朱繼宏，周 涵，王 創(chuàng)，周 璐，袁上欽，張衛(wèi)紅

（1.西北工業(yè)大學機電學院航宇材料結(jié)構(gòu)一體化設計與增材制造裝備技術國際聯(lián)合研究中心，西安710072； 2.西北工業(yè)大學金屬高性能增材制造與創(chuàng)新設計工信部重點實驗室，西安710072； 3.西北工業(yè)大學無人系統(tǒng)技術研究院，智能材料與結(jié)構(gòu)研究所，西安 710072）

拓撲優(yōu)化[1]是根據(jù)指定載荷工況、性能指標和約束條件合理分配材料、確定最優(yōu)傳力路徑的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法。相比尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化，拓撲優(yōu)化不依賴于初始構(gòu)型的選擇，具有更高的設計空間，是尋求高性能、輕量化、多功能創(chuàng)新結(jié)構(gòu)的有效設計方法，現(xiàn)已廣泛應用于航空航天[2–3]、汽車制造[4]、建筑設計[5]等技術領域。圖1顯示了A320機艙鉸鏈支架的拓撲優(yōu)化結(jié)果，該結(jié)構(gòu)在滿足強度要求下實現(xiàn)了64%的減重效果[6]；圖2是對A380前緣肋進行拓撲、尺寸和形狀優(yōu)化設計，采用高強度鋁合金加工的原型件均滿足各項機械性能要求[7]。自Bends?e和Kikuchi[8]在1988年首次基于均勻化方法設計結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型，拓撲優(yōu)化發(fā)展突飛猛進，研究內(nèi)容越來越豐富，從最初以結(jié)構(gòu)柔順度為目標函數(shù)的剛度設計逐漸擴展到具有極端性能（負泊松比、零熱膨脹系數(shù)等）的周期性微結(jié)構(gòu)設計[9–11]、提高導熱性能的散熱結(jié)構(gòu)設計[12–15]、多組件系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計[16–18]、宏/微觀結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化設計[19–24]等研究方向。文獻[3，25–26]對拓撲優(yōu)化的進展和應用進行了詳細的綜述。

拓撲優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)通常具有復雜幾何構(gòu)型，傳統(tǒng)制造技術（如機械加工，鑄造）難以制備，往往需要在考慮可制造性的基礎上進行二次設計，無法充分發(fā)揮出拓撲優(yōu)化的優(yōu)勢。

增材制造（Additive Manufacturing，AM）技術的出現(xiàn)為復雜結(jié)構(gòu)件的制備提供了便利，通過材料逐層累加的方式來制備零件，尤其對復雜構(gòu)型的結(jié)構(gòu)有較強的適用性，在原型快速制造和小批量生產(chǎn)中制造效率更為顯著。此外，增材制造對復雜結(jié)構(gòu)的制造能力也促進了整體結(jié)構(gòu)設計，減少零件數(shù)量和裝配工序，特別適用于成形拓撲優(yōu)化設計的復雜結(jié)構(gòu)件。經(jīng)過30多年的學術研究和實際應用，AM已經(jīng)發(fā)展出立體光固化成型（Stereolithography，SLA）[27]、選擇性激光燒結(jié)（Selective Laser Sintering，SLS）[28]、選擇性激光熔融（Selective Laser Melting，SLM）[29]、熔融沉積成型（Fused Deposition Modeling，F(xiàn)DM）[30]等多種技術，可成形材料涵蓋金屬、非金屬、復合材料、生物材料等，可成形結(jié)構(gòu)件從微納米元器件到數(shù)米的大型結(jié)構(gòu)件。AM以其強大的個性化制造能力突破了傳統(tǒng)制造技術的桎梏，是先進制造領域中的重要組成部分，在航空航天、機械電子、新能源、醫(yī)療器械、建筑領域具有廣闊的應用前景[2,31–34]。

圖1 空客A320機艙鉸鏈支架的拓撲優(yōu)化Fig.1 Topology optimization of A320 nacelle hinge bracket

圖2 拓撲、尺寸和形狀優(yōu)化后的A380前緣肋Fig.2 Topology, sizing and shape optimized A380 prototype leading edge droop nose rib

圖3 世界首輛3D打印摩托車Light RiderFig.3 World’s first 3D printed motorcycle Light Rider

圖4 法國泰雷茲阿萊尼亞宇航公司利用3D打印制造的通信衛(wèi)星天線支架Fig.4 3D printed communication satellite antenna brackets developed by Thales Alenia Space

