王曉東，付紅坡，溫云同

（北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

石英撓性加速度計（以下稱加速度計）因其體積小、響應快、靈敏度高等優(yōu)點，在我國航空航天、國防軍事等眾多領域得到了廣泛應用。作為慣性導航系統(tǒng)(INS)的關鍵敏感器件之一，加速度計的性能直接影響到INS的最終導航精度。由于加速度計受加工與制造過程中存在的殘余應力釋放、材料退化效應及外界環(huán)境載荷等因素的影響，它的零偏K0與標度因數(shù)K1等參數(shù)會發(fā)生變化[2]。目前應對加速度計參數(shù)變化的方法是定期對加速度計標定，但是長時間多次重復標定耗時耗力，造成其在使用過程中長期穩(wěn)定性差、使用維護復雜，嚴重影響武器系統(tǒng)的使用維護性及效能的發(fā)揮。因此深入研究加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性的規(guī)律具有很重要的意義。

對于加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性規(guī)律的研究早已開始，主要有自回歸滑動平均（ARMA）模型[1]、神經網絡[2]、最小二乘向量機（Least Square Support Vector Method,LSSVM）[3]等方法。而經過試驗研究表明，由于存在各種影響因素，加速度計參數(shù)的長期變化序列表現(xiàn)為典型非平穩(wěn)、非線性的時間序列，包含多種復雜成分，因而單一的采用上面幾種方法進行建模時擬合效果較差、模型預測精度低。因此如果先對參數(shù)變化序列進行預處理，將包含多種成分的參數(shù)變化序列分解為若干個規(guī)律性較強的子時間序列分量，并針對其特性選擇適當?shù)臄?shù)學工具建模，通過預測子序列使預測風險分散化，則能夠進一步提高預測精度。其中預處理方法有小波分解(Wavelet Decomposition,WD)、經驗模態(tài)分解(Empirical Modal Decomposition,EMD)[4-5]等。

經驗模態(tài)分解是一種基于信號局部特征的信號分解新方法，該方法不但具有小波變換的多分辨的優(yōu)點，而且還能夠進行自適應頻率分析，因此更加適用于非線性、非平穩(wěn)的時間序列分析[6]。為了彌補神經網絡預測時較差的泛化能力與向量機擬合功能單一的缺陷，本文將多核最小二乘向量機（Multiple Kernel Least Square Support Vector Machine,MKLSSVM）算法[7-8]用于加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性建模，根據(jù)不同的子序列特性構造組合核函數(shù)，充分挖掘各子時間序列的變化規(guī)律。由于MKLSSVM的性能很大程度上依賴于向量機參數(shù)的選取，而人工選取參數(shù)具有盲目性與主觀性，所以設計一種自適應人工魚群算法（Adaptive Artificial Fish Swarm Algorithm,AAFSA）對多核向量機參數(shù)進行尋優(yōu)。

綜上，本文提出一種基于經驗模態(tài)分解與自適應人工魚群優(yōu)化多核最小二乘支持向量機的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性多尺度混合建模與預測方法。首先研究了使用EMD方法后各子序列的信號復雜度(排列熵)與擬合精度的關系，并比較了普通方法與多尺度分解方法的擬合精度；其次使用AFFSA方法對MKLSSVM的關鍵參數(shù)進行尋優(yōu)；然后設計基于EMD與AAFSA優(yōu)化MKLSSVM的參數(shù)長期穩(wěn)定性模型；最后進行模型適用性驗證與預測性能驗證，并進行結果分析。

1 數(shù)據(jù)預處理

加速度計在存儲及使用的過程中，加速度計參數(shù)變化序列包含多種復雜成分，如果不對其進行處理直接對其進行建模會導致擬合效果差、模型預測精度低。為了避免這種情況，本文采用經驗模態(tài)分解(EMD)方法對參數(shù)長期變化序列進行預處理。

