯。

圖5 (a)圓錐運動和線振動造成的三軸姿態(tài)部分誤差圖Fig.5 (a)Parts of attitude errors caused by coning motion and linear vibration

圖5 (b)圓錐運動和線振動造成的三軸位移誤差圖Fig.5 (b)Triaxial position errors caused by coning motion and linear vibration

為了分析圓錐運動和線振動分別造成的影響，統(tǒng)計兩種誤差源分別引起的誤差標準差，并制作雷達圖，如圖6所示。由圖6可見，圓錐運動所造成的誤差包圍面積更大，對于軸向的速度和位移有明顯的影響，對橫滾角的影響甚至近似100%。而線振動導(dǎo)致的橫向誤差更大，z軸的速度和位置誤差占比均高達近似80%。由此可以分析，過載段的彈道導(dǎo)彈推進過程中，高動態(tài)的大機動環(huán)境下，圓錐運動使導(dǎo)彈產(chǎn)生軸向誤差偏移，而線振動使導(dǎo)彈產(chǎn)生橫向偏移，進而影響落點精度。

圖6 圓錐運動和線振動所致誤差占比圖（dψ-航向角誤差，dφ-俯仰角誤差，dγ-橫滾角誤差，dVx-x軸速度誤差，d Vy-y軸速度誤差，dVz-z軸速度誤差，dx-x軸位移誤差，dy-y軸位移誤差，dz-z軸位移誤差）Fig.6 Error proportions caused by coning motion and linear vibration in radar map(dψ- yaw angle error,dφ- pitching angle error,dγ- roll angle error,dVx- x-axis velocity error,dVy- y-axis velocity error,dVz- z-axis velocity error,dx- x-axis position error,dy- y-axis position error,dz- z-axisposition error)

3.3 兩種誤差模型補償精度對比

針對2.1中的常用誤差模型和本文所提出的多源誤差模型，分別進行誤差補償。將速度誤差作為觀測量；將彈道仿真中加速度計與陀螺儀的輸出值中，加入多源誤差項，進行導(dǎo)航解算，以求得原始導(dǎo)航誤差，與按照誤差模型進行補償估計得到的導(dǎo)航誤差做差，從而分別得到各誤差模型的補償精度。本文針對過載段彈道導(dǎo)彈進行分析，時間較短，因此，以三軸位置誤差之差作為判斷模型補償精度的判據(jù)。差異越小，說明模型的補償精度越高。

圖7為兩個誤差模型補償精度對比。明顯可見在高動態(tài)環(huán)境下，采用基礎(chǔ)誤差模型補償?shù)那闆r下，由于圓錐運動與線振動的影響，僅160 s的時間內(nèi)，其軸向位置誤差可高達千米級，而多源誤差模型補償在x軸向精度僅為0.7 m，在橫向偏移方面精度提高了80倍。結(jié)果表明，本文所提出的多源誤差模型更為準確。

圖7 常用誤差模型與多源誤差模型位置誤差補償精度對比Fig.7 Comparison of basic error model and multi-source error model on position errors compensation accuracy

4 總 結(jié)

本文對過載段的彈道導(dǎo)彈捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)進行了多源誤差分析，建立了誤差模型，以某彈道導(dǎo)彈軌跡為例進行了仿真實驗與分析，并與傳統(tǒng)的慣導(dǎo)誤差模型補償精度進行對比。尤其是針對圓錐運動與線振動的高動態(tài)環(huán)境，進行了單獨的仿真實驗，證實了圓錐運動與線振動對捷聯(lián)慣導(dǎo)的精度影響很大。通過誤差補償來對比傳統(tǒng)誤差模型與多源誤差模型，結(jié)果表明所提出的多源誤差模型更為準確。本文討論了部分高階誤差源，對于自由段的誤差校正可提供有力的參考。