楊廣強(qiáng)，王志濤，梁化勇，李 林，陰麗娟

（1.中國兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所，北京 100089；2.中國人民解放軍32381部隊(duì)，北京 100072）

由于存在設(shè)計(jì)受限、機(jī)械加工及裝配誤差等原因，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中三個(gè)加速度計(jì)的加速度敏感點(diǎn)不重合，在載體角運(yùn)動過程中會引入附加比力，稱為尺寸效應(yīng)[1-3]或內(nèi)桿臂效應(yīng)[4-6]。隨著捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)精度日益提升，其應(yīng)用環(huán)境也更加復(fù)雜多樣，尺寸效應(yīng)誤差不能忽略，需進(jìn)行標(biāo)定與補(bǔ)償。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中的尺寸效應(yīng)標(biāo)定方法主要可以分為兩類[7]：基于三軸轉(zhuǎn)臺的分立式方法[8]和基于卡爾曼濾波的系統(tǒng)級方法[9]。傳統(tǒng)分立式方法簡單直觀，但嚴(yán)重依賴轉(zhuǎn)臺精度，對轉(zhuǎn)臺鉛垂度、正交度均作理想假設(shè)。特別地，文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步要求轉(zhuǎn)臺三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸交于一點(diǎn)。基于卡爾曼濾波的系統(tǒng)級方法能夠克服分立式方法的一些不足，但其自身也存在無法獲得解析解、可觀性受限以及收斂速度慢等諸多問題。另外，國內(nèi)針對系統(tǒng)級方法的相關(guān)研究起步較晚，工程應(yīng)用不多，方法遠(yuǎn)不成熟[10]。文獻(xiàn)[10]基于模觀測標(biāo)定方法提出了轉(zhuǎn)動激勵模和矢量觀測標(biāo)定方法，降低了標(biāo)定對轉(zhuǎn)臺的依賴，但該方法不能完成尺寸效應(yīng)參數(shù)的標(biāo)定。

針對上述問題，提出了一種基于轉(zhuǎn)臺誤差隔離的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定方法。該方法屬于分立式方法，但無需對轉(zhuǎn)臺鉛垂度、正交度及旋轉(zhuǎn)中心等作理想假設(shè)，也不需要轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速等作為輸入，僅依靠陀螺組件、加速度計(jì)組件輸出即可完成標(biāo)定。通過不同轉(zhuǎn)速下的重復(fù)標(biāo)定試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的穩(wěn)定性，通過搖擺環(huán)境下的純慣性定位試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 加速度計(jì)尺寸效應(yīng)模型

圖1展示了加速度計(jì)組件在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中的安裝關(guān)系。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的陀螺組件和加速度計(jì)組件通過標(biāo)定技術(shù)可以規(guī)范化至同一正交坐標(biāo)系，稱為載體坐標(biāo)系b。圖中三個(gè)圓柱體為加速度計(jì)，中心黑點(diǎn)為各加速度計(jì)敏感點(diǎn)，ax、ay、az為各自敏感軸單位矢量。為敘述方便，以X加速度計(jì)敏感點(diǎn)為原點(diǎn)，以加速度計(jì)組件的三個(gè)敏感軸方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立非正交坐標(biāo)系，稱為加速度計(jì)組件坐標(biāo)系a。

圖1 尺寸效應(yīng)示意圖Fig.1 Diagram of size effect

三個(gè)加速度計(jì)敏感軸單位矢量在b系的投影為：

b系到a系的轉(zhuǎn)換矩陣

a系到b系的轉(zhuǎn)換矩陣

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，各加速度計(jì)由尺寸效應(yīng)導(dǎo)致的比力偏差為

2 尺寸效應(yīng)參數(shù)自標(biāo)定方法

2.1 參數(shù)辨識模型

根據(jù)b系定義，設(shè)

其中，Ryb、Rzb為b系下Y、Z加速度計(jì)相對X加速度計(jì)的位置矢量。

尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定采用定軸勻速旋轉(zhuǎn)策略，角加速度影響可忽略不計(jì)，將式（5）帶入式（4）有

加速度計(jì)組件在b系的測量值

即

其中

由于向心力始終與旋轉(zhuǎn)軸垂直，式(10)等號右側(cè)第1項(xiàng)為0，可進(jìn)一步化簡為

式（11）中，lb可根據(jù)定軸旋轉(zhuǎn)陀螺組件輸出的平均值求出，fb、分別為加速度計(jì)組件、陀螺組件輸出的瞬時(shí)值，gb可根據(jù)靜止?fàn)顟B(tài)加速度計(jì)組件輸出的平均值求出。也就是說，除Ryb、Rzb外，式（11）中各項(xiàng)均已知或可通過加速度計(jì)組件和陀螺組件測量得到。選擇合適的標(biāo)定流程，即可對Rby、Rzb進(jìn)行求解，詳細(xì)步驟將在2.2節(jié)論述。