EMD方法假設任何復雜的時間信號都是由一系列簡單且相互獨立的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)組成，而且每一個IMF分量必須滿足：在整個序列數(shù)據(jù)段內，極值點數(shù)必須和過零點數(shù)一致或者至多相差一個；在任何一點，由極大值確定的上包絡線和極小值確定的下包絡線的均值為零。EMD方法的本質就是通過特征時間尺度獲得IMF，然后由IMF來分解時間序列數(shù)據(jù)[8]。

為驗證EMD方法的有效性，本節(jié)進行了兩方面的研究：1）計算經過經驗模態(tài)分解后各IMF分量的信號復雜度的變化，以及經過最小二乘支持向量機(LSSVM)擬合后各IMF分量的擬合精度的變化；2）比較不同多尺度方法和非多尺度方法的擬合效果。

選取某型石英撓性加速度計K0數(shù)據(jù)作為研究對象，使用EMD對該時間序列進行信號分解，得到圖1所示的IMF序列波形。由圖1可知從IMF1到IMF4，信號的復雜度一直在下降。

圖1 K0變化的EMD分解Fig.1 The EMD decomposition of change of K0

選取排列熵作為評價信號復雜度的工具，并且用最小二乘向量機算法(LSSVM)對各IMF分量進行擬合，計算各分量擬合的均方差(MSE)。各IMF分量排列熵與擬合的誤差如圖2所示。由圖2可知，隨著分解階數(shù)的增加，IMF信號的排列熵呈現(xiàn)出幾乎線性化降低的趨勢。而且擬合誤差也快速下降。

圖2 IMF信號排列熵與LSSVM擬合各IMF的MSE誤差Fig.2 Permutation entropy of IMF and MSE of LSSVM regression of IMF

為了比較多尺度和非多尺度方法的擬合效果，用LSSVM結合非多尺度、EMD、集合經驗模態(tài)分解（EEMD）、多元經驗模態(tài)分解（MEMD）四種方法對上述時間序列進行擬合，擬合誤差結果如圖3所示。由圖3可知，多尺度分解可以大幅提升加速度計K0變化的擬合精度，而且其中EMD在各方面效果最好。

圖3 不同數(shù)據(jù)擬合算法的熵及MSE對比Fig.3 Comparison on date entropies and MSE by different regression algorithms

上述分析表明，多尺度分解可以大幅提升加速度計參數(shù)變化序列的擬合精度，而且在幾種多尺度分解方法中，EMD方法效果最好，因此本文選擇EMD作為加速度參數(shù)長期變化序列預處理的工具。

2 改進多核最小二乘支持向量機（MKLSSVM）建模

2.1 模型建立

在本文中，根據(jù)時間變化與加速度計參數(shù)變化的對應關系，選定MKLSSVM模型訓練樣本為D∈RN×R，R為實數(shù)，i=1,2…N，N為樣本個數(shù)。根據(jù)多核學習思想，等價核函數(shù)將RN映射到高維特征空間，然后建立回歸擬合函數(shù)：

其中，φk(x)為輸入樣本映射到高維空間的非線性變化，λk為其系數(shù)，ωk為其權重，k= 1,2…M,M為核函數(shù)個數(shù)，b為常值偏差。由結構風險最小化原則將式(1)轉化為以下最小值優(yōu)化問題：

其中，C為懲罰系數(shù)，εi為第i個加速度計參數(shù)實際數(shù)據(jù)與期望數(shù)據(jù)的殘差。采用拉格朗日方法建立式(3)所示的目標函數(shù)的拉格朗日函數(shù)：

其中，αi,βi為拉格朗日因子。根據(jù)KKT條件，對式（3）所示的函數(shù)中的各變量求偏導，可得到用矩陣表示的y：

其中，y= [y1,y2,……,yN]T，E =[1,1,…1 ]T，α= [α1,α2…αN]T。Ω是 一 個N維對稱矩陣，是滿足條件的核函數(shù)，φk(xi)、φk(xj)分別 是第i與j個輸入映射到高維空間的非線性變化，式中i,j= 1,2,……,N。