增材制造為復雜拓撲優(yōu)化構(gòu)型的制備提供了新途徑[35]，讓工程師擺脫制造工藝的限制，在“設計即產(chǎn)品”、“功能性優(yōu)先”的理念下設計輕量化、高性能產(chǎn)品。空中客車子公司APWorks將Altair公司的拓撲優(yōu)化技術與增材制造結(jié)合實現(xiàn)了世界上第一輛3D打印摩托Light Rider，僅重35kg，如圖3所示；法國泰雷茲阿萊尼亞宇航公司（Thales Alenia Space）與3D打印服務公司Polyshape為韓國新型通信衛(wèi)星Koreasat-5A及Koreasat–7設計并打印了天線支架結(jié)構(gòu)，重量比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)減輕了22%，如圖4所示。為進一步推動3D打印結(jié)構(gòu)的發(fā)展應用，由西北工業(yè)大學發(fā)起的“骨干杯”[36]（圖5）、航天科工集團發(fā)起的“天工杯”以及中國商飛3D打印結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計大賽，以比賽的形式激發(fā)科研人員對創(chuàng)新結(jié)構(gòu)設計、促進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化與增材制造的應用。

典型的面向增材制造產(chǎn)品串行設計制造流程如圖6所示[2]，展示了西北工業(yè)大學與中國航天科工三院合作為某型航天器設計并制備的支架結(jié)構(gòu)，首先利用拓撲優(yōu)化進行概念設計，然后利用尺寸、形狀優(yōu)化進行詳細設計，最后基于SLM技術制備零件并進行力學性能測試。

在大范圍應用過程中，研究人員充分意識到增材制造帶來巨大制造潛力的同時也存在其本身的約束，如成形精度、結(jié)構(gòu)連通性、輔助支撐結(jié)構(gòu)、表面粗糙度、材料性能等。面向增材制造設計（Design for Additive Manufacturing，DAM）需要進一步將產(chǎn)品設計與制造融合，充分發(fā)揮增材制造的優(yōu)勢、考慮其成形工藝約束及材料特性，以實現(xiàn)產(chǎn)品性能的最優(yōu)化[37–41]。

為此，本文總結(jié)了近年來面向增材制造的拓撲優(yōu)化技術研究成果，分析了其中存在的挑戰(zhàn)和未來發(fā)展方向。

主要研究方向

將拓撲優(yōu)化設計方案快速重構(gòu)、直接增材制造是當前工業(yè)界實現(xiàn)快速優(yōu)化設計與制造的重要發(fā)展方向。在科學研究與應用中，為進一步發(fā)揮二者的優(yōu)勢并發(fā)掘更多的設計制造潛力，目前面向增材制造的拓撲優(yōu)化研究工作主要體現(xiàn)在兩方面：（1）充分發(fā)揮增材制造潛力設計高性能多尺度/多層級結(jié)構(gòu)；（2）將增材制造工藝約束集成到結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中實現(xiàn)產(chǎn)品設計制造一體化。

1 多尺度/多層級結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化

圖5 “骨干杯”比賽懸臂梁結(jié)構(gòu)部分參賽作品Fig.5 Some entries about cantilever beams in “Backbone Cup” competition

圖6 航天器支架結(jié)構(gòu)拓撲、尺寸優(yōu)化設計與增材制造過程Fig.6 Topology, sizing optimization and additive manufacturing of aerospace bracket

圖7 不同類型的點陣單胞Fig.7 Some lattice unit cells

圖8 SLM制備的TC4三次極值曲面點陣結(jié)構(gòu)件Fig.8 As-built TC4 lattice samples via SLM

多孔微結(jié)構(gòu)/點陣結(jié)構(gòu)作為一種輕質(zhì)、多功能（隔熱、抗沖擊、減震降噪等）結(jié)構(gòu)受到越來越多研究學者的關注[42–44]，圖7顯示了幾種不同構(gòu)型的點陣單胞[45]，其中，圖7（a）和（b）為基于桿特征的單胞，圖7（c）和（d）為基于曲面特征的單胞。利用增材制造（如SLA、SLM）快速精確制備復雜構(gòu)型的點陣結(jié)構(gòu)以及多尺度/多層級結(jié)構(gòu)[46–47]，已成為增材制造與拓撲優(yōu)化融合的重點研究領域。圖8顯示了SLM技術制備的點陣結(jié)構(gòu)[48]。圖9中，西北工業(yè)大學針對衛(wèi)星天線支架結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了宏觀結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型和點陣填充樣式的匹配設計，動響應和重量比原有結(jié)構(gòu)分別降低了25%和17%。圖10所示的支架結(jié)構(gòu)利用OptiStruct軟件的點陣材料拓撲優(yōu)化技術實現(xiàn)了減重設計，并由雷尼紹AM250打印機制造。由于較高的比表面積，點陣結(jié)構(gòu)在換熱器中具有較大的應用潛力。圖11是Swansea大學采用點陣結(jié)構(gòu)為方程式賽車設計的散熱器，具有更高的散熱效率。