基于式（11），僅通過捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)自身輸出即可完成尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定，既不需要對三軸轉(zhuǎn)臺鉛垂度、正交度等做出假設(shè)，也不需要轉(zhuǎn)臺姿態(tài)角、轉(zhuǎn)速等作為已知輸入。特別是式（11）中不包含與轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)軸相關(guān)的R0b項(xiàng)，僅要求單次定軸轉(zhuǎn)動中b系坐標(biāo)原點(diǎn)相對轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)軸的位置矢量保持不變即可，而不要求整個(gè)標(biāo)定流程中不同位置的多次定軸轉(zhuǎn)動中b系坐標(biāo)原點(diǎn)相對轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)軸的位置矢量均保持一致。也就是說，基于式（11）設(shè)計(jì)的標(biāo)定方法不需要假設(shè)轉(zhuǎn)臺三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸交于一點(diǎn)。綜上所述，基于上述參數(shù)辨識模型設(shè)計(jì)的尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定方法從原理上降低了標(biāo)定方法對轉(zhuǎn)臺的依賴。

從式（4）和式（11）不難發(fā)現(xiàn)，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)尺寸效應(yīng)參數(shù)的標(biāo)定和補(bǔ)償均以加速度計(jì)安裝關(guān)系矩陣的正確標(biāo)定為前提。對于工程上常用的分立式標(biāo)定方法，轉(zhuǎn)臺正交度誤差直接影響Mba標(biāo)定精度。例如，轉(zhuǎn)臺長期使用過程中，慣導(dǎo)重復(fù)拆裝易造成中框零位變化，最大變化量可達(dá)角分級，對Mba中相應(yīng)元素的影響也為角分級。在靜態(tài)尋北過程中，1角分安裝誤差約導(dǎo)致0.3密位航向誤差。在動態(tài)導(dǎo)航過程中，1小時(shí)內(nèi)純慣性導(dǎo)航定位誤差可能由百米量級增大到公里量級。Mba標(biāo)定中的轉(zhuǎn)臺誤差隔離問題不是本文討論的重點(diǎn)，相關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[10]。

2.2 標(biāo)定流程設(shè)計(jì)

加速度計(jì)組件的安裝誤差角均為小量，為簡化分析過程，不妨將均視作單位矩陣，即

設(shè)

顯然

將式（12）～（15）帶入式（11）有

其中

式（16）中共6個(gè)未知元素，至少需要6組測試來完成方程求解。其中，每組測試包含1個(gè)靜態(tài)測試和1個(gè)定軸勻速旋轉(zhuǎn)測試。靜態(tài)測試用以獲取gb，動態(tài)測試用以獲取fb和，lb和Kω均可由求得。需要特別指出的是，靜態(tài)測試位置可選為相應(yīng)定軸勻速旋轉(zhuǎn)測試中捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)所經(jīng)過的任一位置，這是由于lbT·gb在定軸旋轉(zhuǎn)過程中始終為定值。

圖2 尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定流程Fig.2 Calibration procedure of size effect parameters

設(shè)定軸勻速旋轉(zhuǎn)測試角速度為ω，即選取如圖2所示6個(gè)角速度組合進(jìn)行定軸勻速旋轉(zhuǎn)測試，圖中虛線表示旋轉(zhuǎn)軸方向，實(shí)線表示各加速度計(jì)敏感軸方向。實(shí)際標(biāo)定過程中，旋轉(zhuǎn)軸可固定為三軸轉(zhuǎn)臺外框軸，通過調(diào)整中框、內(nèi)框達(dá)到各組合狀態(tài)。將上述6個(gè)角速度組合分別代入式（16），聯(lián)立方程組，等式右側(cè)

其中

矩陣KA滿秩，條件數(shù)為2.618，非奇異，可通過最小二乘法求解R。

2.3 載體坐標(biāo)系原點(diǎn)位置優(yōu)化

從2.1節(jié)和2.2節(jié)的分析不難看出，選取任意一點(diǎn)為載體坐標(biāo)系原點(diǎn)均可得到相應(yīng)的尺寸效應(yīng)參數(shù)。尺寸效應(yīng)參數(shù)本質(zhì)上是加速度計(jì)間的相對位置關(guān)系，可由6維向量完全表示。載體坐標(biāo)系原點(diǎn)的選取不影響尺寸效應(yīng)標(biāo)定精度。

對式(20)求偏導(dǎo)數(shù)有

其中

當(dāng)式（21）偏導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，優(yōu)化函數(shù)取到最小值，即

與前文推導(dǎo)過程相適應(yīng)，有

優(yōu)化后的尺寸效應(yīng)參數(shù)

事實(shí)上，式（23）與文獻(xiàn)[8]的推導(dǎo)結(jié)果完全一致，但矩陣形式的表達(dá)更為簡潔，有助于理解其物理含義。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 重復(fù)性測試