由最小二乘算法可求得b,α的表達式：

綜合以上各表達式，求得加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型為：

根據(jù)文獻[9]可知，核函數(shù)的選取和懲罰系數(shù)及核函數(shù)參數(shù)的確定具有重要作用。由于不同時間段時間序列的變化特性不一樣，而且不同的IMF分量的信號特征也不一樣，同時每一個核函數(shù)的函數(shù)特性也不一樣，因此在考慮核函數(shù)特性、加速度計參數(shù)變化序列的數(shù)據(jù)特性、算法復雜程度的基礎上，本文選取三階多項式核函數(shù)、指數(shù)型核函數(shù)、改進高斯徑向基核函數(shù)進行加權組合構成等價核函數(shù)[10]。三種核函數(shù)表達式如下：

其中，c為多項式核函數(shù)參數(shù)；σ是指數(shù)型核函數(shù)參數(shù)；z是改進型高斯核函數(shù)的位移參數(shù)，μ為其核參數(shù)；將三種核函數(shù)表達式代入式(6)，則基于MKLSSVM的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型為：

上述模型中λ3= 1-λ1-λ2。

2.2 模型參數(shù)確定

由2.1節(jié)所建立模型可知，模型精度直接受到C、c、σ、z和μ還有系數(shù)λ1，λ2等7個參數(shù)的影響，而如果

人為確定這些參數(shù)會受到主觀因素的影響，模型有較大誤差。通過分析文獻資料與試驗確定，人工魚群算法在多參數(shù)同時尋優(yōu)應用中表現(xiàn)優(yōu)秀，因此本文選擇采用人工魚群算法[11]來對這些參數(shù)進行尋優(yōu)，以期得到最優(yōu)的模型參數(shù)。

人工魚群算法一種智能優(yōu)化算法[9-10]，在優(yōu)化過程中，將每一只人工魚設定為函數(shù)的一個可能最優(yōu)解P，人工魚的視野范圍(Visual)看作解空間，視野范圍內的食物濃度看作目標函數(shù)Q=f(P)，人工魚朝著視野范圍內食物濃度最高的位置游動來實現(xiàn)函數(shù)全局尋優(yōu)[12]。

盡管人工魚群算法具有尋優(yōu)能力強、適應性好等特點，但是經過測試發(fā)現(xiàn)固定的人工魚視野與步長會導致算法在尋優(yōu)后期搜索能力變弱，易陷入局部最優(yōu)，解精度不高，而且計算量會逐漸變大的情況[13-14]，因此對此做出改進。

(a)引入自適應衰減函數(shù)

經過分析可知，尋優(yōu)過程前期希望人工魚有較大的視野和步長可以快速收斂并且避免陷入局部最優(yōu)，后期希望較小的視野和步長可以進行精確搜索，提高目標函數(shù)解的精度。因此，決定在固定視野與步長中引入一個衰減函數(shù)，在尋優(yōu)過程中該函數(shù)能按設定的自適應函數(shù)系數(shù)的區(qū)間，根據(jù)算法不同階段自適應地改變視野和步長的大小，如式(9)所示。

其中，AVisual為自適應人工魚視野，Visual為人工魚初始視野，AStep是自適應人工魚步長，Step為人工魚初始步長，n為尋優(yōu)迭代次數(shù)，fA(n)為自適應衰減函數(shù)。

選定指數(shù)型函數(shù)為自適應衰減函數(shù)，該函數(shù)大趨勢衰減，衰減的快慢由相關參數(shù)控制，自適應衰減函數(shù)表達式：

其中，n是當前迭代次數(shù)，v是自適應函數(shù)系數(shù)，定義其值域為 [vmin,vmax]，第一次迭代時函數(shù)系數(shù)的初始值為vmax，最后一次迭代的函數(shù)系數(shù)值為vmin，nmax是最大迭代次數(shù)。