近年來多尺度/多層級結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計引起了研究學者的廣泛關注，其設計方法主要有：（1）基于密度投影方法的多層級結(jié)構(gòu)設計；（2）基于大規(guī)模桿/梁參數(shù)優(yōu)化的多層級結(jié)構(gòu)設計；（3）多尺度材料結(jié)構(gòu)一體化設計。

基于密度投影方法屬于一類“退化”的拓撲優(yōu)化方法，取消密度懲罰后密度分布趨于連續(xù)化和梯度化，然后根據(jù)密度投影關系采用點陣結(jié)構(gòu)填充，通常點陣的結(jié)構(gòu)形式比較單一。Zhang等[49]提出了一種基于正六邊形單胞結(jié)構(gòu)設計方法，首先基于均勻化理論建立單胞相對密度與等效物性參數(shù)函數(shù)關系，然后將拓撲優(yōu)化的密度分布投影為構(gòu)型梯度變化的單胞結(jié)構(gòu)。Song等[50]利用相切圓生成不規(guī)則六邊形單胞的輪廓線，然后根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果確定每個單胞內(nèi)孔徑尺寸。Panesar等[45]將拓撲優(yōu)化結(jié)果通過密度投影為梯度純點陣結(jié)構(gòu)和梯度點陣/實體混雜結(jié)構(gòu)，有限元分析結(jié)果表明在相同材料用量下結(jié)構(gòu)剛度滿足：實體結(jié)構(gòu)>梯度點陣與實體混雜結(jié)構(gòu)>梯度純點陣結(jié)構(gòu)>均勻點陣結(jié)構(gòu)，說明宏觀結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型對結(jié)構(gòu)性能起主導作用，而點陣結(jié)構(gòu)在抗整體失穩(wěn)、減震、吸能以及減少成形過程中輔助支撐等方面具有優(yōu)勢。

圖9 西北工業(yè)大學設計的點陣填充的衛(wèi)星天線支架結(jié)構(gòu)Fig.9 A satellite bracket filled with lattice developed by Northwestern Polytechnical University

圖10 鈦合金點陣“蜘蛛”支架Fig.10 A titanium architectural “spider” bracket

圖11 Swansea大學為單座賽車設計的點陣散熱器Fig.11 Lattice-filled intercooler designed by Swansea University for a Formula Student racing car

在基于大規(guī)模桿件的參數(shù)優(yōu)化設計方法中，點陣單胞只充當建模輔助工具，在數(shù)值分析和參數(shù)優(yōu)化過程中以桿結(jié)構(gòu)為基本單元，通過優(yōu)化可得到梯度變化的多層級結(jié)構(gòu)。Chang等[51]和Nguyen等[52]提出了一種尺寸匹配和縮放方法（the size matching and scaling method），首先利用實體單元有限元分析，根據(jù)應力分量與點陣單胞對應位置的桿徑的線性映射關系生成梯度點陣結(jié)構(gòu)，最后過濾掉低效桿單元生成最終的構(gòu)型。值得注意的是，該方法基于啟發(fā)式的策略直接生成點陣結(jié)構(gòu)，計算效率比一般的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法更高，但無法得到最優(yōu)的構(gòu)型。Chen等[53]提出了大規(guī)模點陣結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模方法，首先利用有限元將初始模型離散，然后選擇預定義的點陣單胞替換實體單元并組裝成參數(shù)化點陣結(jié)構(gòu)，最后以桿徑為設計變量建立參數(shù)優(yōu)化模型得到梯度點陣結(jié)構(gòu)。Tang等[46]提出了點陣/蒙皮結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法，如圖12所示，在該方法中將結(jié)構(gòu)分為實體區(qū)域和點陣區(qū)域，并且識別出蒙皮表面（如裝配表面），然后進行點陣填充并采用BESO方法對點陣中的梁結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化，因BESO方法不需要靈敏度分析，易集成到商業(yè)軟件中，比較適合工程結(jié)構(gòu)設計。