為避免逐次啟動重復(fù)性對試驗(yàn)結(jié)果影響，標(biāo)定及驗(yàn)證試驗(yàn)在一次通電并充分預(yù)熱的恒溫條件下進(jìn)行。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)陀螺零偏穩(wěn)定性優(yōu)于0.005 °/h，加速度計(jì)零偏穩(wěn)定性優(yōu)于2×10-5g。溫控三軸轉(zhuǎn)臺角位置定位精度優(yōu)于3′，速率精度及平穩(wěn)性優(yōu)于5×10-5（360°平均），溫度波動度優(yōu)于±0.5 ℃。

表1 加速度計(jì)組件尺寸效應(yīng)參數(shù)（毫米）Tab.1 Size effect parameters of the cluster of accelerators(mm)

分別采用10 °/s、30 °/s和60 °/s轉(zhuǎn)速進(jìn)行加速度計(jì)尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定，各標(biāo)定7次，尺寸效應(yīng)參數(shù)均值及標(biāo)準(zhǔn)差見表1。

10 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定，尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差不大于0.15 mm；30 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定，尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差不大于0.02 mm；60 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定，尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差不大于0.01 mm?？梢钥吹?，標(biāo)定轉(zhuǎn)速越大，尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差越小，即標(biāo)定方法重復(fù)性越好。另外，隨著標(biāo)定轉(zhuǎn)速增大，尺寸效應(yīng)參數(shù)逐漸收斂，30 °/s和60 °/s旋轉(zhuǎn)尺寸效應(yīng)參數(shù)均值之間的誤差已不大于0.03 mm。

3.2 有效性測試

通過搖擺狀態(tài)下純慣性導(dǎo)航試驗(yàn)，驗(yàn)證捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定方法的有效性。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)水平放置在三軸轉(zhuǎn)臺上，靜置1000 s，然后轉(zhuǎn)臺外框進(jìn)行正弦搖擺運(yùn)動，搖擺幅度30 °，搖擺頻率0.15 Hz，持續(xù)4000 s后停止搖擺。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)時(shí)間設(shè)為600 s?；谝陨喜蓸訑?shù)據(jù)，分別在不補(bǔ)償尺寸效應(yīng)參數(shù)及補(bǔ)償前述3種標(biāo)定條件下所得尺寸效應(yīng)參數(shù)的情況下，計(jì)算捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)純慣性導(dǎo)航定位誤差（圖3）及各時(shí)刻位置誤差均值（表2）。

圖3 尺寸效應(yīng)補(bǔ)償定位誤差比較Fig.3 Comparison of the position error of size effect compensation

表2 尺寸效應(yīng)補(bǔ)償平均定位誤差比較（米）Tab.2 Comparison of the mean position error of size effect compensation(m)

不補(bǔ)償與補(bǔ)償尺寸效應(yīng)參數(shù)相比，平均定位誤差由補(bǔ)償前的3100 m以上減小到補(bǔ)償后的150 m以內(nèi)，誤差降低幅度達(dá)95%以上。隨著標(biāo)定轉(zhuǎn)速的增大，定位誤差也逐漸降低。具體而言，30 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定與10 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定相比，平均定位誤差降低約15%；60 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定與30 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定相比，平均定位誤差略有降低。

可見，基于轉(zhuǎn)臺誤差隔離的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定方法能顯著提高捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)搖擺狀態(tài)下的純慣性定位精度。

在一次通電并充分預(yù)熱的恒溫條件下，60 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定與30 °/s旋轉(zhuǎn)標(biāo)定相比，尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差由不大于0.02 mm提升到不大于0.01 mm，平均定位誤差僅略有降低（不大于1%）。以60 °/s轉(zhuǎn)速為例，0.01mm尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定誤差造成的加速度誤差約為1 μg?？紤]到實(shí)際使用環(huán)境（溫度變化及逐次啟動重復(fù)性），捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)加速度計(jì)逐次啟動零偏重復(fù)性約為20 μg。從工程應(yīng)用角度而言，0.01 mm的尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定精度對其性能提升幫助有限。

4 結(jié) 論

基于轉(zhuǎn)臺誤差隔離的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定方法不需要轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速等作為輸入，完全依靠慣性器件輸出完成尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定，從原理上降低了標(biāo)定對轉(zhuǎn)臺的依賴，在轉(zhuǎn)臺精度受限的情況下，使高精度慣導(dǎo)的標(biāo)定成為可能。

不同標(biāo)定轉(zhuǎn)速下的重復(fù)試驗(yàn)表明，基于轉(zhuǎn)臺誤差隔離的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)尺寸效應(yīng)參數(shù)標(biāo)定方法具有良好的重復(fù)性。搖擺狀態(tài)下的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)純慣性定位試驗(yàn)表明，該方法能夠顯著提高角運(yùn)動情況下系統(tǒng)純慣性定位精度，定位誤差降幅達(dá)到95%以上。