歐 攀,王 沁,段靜靜,周文浩

(西南交通大學 數(shù)學學院，四川 成都 611756)

現(xiàn)代投資理論的核心是投資組合理論。1952年，MARKOWITZ提出的均值方差模型,開創(chuàng)了投資組合量化風險的先例。在均值方差模型中，假設資產(chǎn)組合收益率服從正態(tài)分布，用二階中心矩(方差)作為風險度量指標、一階矩(期望)作為收益度量指標，研究在一定風險水平上取得最大的預期收益或在一定收益水平上使風險達到最小的投資組合選擇問題。

近年來，越來越多的學者關(guān)注資產(chǎn)組合研究。如王延章等[1]考慮投資者在實際投資時更關(guān)心資產(chǎn)收益低于預期收益的那部分風險，因此將下半方差模型應用于債券投資；鄭偉[2]指出收益分布并非對稱的正態(tài)分布；艾克鳳[3]研究指出資產(chǎn)的收益率服從非對稱的厚尾分布；DITTMAR[4]的研究表明投資者在做出投資組合選擇時考慮資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益率高階矩的情況，在期望和方差相同的情況下絕大多數(shù)投資者偏愛具有較大的三階中心矩的收益率；BRITO等[5]在半方差度量風險的基礎上引入三階矩偏度系數(shù)；王波等[6]考慮用CVaR代替方差度量資產(chǎn)風險，建立投資組合模型，并選取滬市和深市的8支股票進行實證分析。而后大量學者從信息熵的角度去度量風險，如徐湘[7]建立了可做空的Tsallis廣義熵投資決策模型；RAO等[8]給出累積熵投資組合模型；張鵬等[9]給出了熵約束的投資組合模型；朱業(yè)春等[10]給出了熵補償?shù)腂lack-Litterman投資組合模型；宋燕玲等[11]給出了帶偏度約束的正弦熵投資組合模型。

筆者考慮從收益率下跌風險的角度，用負半熵和半方差共同量化下跌的信息，引入偏度量化高階矩風險，從而構(gòu)建負半熵-下半方差-偏度投資組合模型，并給出了模型的隱式解，以期為投資者進行資產(chǎn)配置、資產(chǎn)選擇和風險預測時提供一定的指導。

1 模型的構(gòu)建與推導

1.1 建立模型

假設n種風險資產(chǎn)之間相互獨立，以收益率的均值來刻畫收益，以收益率的下半方差和負半熵量化風險，既考慮了未來收益率的隨機不確定性，又兼顧了股市漲跌信息隱形的不對稱性，使風險測度指標更加全面、精確和合理。偏度是衡量各個可能的收益率對期望值偏離的大小，偏度通常越大越好(一般大于0即可)。研究目標是最大化收益的同時最小化風險，故構(gòu)建下半方差和負半熵盡量小、偏度盡量大的目標函數(shù)以使風險盡可能小，同時構(gòu)建組合資產(chǎn)的期望收益率盡量大的目標函數(shù)以使收益盡可能大。建立的多目標投資組合優(yōu)化模型為：

(1)

1.2 模型的推導

對于多目標組合投資模型，基于文獻[12]的線性解法，將量化組合資產(chǎn)收益低于預期收益的那部分風險的下半方差與負半熵作為目標函數(shù)，將組合資產(chǎn)的偏度與收益放于約束條件中，從而轉(zhuǎn)化為負半熵-下半方差-偏度的單目標模型(negative half entropy lower semi-variance skewness portfolio model，簡稱NE-SV-SK模型)：

minSV(w)+φH-(w)

(2)

其中,φ為調(diào)節(jié)參數(shù),需滿足φ≥0。

(3)

(4)

求解式(4)可得最優(yōu)解w*的隱式解：

(5)

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)描述

表1 瀘深300的特征值和貢獻率

從表1可以看出，前十個特征值的累計方差貢獻率已達60%，因此考慮通過前十個特征值產(chǎn)生的載荷矩陣來挑選18只股票，以此代表瀘深300指數(shù)的股票信息，所選股票信息如表2所示。

表2 挑選的18只股票信息

應用矩估計計算出各只股票的樣本均值、樣本方差、下半方差、負半熵、樣本偏度，結(jié)果如表3所示。從表3可以看出：①在18只股票中，股票S2、S3、S10的下半方差比其方差要小得多，可見下半方差在方差中并非是對稱的，下半方差能更加準確地度量股票收益向下波動的那部分風險；②18只股票中負半熵最小的是S5，而其下半方差和方差卻比很多其他股票要大，并且對比18只股票的負半熵與下半方差可知，兩者并沒有呈現(xiàn)出相同的增減趨勢，這說明雖然負半熵和下半方差均是度量低于期望收益風險的，但兩者度量資產(chǎn)風險的角度不同。