多尺度材料結(jié)構(gòu)一體化則是以均勻化方法為紐帶建立材料微觀結(jié)構(gòu)與宏觀等效參數(shù)聯(lián)系，可同時對宏觀結(jié)構(gòu)和材料微觀構(gòu)型進行優(yōu)化從而獲得更高性能的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。Rodrigues等[24]利用多層級拓撲優(yōu)化實現(xiàn)了宏觀結(jié)構(gòu)和材料微觀構(gòu)型設計，Coelho等[54]將該方法拓展到三維結(jié)構(gòu)中，但該方法中結(jié)構(gòu)設計和材料設計相互獨立，并未實現(xiàn)真正的協(xié)同優(yōu)化。Liu[21]和Chen等[23]分別基于密度法和水平集法提出了具有單一微結(jié)構(gòu)的材料結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化方法，這種方法為減小計算規(guī)模，保證結(jié)構(gòu)可制造性，過度強調(diào)微觀結(jié)構(gòu)的一致性，難以充分發(fā)掘材料承載潛力。Xia[10]和Breitkopf[55]基于FE2框架提出了更加自由的設計方法，宏觀結(jié)構(gòu)和空間各處的材料都能得到最優(yōu)構(gòu)型，但因設計變量數(shù)目龐大，計算效率比較低，而且無法保證相鄰微結(jié)構(gòu)的連接性。Wang等[19–20]提出了基于參數(shù)化點陣的宏/微觀協(xié)同優(yōu)化方法，通過兩類設計變量同步優(yōu)化宏觀材料分布和點陣構(gòu)型變化，大幅降低了設計變量規(guī)模，保證了相鄰微結(jié)構(gòu)的連接性。針對三點彎曲簡支梁（MBB梁）的設計結(jié)果如圖13[19]所示，而且通過數(shù)值仿真和試驗驗證了梯度點陣結(jié)構(gòu)比均勻點陣具有更優(yōu)異的力學性能。

圖12 發(fā)動機支架的點陣設計流程Fig.12 Lattice optimization design for engine bracket

2 考慮增材制造工藝約束的拓撲優(yōu)化方法

增材制造特征尺寸限制、連通性要求、懸空結(jié)構(gòu)等構(gòu)成了典型的工藝約束。比如在Ti–6Al–4V鈦合金SLM成形工藝中，當桿徑低于0.3mm或懸空角低于20°時就會制備失敗[56]。圖14則表明了FDM和SLA成形工藝通常以45°為臨界懸空角，同時也說明了結(jié)構(gòu)尺寸對成形質(zhì)量其有重要的影響。如何將這些工藝約束引入拓撲優(yōu)化中是近期研究的熱點問題。

（1）尺寸約束。

受限于3D打印設備成形精度，幾何特征尺寸（如細小孔徑、薄壁結(jié)構(gòu)、細桿結(jié)構(gòu)等）約束需要合理控制，而拓撲優(yōu)化往往會產(chǎn)生不利于制造的細小分支結(jié)構(gòu)。Sigmund[57]提出的Heaviside密度過濾方法在消除棋盤格現(xiàn)象和中間密度單元的同時也能實現(xiàn)結(jié)構(gòu)最小間隙尺寸控制。Wang等[58]提出了魯棒性過濾–閾值投影拓撲優(yōu)化方法，通過控制密度投影參數(shù)實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)最小尺寸控制。Zhou等[59]在過濾–閾值投影拓撲優(yōu)化的基礎上，引入密度場梯度構(gòu)造實體/空結(jié)構(gòu)識別函數(shù)和最小特征尺寸控制函數(shù)，具有較高的計算效率。Yang等[60]分別比較了中心差分、Prewitt運算和Sobel運算三種方法得到的密度場梯度，通過實例驗證了邊界修正的Prewitt運算更加準確地描述梯度信息。Zhang等[61]和Wang等[62]分別基于移動變形組件方法提出了最小尺寸控制方法，直接約束組件幾何設計變量，并在不同組件相交處施加簡單幾何約束控制特征尺寸。Liu[63]提出了水平集方法下的分段尺寸控制技術，能夠動態(tài)約束各組件的特征尺寸，在不規(guī)則設計域中也可以靈活的實現(xiàn)尺寸控制。拓撲優(yōu)化中的尺寸控制技術發(fā)展比較成熟，已集成到商業(yè)軟件OptiStruct中，如圖15所示，細小分支結(jié)構(gòu)在施加最小尺寸控制后消失。