(b)增加進化機制

隨著迭代次數(shù)增加，魚群算法的計算量會大幅增加而影響收斂速度，為了應對這一問題引入“適者生存”的進化機制。在迭代次數(shù)到達最大迭代次數(shù)的一半之后，每次迭代之后對人工魚群按照適應度的大小進行排序，選擇一定比例的適應度較低的人工魚視為劣化個體，然后進行淘汰以減少空間占有量。但為了防止魚群的多樣性減少，設定當魚群數(shù)目少于魚群總數(shù)的一半時停止淘汰，保持人工魚群種類的多樣性，防止陷入局部極值。

將人工魚群算法與MKLSSVM進行結合，本文建立改進MKLSSVM模型。

3 基于EMD與改進MKLSSVM的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性建模

3.1 建模過程

加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性建模過程如下：

步驟1：原始數(shù)據(jù)獲取。從加速度計數(shù)據(jù)管理系統(tǒng)中導出某型號加速度計參數(shù)變化序列。

步驟2：數(shù)據(jù)預處理。用EMD對原始參數(shù)變化序列進行分解，得到各IMF分量，分別作為MKLSSVM的訓練樣本。

步驟3：參數(shù)初始化。確定魚群的各個初始參數(shù)并確定待優(yōu)化參數(shù)（C,c,σ,μ,z,λ1,λ2）的取值范圍。根據(jù)待優(yōu)化參數(shù)的取值范圍對每條人工魚隨機初始化，并設定魚群算法的適應度是訓練數(shù)據(jù)的均方根誤差。

步驟4：尋優(yōu)計算。人工魚分段自適應調節(jié)步長與視野，執(zhí)行全局尋優(yōu)行為。滿足停止條件后輸出最優(yōu)參數(shù)，否則繼續(xù)執(zhí)行尋優(yōu)操作。

步驟5：建立模型。尋優(yōu)結束將最優(yōu)參數(shù)代入MKLSSVM，用訓練樣本對向量機進行訓練，建立加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型，對各個分量的預測結果進行等權求和集成為綜合預測結果。

步驟6：模型驗證。選取同一型號加速度計參數(shù)變化序列作為測試樣本進行模型測試，并對參數(shù)進行預測。將結果與實際值進行對比分析。

基于EMD與改進MKLSSVM的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型結構如圖4所示。

圖4 加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型結構Fig.4 The model structure of long-term stability of accelerometer parameters

3.2 模型評價指標

選擇三種指標來評估模型的擬合與預測效果，分別為最大絕對誤差（MAXE）、平均絕對誤差（MAPE）、均方根誤差（RMSE）。三種評價指標的計算如式(11)：

其中，y(i)為實際值，為模型輸出值。

4 模型驗證

人工魚群初始參數(shù)如下：人工魚數(shù)目S= 50，視野Visual = 6，步長Step = 1，擁擠度因子δ= 0.618，最大嘗試次數(shù)W= 30,最大迭代次數(shù)nmax= 100，自適應函數(shù)v取值范圍[0.1,2]；待優(yōu)化參數(shù)范圍：懲罰系數(shù)C為50～200、指數(shù)型核函數(shù)參數(shù)σ、改進高斯型徑向基核函數(shù)參數(shù)μ為0.01～20，多項式核函數(shù)參數(shù)c、位移z為0.01～10，核函數(shù)系數(shù)為0～0.5。

選取某型號加速度計將近 600 天的穩(wěn)定性測試數(shù)據(jù)為原始樣本數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)測試方法為 1g條件下四位置翻滾測試；測試設備為石英撓性加速度計大型自動化測試設備；數(shù)據(jù)采集設備是安捷倫 3458A 高精度數(shù)字電壓表，分辨率為8位半，電壓基準穩(wěn)定度每年8 ppm(選件 4 ppm)。