表3 各只股票的樣本均值、下半方差與負半熵、樣本偏度

2.2 模型實證分析

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法和梯度下降法對模型進行編程求解，模型中存在調(diào)節(jié)參數(shù)φ和收益參數(shù)λ，給出了相同收益參數(shù)、不同調(diào)節(jié)參數(shù)下18只股票的投資組合情況，如表4所示。

從表4可以看出：①模型求解的投資權(quán)重分布在第3、6、7、14、16、18只股票，沒有呈現(xiàn)集中分布現(xiàn)象，符合分散投資理念。②隨著調(diào)節(jié)參數(shù)的逐漸增大，負半熵的作用逐漸顯現(xiàn)，使得股票S3、S6的投資權(quán)重呈下降趨勢，股票S7的投資權(quán)重呈上升趨勢。這表明用負半熵衡量風險時，股票S3、S6被度量出了更多的負半熵風險，股票S7被度量出了更少的負半熵風險。③隨著調(diào)節(jié)參數(shù)φ的逐漸增大，下半方差呈增大趨勢，負半熵呈減小趨勢，這與負半熵在目標函數(shù)中比例變大相吻合。同時，不同的調(diào)節(jié)參數(shù)意味對熵度量風險的側(cè)重不同，從偏度指標中可以看出在調(diào)節(jié)參數(shù)取0.000 02時偏度處于極大值，此時模型較佳。

表4 不同調(diào)節(jié)參數(shù)下的資產(chǎn)組合情況(r0=0.000 3)

相同調(diào)節(jié)參數(shù)、不同收益參數(shù)下18只股票的投資組合情況如表5所示。

從表5可以看出：①隨著收益參數(shù)r0的增大，呈現(xiàn)股票S3、S7、S18替代股票S6、S16的現(xiàn)象，可見股票S3、S7和S18發(fā)生超額收益的可能性更大。②在固定調(diào)節(jié)參數(shù)φ的條件下，隨著收益參數(shù)r0的增大，負半熵與下半方差都呈現(xiàn)增大的趨勢，這與收益更大、風險更大相吻合。③收益參數(shù)與調(diào)節(jié)參數(shù)為模型預設參數(shù)，分別表示資產(chǎn)組合的最小收益和負半熵的權(quán)重比例，不同投資者對收益和負半熵風險偏好的要求不同，收益參數(shù)和調(diào)節(jié)參數(shù)可根據(jù)實際情況進行調(diào)整。

2.3 模型對比

為進一步說明NE-SV-SK模型中負半熵和偏度對投資組合的影響，令NE-SV-SK模型中參數(shù)φ=0.000 02，r0=0.000 3，并與經(jīng)典馬科維茨模型(MV)、半方差模型(SV-SK)進行比較，具體結(jié)果如表6所示。

從表6可以看出：①與SV-SK模型相比，NE-SV-SK模型中股票S3、S6、S16、S17的權(quán)重比例有所減小，股票S7、S14、S18的權(quán)重比例有所增加，這可能是負半熵度量出了股票S3、S6、S16、S17更多的負半熵風險導致的結(jié)果；②在股票S16、S18上的權(quán)重比例存在顯著變化，投資者在進行選股時應給予更多理性考慮；③觀察收益率、下半方差、負半熵、偏度指標，NE-SV-SK模型比MV模型、SV-SK模型的收益更大，風險度量指標中下半方差和負半熵均更小，且組合資產(chǎn)偏度也存在明顯提升?？梢奛E-SV-SK模型更能反映組合資產(chǎn)所面臨的風險，能更有效地規(guī)避風險，為投資者在配置資產(chǎn)時提供更加合理的選擇。

表5 NE-SV-SK模型在不同收益參數(shù)下的資產(chǎn)組合情況(φ=0.000 02)

表6 模型結(jié)果比較

3 結(jié)論

考慮到投資者更關(guān)心資產(chǎn)收益能否達到預期收益的心理，通過用負半熵補償下半方差衡量資產(chǎn)收益低于預期收益的風險，并在約束條件中引入偏度系數(shù)，構(gòu)建了NE-SV-SK模型。并選取18只股票進行實證分析，發(fā)現(xiàn)NE-SV-SK模型能獲得更大的收益，更好地規(guī)避風險，并且發(fā)生超額收益的可能性更大。在投資者進行組合投資時，NE-SV-SK模型能給予投資者更多理性參考，對股票選擇和風險預測也具有一定的指導意義。