圖13 基于參數(shù)化點陣的MBB梁優(yōu)化設計結(jié)果Fig.13 CAD models and additively manufactured samples of MBB beam designed via parameterized lattice

圖14 典型的增材制造工藝約束Fig.14 Some typical additive manufacturing process constraints

（2）連通性約束。

增材制造成形后依據(jù)不同工藝需去除殘余的未固化樹脂、未熔融粉末和輔助支撐，要求結(jié)構(gòu)內(nèi)部不能含有封閉空腔。Liu等[64–65]提出了虛擬溫度法來保證結(jié)構(gòu)連通性，在空腔處賦予高導熱材料而實體結(jié)構(gòu)賦予絕熱材料，當結(jié)構(gòu)出現(xiàn)閉合孔洞時會出現(xiàn)局部高溫現(xiàn)象，通過約束整體最高溫度可以保證結(jié)構(gòu)連通性，該方法因引入額外有限元分析過程而增加了計算量。Zhou等[66]在特征驅(qū)動的拓撲優(yōu)化方法上引入了連通性約束，即控制孔洞特征中心坐標始終位于設計域外，與自由特征驅(qū)動拓撲優(yōu)化方法相比只需重新約束部分設計變量上下限，并未增加算法的復雜度，針對扭轉(zhuǎn)梁的拓撲優(yōu)化構(gòu)型如圖16所示。

（3）自支撐結(jié)構(gòu)設計。

當結(jié)構(gòu)存在較大懸空角時，需額外增加輔助支撐結(jié)構(gòu)以避免成形過程中材料塌陷，如圖17[67]所示。當成形完成后再通過機械加工去除，但對于復雜結(jié)構(gòu)一般沒有足夠空間進行機加，另外輔助支撐結(jié)構(gòu)降低了材料利用率，并增加了后期工藝困難和時間成本。

為了減少支撐結(jié)構(gòu)的使用，Morgan等[68]通過優(yōu)化成形方向使支撐結(jié)構(gòu)材料用量最小。Hu等[69]利用初始模型的形狀優(yōu)化和成形方向優(yōu)化以減少支撐結(jié)構(gòu)使用。Mezzadri等[70]利用對支撐結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，生成的樹狀支撐結(jié)構(gòu)比現(xiàn)有軟件具有更高的材料利用率，如圖18所示。Zhou等[71]提出了基于Lindenmayer系統(tǒng)的樹狀支撐生成方法，如圖19所示，減少支撐材料用量，且比傳統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)更易去除。

圖15 OptiStruct軟件下C型夾拓撲優(yōu)化構(gòu)型Fig.15 Topology optimization of C-clip via OptiStruct

圖16 特征驅(qū)動方法對扭轉(zhuǎn)梁的拓撲優(yōu)化設計Fig.16 Topology optimization of torsional beams via feature-driven method

圖17 增材制造的汽車立柱結(jié)構(gòu)Fig.17 A pair of additively manufactured suspension upright

圖18 拓撲優(yōu)化生成的支撐結(jié)構(gòu)Fig.18 Support structure generated via topology optimization

圖19 樹狀支撐結(jié)構(gòu)Fig.19 Tree-like support structure

將懸空角約束引入拓撲優(yōu)化問題，從設計層面消除支撐結(jié)構(gòu)是目前的研究熱點。Gaynor等[72]基于通過密度投影方法實現(xiàn)SIMP法的自支撐結(jié)構(gòu)設計，只有滿足懸空角約束的材料單元才會投影為實體，而且通過控制過濾半徑可同時約束結(jié)構(gòu)最小尺寸。Mass等[73]通過虛擬骨架法設計自支撐結(jié)構(gòu)，首先基于多桿離散系統(tǒng)的優(yōu)化得到滿足懸空角約束的骨架結(jié)構(gòu)，并將該骨架結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為連續(xù)體，然后通過連續(xù)體拓撲優(yōu)化得到最優(yōu)構(gòu)型，由于拓撲優(yōu)化是在生成的骨架結(jié)構(gòu)上進行，因此最終設計結(jié)構(gòu)也滿足懸空角約束，懸臂梁結(jié)構(gòu)的自由拓撲優(yōu)化結(jié)果和自支撐拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖20所示。Guo等[74]分別將最大懸空角約束引入MMC和MMV方法中，同時以成形方向為設計變量實現(xiàn)了自支撐結(jié)構(gòu)設計。Zhang等[75]提出了基于特征多邊形孔洞的自支撐結(jié)構(gòu)設計方法，n（n>3）邊形可以通過n個三角形進行布爾求并運算得到，施加懸空角約束并結(jié)合特征多邊形融合算法，得到自支撐結(jié)構(gòu)。