4.1 模型適用性驗證

4.1.1 基于EMD的參數(shù)變化預處理

選取的加速度計的零偏K0與標度因數(shù)K1的600 天內的變化情況如圖5所示。

圖5 選取的加速度計參數(shù)變化序列Fig.5 Parameter change sequence of selected accelerometer

分別對K0與K1變化序列進行經驗模態(tài)分解，逐級分理出相應的3個IMF分量與一個趨勢項。分解結果如圖6所示。

圖6 零偏K0與標度因數(shù)K1的EMD分解結果Fig.6 The results of EMD decomposition of K0and K1

4.1.2 模型適用性驗證與結果分析

驗證加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型的主要步驟為三步：首先，進行LSSVM模型與MKLSSVM模型在參數(shù)變化擬合訓練中的精度對比，以驗證MKLSSVM在參數(shù)變化建模問題中的優(yōu)勢；其次，在MKLSSVM模型的基礎上使用人工魚群算法對其關鍵參數(shù)進行尋優(yōu)，驗證人工魚群優(yōu)化MKLSSVM模型參數(shù)后建模精度更高，模型性能更好；最后，采用EMD方法與優(yōu)化MKLSSVM模型結合應用，并與前兩步進行對比，以驗證序列平穩(wěn)化處理能夠有效提升參數(shù)變化建模的精度與預測性能。

用4種模型分別對K0與K1長期變化序列進行擬合，各模型擬合結果如圖7所示，模型的擬合誤差情況如圖8所示。

圖7 加速度計參數(shù)長期變化擬合Fig.7 The fitting of the long-term variation of accelerometer parameters

圖8 加速度計參數(shù)長期變化擬合誤差Fig.8 The fitting residual of the long-term variation of accelerometer parameters

由圖7可知，訓練結果表明4種模型對加速度計的K0與K1變化都能夠較好地擬合，但相比于LSSVM、MKLSSVM，在采用EMD進行數(shù)據(jù)預處理與AAFSA進行向量機參數(shù)尋優(yōu)之后所建立的模型對原始參數(shù)曲線實現(xiàn)了更大程度上的擬合。

由圖8可知，在4種模型的訓練輸出誤差變化中，LSSVM模型誤差變化范圍較大，MKLSSVM模型誤差變化范圍減小，經過AAFSA優(yōu)化后模型誤差變化進一步減小，在加入基于EMD的參數(shù)變化預處理后，模型的誤差變化范圍更小而且很穩(wěn)定。

對4種模型訓練誤差進一步分析，計算各模型評價指標，結果如表1所示。

表1 模型擬合效果評價指標Tab.1 The index of model fitting effect evaluation

對表1進行分析，相比于LSSVM模型，MKSSVM模型對于零偏K0與標度因數(shù)K1擬合的MAXE分別降低了31.12%、32.45%，MAPE分別降低了31.22%、32.46%，RMSE分別降低了43.41%、44.32%，再結合對圖7、8的分析可知，相比于LSSVM，MKLSSVM模型能夠更為有效地捕捉到加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性的歷史規(guī)律。

同時，對MKSSVM模型進行參數(shù)優(yōu)化后，對于K0與K1擬合的MAXE分別降低了35.18%、34.61%，MAPE分別降低了39.33%、45.17%，RMSE分別降低了42.13%、43.22%，再結合對圖7、8的分析可知，對MKLSSVM模型的參數(shù)利用AAFSA進行尋優(yōu)可以提升模型的精度、降低參數(shù)變化擬合誤差。

在優(yōu)化MKSSVM模型的基礎上對用EMD方法對參數(shù)變化序列進行預處理后，對于K0與K1的擬合的MAXE分別下降了42.53%、48.86%，MAPE指標分別下降了43.22%、41.04%，RMSE指標分別下降了42.97%、40.15%，再結合對圖7、8的分析可知，利用EMD方法對加速度計參數(shù)長期變化序列的平穩(wěn)化處理對模型精度的提升與參數(shù)變化的擬合效果起到很大的作用，說明了參數(shù)變化序列平穩(wěn)化處理的必要性。而且K0與K1擬合的RMSE的值分別為2.21×10-3mg與0.73×10-6V/g，均達到了10-6(g)量級，符合實際的應用。