面臨的挑戰(zhàn)

1 微結(jié)構(gòu)/點陣性能預測

在面向增材制造的大規(guī)模多層級結(jié)構(gòu)分析和拓撲優(yōu)化中，研究人員通常將均勻化理論作為宏/微觀性能表征的橋梁，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)多尺度分析[19,76–77]。均勻化理論[78]通過對位移場進行小參數(shù)漸進展開并應用變分原理實現(xiàn)多尺度分析，不僅可以計算材料的等效參數(shù)而且可以模擬不同尺度上的應力分布，廣泛應用于復合材料多尺度力學分析[79–80]和周期性微結(jié)構(gòu)的設計[9,81]。

Zhang等[11]提出了基于應變能的均勻化方法預測材料等效性能，根據(jù)微結(jié)構(gòu)與等效均質(zhì)體應變能相等的關系即可求解微結(jié)構(gòu)的等效性能。文獻[82–83]中闡述了等效熱膨脹系數(shù)和等效熱傳導系數(shù)的預測方法，并驗證了該方法與漸進展開的均勻化理論預測結(jié)果基本一致。

均勻化理論基于周期性假設和微結(jié)構(gòu)無窮小的尺度分離假設建立[84]，而增材制造的點陣結(jié)構(gòu)或多層級結(jié)構(gòu)具有非周期性和尺度關聯(lián)特征，均勻化方法表征微結(jié)構(gòu)性能存在較大偏差。圖21[85]顯示了不同尺度因子下周期性微結(jié)構(gòu)的等效體積模量，隨著尺度因子增大，基于Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件的等效體積模量逐漸趨向于基于均勻化的等效體積模量，只有當尺度因子趨向于無窮大的時候均勻化方法才能準確表征周期性微結(jié)構(gòu)的等效性能。為此，Yan等[86]利用擴展多尺度有限元法研究了點陣的尺度效應并應用于多層級結(jié)構(gòu)設計；Wu等[87]將子結(jié)構(gòu)法應用到多尺度點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，避免了尺度分離效應。

圖20 懸臂梁結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化Fig.20 Topology optimization of a cantilever beam

圖21 復合材料尺度因子分別在Dirichlet和Neumann邊界下對等效體積模量的影響Fig.21 Effeet of composite scale factor on equivalent Dirichlet and Neumann bulk modulus

Dong等[88–89]提出了梁–實體混合有限元方法分析點陣/實體混合結(jié)構(gòu)，通過剛性單元（Rigid Body Elements，RBEs）連接梁單元與實體單元，避免了尺度效應的同時也提高了計算效率，圖22顯示了一種基于梁單元的桁架點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型。然而采用梁單元離散點陣結(jié)構(gòu)引入了額外的誤差[90]：（1）梁單元在節(jié)點處重疊部分使統(tǒng)計體積偏大；（2）材料堆積使節(jié)點附近實際剛度偏大，雖然可以通過一定補償措施減小誤差，但目前缺少普適性準則。

2 增材制造成形材料的各向異性

增材制造過程中散熱不均使液態(tài)樹脂（SLA）或者熔融金屬（SLM）在不同方向上的固化/結(jié)晶速度不同，產(chǎn)生了非均勻微觀結(jié)構(gòu)與材料力學性能，對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計和應用提出了新的挑戰(zhàn)。

圖23顯示了幾種金屬材料增材制造后不同平面的微結(jié)構(gòu)差異：冷噴銅沉積過程中沉積顆粒在垂直于成形方向上呈等軸狀，而在平行于成形方向上呈透鏡狀[91]；17–4PH不銹鋼在SLM過程中，垂直于成形方向平均只有3%的殘余奧氏體，在平行于成形方向上殘余奧氏體則達到了7%，而殘余奧氏體的存在則會影響材料的強度和硬度[92]；Ti–6Al–4V在SLM過程中晶粒沿著近乎平行于成形方向以柱狀方式生長[93]。因此微觀結(jié)構(gòu)的各向異性導致了材料各向異性[94–95]。Yang等[96]通過試驗驗證了利用SLA成形的樹脂結(jié)構(gòu)件具有橫觀各向同性，鋪層面內(nèi)性能（拉伸模量、屈服強度、斷裂應變）顯著優(yōu)于成形方向上的性能。

圖22 基于梁單元的桁架點陣結(jié)構(gòu)Fig.22 Beam-based solid-lattice hybrid structure

圖23 增材制造成形材料分別在垂直和平行成形方向的微結(jié)構(gòu)Fig.23 Microstructures of additively manufactured material along perpendicular to building direction and parallel to building direction respectively

然而，在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中仍然使用理想各向同性材料，未考慮成形過程中材料各向異性對結(jié)構(gòu)性能和設計過程的影響，同時也忽略了表面粗糙度對幾何模型的影響，可以：（1）優(yōu)化工藝參數(shù)，Thrimurthulu等[97]通過優(yōu)化成形方向提高制件質(zhì)量；（2）改進制造工藝，Yasa等[98]利用選擇性激光腐蝕和激光重熔作為二次工藝提高制件質(zhì)量和精度；（3）材料結(jié)構(gòu)一體化設計，Yang等[96]基于真實情況下的橫觀各向同性材料模型，設計出比理想情況下各向同性材料模型性能更優(yōu)的結(jié)構(gòu)。

3 增材制造材料與結(jié)構(gòu)的疲勞性能

航空器通常對飛行壽命和起降次數(shù)有著較高的指標，因此對機體結(jié)構(gòu)的疲勞性能提出更高的要求，而且可重復使用的航天器也要求結(jié)構(gòu)具有一定的疲勞性能。而增材制造結(jié)構(gòu)的疲勞性能與相應鍛件之間還存在一定差距[99]，圖24（a）顯示了17–4PH不銹鋼在SLM工藝成形后的疲勞性能低于鍛件，因此限制了增材制造產(chǎn)品在航空航天領域中的應用[100–101]，也對下一步開展面向增材制造的拓撲優(yōu)化設計研究提出了新的挑戰(zhàn)。

增材制造產(chǎn)生的未熔融區(qū)域（圖24（b）所示）、氣孔（圖24（c）所示）等缺陷在交變載荷下易發(fā)生裂紋萌生和擴展，最終導致結(jié)構(gòu)疲勞失效?？锥慈毕莸奈恢?、大小、形狀等均影響結(jié)構(gòu)疲勞性能，當孔洞尺寸越大、形狀越不規(guī)則、位置越接近表面時，越容易產(chǎn)生較大的應力集中，而結(jié)構(gòu)越容易發(fā)生疲勞失效，其中，孔洞位置通常在結(jié)構(gòu)疲勞失效中起主導作用[92,102]。增材制造影響制件疲勞性能的主要因素有幾何結(jié)構(gòu)、成形方向和表面粗糙度。

結(jié)構(gòu)構(gòu)型改變影響層間間隔時間導致熱歷史（如冷卻速率）改變，產(chǎn)生不同的晶粒結(jié)構(gòu)和缺陷分布，Yadollahi等[103]研究了層間間隔時間對直接激光沉積成形316L不銹鋼結(jié)構(gòu)的影響，發(fā)現(xiàn)層間間隔時間越長，冷卻速率越高，可產(chǎn)生更精細的晶粒結(jié)構(gòu)，制件硬度、強度更高；然而，更長的冷卻時間使粉末床初始溫度更低，從而縮小了激光熔池大小，更易產(chǎn)生孔洞缺陷，削弱了制件疲勞性能。增材制造出現(xiàn)的各向異性微觀結(jié)構(gòu)，包括晶粒形態(tài)和缺陷方向，也導致疲勞性能的各向異性，Ti–6Al–4V[104]和17–4PH不銹鋼[92]在垂直于成形方向比沿成形方向表現(xiàn)出更好的疲勞性能。而熱等靜壓使制件在高溫高壓的共同作用下，不僅微結(jié)構(gòu)趨向于均勻化還可以消除部分孔洞及缺陷的方向性，從而改善了材料各向異性，顯著提高了疲勞性能[104]。此外，利用機械加工打磨制件表面一般也可以明顯改善疲勞性能[101]，但偶爾受孔洞缺陷位置和切除厚度影響，機械加工可能將內(nèi)部孔洞引入表面，導致疲勞性能改善效果欠佳[99]。

由于幾何構(gòu)型差異，試驗樣本與真實零件在制備過程中經(jīng)歷不同的熱歷程，產(chǎn)生不同的微結(jié)構(gòu)和缺陷分布，因此建立材料、結(jié)構(gòu)、工藝和疲勞性能之間的關系仍然是一個挑戰(zhàn)性課題。而且，提高疲勞性能的后處理工藝也依賴于材料的機械性能，如316L SS不銹鋼延展性較強，在熱等靜壓處理后反而表現(xiàn)出更低的疲勞性能[105]。