綜上可知，本論文所建立的模型在MKLSSVM模型的基礎上進行模型參數(shù)優(yōu)化提升了對加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性建模能力與精度的同時，運用EMD方法降低了參數(shù)變化序列的不平穩(wěn)性與不同時間尺度信息間的相互影響，其MAXE、MAPE與MAPE指標數(shù)值均優(yōu)于其他對比模型，表明本文所建模型相比于傳統(tǒng)的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型誤差更小、精度更高。為加速度計參數(shù)變化預測提供了一個精確的模型。

4.2 模型預測性能驗證

利用4.1節(jié)中所訓練好的4種模型，首先對各子序列分量進行單步預測，然后將單步預測的結果放入到歷史參數(shù)變化數(shù)據(jù)中，將其變成相應的預測模型的新輸入數(shù)據(jù)序列，通過這樣的方式可實現(xiàn)各分量的多步滾動預測。進而疊加各子序列分量的多步預測結果。對加速度計的參數(shù)變化進行6次預測，并對預測結果進行分析。預測結果與實際結果對比如圖9所示，預測誤差情況如圖10所示。

由圖9可知，4種模型都能夠對加速度計參數(shù)進行較準確的預測。但是相比于LSSVM、MKLSSVM與AAFSA-MKLSSVM三種模型，本文提出的方法所建模型對參數(shù)變化的預測與實際的參數(shù)變化情況最為貼近。

由圖10可知，在4種模型的預測誤差中，在對MKLSSVM模型進行參數(shù)尋優(yōu)以及加入基于EMD參數(shù)序列預處理后，多步的預測誤差變化范圍非常小而且很穩(wěn)定。

圖9 加速度計參數(shù)變化多步預測Fig.9 The multi-step prediction of accelerometer parameter

圖10 加速度計參數(shù)變化多步預測誤差Fig.10 The multi-step prediction residual of accelerometer parameter

對4種模型計算其輸出的平均絕對誤差（MAPE）與均方根誤差（RMSE），K0與K1的各模型多步預測輸出的誤差計算值如表2所示。

表2 模型預測效果評價指標計算結果Tab.2 The calculation result of model prediction effect evaluation index

對表2中數(shù)據(jù)分析可知：由于誤差積累效應導致各模型的誤差隨著預測步數(shù)的增加而上升；對K0的變化進行預測時，相比于LSSVM、MKLSSVM與AAFSA-MKLSSV模型，EMD+AAFSA-MKLSSVM模型在第6步預測時MAPE分別降低了84.69%、63.53%、40.92%；RMSE分別降低了88.65%、61.23%、43.35%。同樣在K1的第6步預測時，MAPE分別降低了78.38%、57.44%、34.37%；RMSE分別降低了86.49%、61.55%、45.21%。而且 EMD+AAFSA-MKLSSVM 模型的每一步的預測誤差均在10-6量級，符合實際應用的要求。

結合圖9、10與表2，可知本文方法所建立的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性模型能夠對加速度計參數(shù)的變化進行高精度的預測，而且相比于傳統(tǒng)的預測模型預測均方根誤差降低 85% 以上。

5 結 論

本文分析了經驗模態(tài)分解與自適應人工魚群算法優(yōu)化多核最小二乘支持向量機在加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性建模與預測中的應用，經過實例驗證與對比分析，可以得到以下結論：

1）經過EMD數(shù)據(jù)預處理與AAFSA優(yōu)化MKLSSVM 建立的模型，與一般的LSSVM相比，模型準確度更高，能顯著提高加速度計K0與K1變化的預測精度。

2）該建模方法和傳統(tǒng)的加速度計參數(shù)長期穩(wěn)定性建模方法相比可以更加有效地補償加速度計的參數(shù)變化誤差，對提高載體慣性導航精度與穩(wěn)定性有重大意義。

3）多核最小二乘支持向量機在參數(shù)預測尤其是在非線性時間序列預測方面優(yōu)勢明顯。