4 功能梯度材料

功能梯度材料（Functionally Graded Material，F(xiàn)GM）是由兩種或多種材料組成的先進復合材料，要求材料組分或者性能沿一個或多個方向梯度變化以保證在極端環(huán)境下正常工作，具有廣闊的應用前景，也是多相材料增材制造與拓撲優(yōu)化融合的新方向。

一種晶粒尺寸梯度變化的構(gòu)造如圖25（a）[106]所示。與常規(guī)復合材料相比，功能梯度材料通過逐漸改變材料體積分數(shù)避免不同材料間界面應力的出現(xiàn)，如碳–碳復合材料上的碳/碳化硅梯度涂層（圖25（b））比純碳化硅涂層能夠有效降低殘余熱應力，同時也能提高材料的抗氧化性[107]。

圖24 SLM成形的17-4PH不銹鋼疲勞數(shù)據(jù)與缺陷微結(jié)構(gòu)Fig.24 Fatigue data and defect microstructure of selective laser melted 17-4PH stainless steel

圖25 功能梯度材料示意圖與實例Fig.25 Scheme and examples of functionally grated material

目前關于功能梯度材料的設計主要集中在兩相材料，而且材料組分通常按照預先設置的方向和模式梯度變化，難以充分發(fā)揮功能梯度材料的優(yōu)勢，文獻[108]對基本工程結(jié)構(gòu)（如梁結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)等）的功能梯度材料設計方法進行了詳細的綜述。拓撲優(yōu)化技術的發(fā)展豐富了功能梯度材料設計方法，Liu等[109]將拓撲優(yōu)化應用于功能梯度材料設計，利用SLA制備樣件，如圖25（c）所示，表明拓撲優(yōu)化技術可以個性化定制滿足機械性能要求的功能梯度材料；Xia等[110]將功能梯度材料設計與結(jié)構(gòu)設計集成到拓撲優(yōu)化中，實現(xiàn)了性能最優(yōu)設計；Lieu等[111]采用雙變量B樣條基函數(shù)描述材料分布，提出了等幾何分析框架下的多材料拓撲優(yōu)化方法；Banh等[112]基于裂紋模式的多材料拓撲優(yōu)化設計方法，通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓撲與材料分布實現(xiàn)阻止裂紋擴展的剛度設計。

多材料增材制造是功能梯度材料最理想的制備方法[113–114]，但是目前仍然存在大量亟待解決的問題，如不同材料相融合機理、材料性能、成形工藝約束等方面仍需進一步研究?；旌系慕饘俜勰┰诩す庾饔孟卵h(huán)經(jīng)歷加熱融化、熔池流動、冷卻凝固等復雜熱力學過程，當工藝參數(shù)選擇不合理時易產(chǎn)生氣孔、未融合孔洞、裂紋等缺陷，影響功能梯度材料性能。不同材料組分具有不同的熱力學性質(zhì)，恒定激光功率會導致熔點高或者激光吸收率低的金屬無法充分熔融，因此需要動態(tài)調(diào)整激光參數(shù)以適應材料組分的梯度變化[115]。另外，冷卻速率通常會嚴重影響相變和晶粒尺寸，進而影響強度和硬度。冷卻速率不僅與激光參數(shù)、掃描速度、掃描路徑等工藝參數(shù)有關，而且與熱歷史、幾何模型、沉積高度密切相關，對具有不同導熱性質(zhì)的復雜多材料成形體系，冷卻速率控制也變得更復雜[116]。

結(jié)論

材料結(jié)構(gòu)一體化、結(jié)構(gòu)功能一體化、設計制造一體化是實現(xiàn)高性能、多功能、輕量化先進結(jié)構(gòu)的重要設計理念，也是未來的發(fā)展趨勢。面向增材制造的拓撲優(yōu)化是先進設計方法與先進制造方法的有機融合，具有廣闊的應用前景。本文回顧了近年來面向增材制造的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法研究成果，同時也分析了目前存在的問題與挑戰(zhàn)。雖然拓撲優(yōu)化和增材制造均有30余年的發(fā)展歷史，形成了各自比較完善的研究體系，但將兩者深度融合從而充分發(fā)揮出各自優(yōu)勢仍是比較新的研究領域，在設計方法理論與制造工藝技術方面依然存在諸多挑戰(zhàn)，如何準確表征尺度關聯(lián)的點陣性能、增材制造材料各向異性和疲勞性能、功能梯度材料設計和增材制造工藝等均是當前的研究難點與熱點問題。