張?jiān)骑w，郝小忠，陳耿祥，劉 旭

（1. 南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016； 2. 南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，南京 210009）

高速切削加工（HSM）集信息、控制、材料、加工等技術(shù)于一體，具有高效、低能耗、高質(zhì)量、短周期等顯著優(yōu)勢，但是隨著高速切削加工的發(fā)展，加工顫振問題也緊隨而來。由于切削加工的周期性，刀具和工件之間會產(chǎn)生相對振動，當(dāng)這種振動頻率在整個切削加工系統(tǒng)的固有頻率附近時，加工顫振就會發(fā)生。加工顫振嚴(yán)重限制高速切削加工技術(shù)諸多優(yōu)勢的發(fā)揮，嚴(yán)重影響工件表面質(zhì)量，同時會導(dǎo)致機(jī)床壽命縮短、刀具磨損加劇?，F(xiàn)有方法主要通過繪制穩(wěn)定性葉瓣圖（SLD）來進(jìn)行顫振抑制[1–2]，而機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)則是構(gòu)建穩(wěn)定性葉瓣圖的重要輸入[3–4]。機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對機(jī)床結(jié)構(gòu)的變化十分敏感，無論是機(jī)床主軸的位置或姿態(tài)改變還是刀具/刀柄改變，機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)都可能隨之變化。因此，要得到準(zhǔn)確的穩(wěn)定性葉瓣圖，須得到機(jī)床全工作空間下、各種刀具/刀柄組合下的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)[5]。

機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的獲取方法包括有限元法[6]，機(jī)床子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合法（Receptance Coupling Substructure Analysis，RCSA）[7–9]以及錘擊試驗(yàn)法。有限元法需要在仿真環(huán)境下建立機(jī)床模型，再通過模態(tài)分析即可獲得機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，但由于機(jī)床結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，構(gòu)造準(zhǔn)確的加工系統(tǒng)有限元模型非常困難，實(shí)際應(yīng)用時必須進(jìn)行大量的簡化，因此該類方法的準(zhǔn)確性難以得到保證。RCSA方法將機(jī)床分解為若干個子結(jié)構(gòu)，然后分別針對每個子結(jié)構(gòu)選取合適的方式獲取其頻響函數(shù)，最終將這些子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)進(jìn)行柔性或者剛性耦合以預(yù)測機(jī)床刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)。這種方法可以比較高效地獲取機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，但是機(jī)床子結(jié)構(gòu)之間的連接狀態(tài)模型和連接參數(shù)的辨識一直是該方法的難題。到目前為止，學(xué)者們提出了各種各樣的連接狀態(tài)模型，其中有單點(diǎn)彈簧阻尼模型[10]，兩點(diǎn)彈簧阻尼模型[11]，均布彈簧阻尼模型[12–13]，以及彈性層面模型[14]等。相應(yīng)的，連接參數(shù)的辨識方法也有很多種，包括非線性優(yōu)化算法求解[15–16]，RCSA方法逆求解[17–18]等?？傊B接狀態(tài)模型和連接參數(shù)的辨識方法還處于研究階段，距離工程應(yīng)用還有一定差距，RCSA方法的準(zhǔn)確度也有待進(jìn)一步提高。

錘擊試驗(yàn)法是獲取機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的經(jīng)典方法，基于該方法可以得到準(zhǔn)確的測量結(jié)果。但是使用這種方法進(jìn)行一次測量只能得到一個主軸位置處、一種刀柄–刀具組合狀態(tài)下的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。如果刀柄、刀具或者機(jī)床主軸位置發(fā)生改變，就需要重新進(jìn)行測量。因此，如果使用錘擊試驗(yàn)法測量機(jī)床全工作空間下、各種刀具/刀柄組合下的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，必須要求機(jī)床長時間停機(jī)，這顯然難以滿足實(shí)際生產(chǎn)要求。

目前，在關(guān)于機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的研究中，多數(shù)學(xué)者都熱衷于發(fā)展RCSA方法，錘擊試驗(yàn)法卻鮮有人問津。但事實(shí)上，近年來多種回歸算法大力發(fā)展，如果將其和錘擊試驗(yàn)法相結(jié)合，便能夠在確保預(yù)測精度的同時大大減少錘擊試驗(yàn)次數(shù)，因此本文提出了一種基于KNN的機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測方法。

1 機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測模型

1.1 機(jī)床結(jié)構(gòu)變化對刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的影響

機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)是整個機(jī)床系統(tǒng)在刀尖位置的動力學(xué)特性的綜合體現(xiàn)，因此機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對機(jī)床整體結(jié)構(gòu)的變化十分敏感。在實(shí)際加工過程中機(jī)床結(jié)構(gòu)變化主要表現(xiàn)為兩種情況，第1種是機(jī)床主軸位置和姿勢（簡稱位姿）變化，第2種則是機(jī)床刀具或者刀柄的更換。這兩種情況都會導(dǎo)致機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的變化，以下分別對前述兩種情況引起的機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的變化進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

首先考慮第1種情況，在1臺試驗(yàn)機(jī)床上(機(jī)床坐標(biāo)系如圖1所示)裝夾直徑為10mm，懸伸長度(定義如圖2所示)為56mm的刀具，然后保持機(jī)床X、Y、Z、C軸不變，將A軸從0轉(zhuǎn)動到90°，期間每隔10°通過錘擊試驗(yàn)法測量其刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，并將這些頻響函數(shù)進(jìn)行集中對比，如圖3所示。刀尖固有頻率附近區(qū)域的頻響函數(shù)對顫振抑制具有重要意義，因此本文主要考察該區(qū)域的頻響函數(shù)，圖3所展示的是1000Hz附近的頻響函數(shù)曲線。

圖1 試驗(yàn)機(jī)床坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of experimental machine tool

圖2 刀具懸伸長度和裝夾長度Fig.2 Tool overhang and clamping length

圖3 機(jī)床位姿引起的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)變化Fig.3 Change of tool tip FRF caused by varying machine tool postures

對于第2種情況，使用一系列帶螺紋的圓柱棒來研究不同刀具引起的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的變化，如圖4所示。將圖4中左側(cè)帶外伸螺紋的圓柱棒作為刀具裝夾部分插入刀柄，其余圓柱棒則作為刀具伸出部分。保持機(jī)床位姿不變，依次更換外伸圓柱棒，并采集其刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，將其對比如圖5所示。

基于以上分析和驗(yàn)證可以得出結(jié)論，機(jī)床刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)隨機(jī)床結(jié)構(gòu)的變化而變化。本文擬使用回歸算法對不同機(jī)床結(jié)構(gòu)下的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)進(jìn)行擬合，得到刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測模型，從而對機(jī)床不同結(jié)構(gòu)下的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測。

1.2 刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)集定義與獲取

由1.1節(jié)可知，刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)受機(jī)床主軸位姿和刀柄/刀具影響，主軸位姿信息可以用機(jī)床坐標(biāo)表示，而刀具信息中對刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)影響最大的是刀具直徑和其懸伸長度，此處選取這兩個數(shù)據(jù)表示刀具信息。因此，本文數(shù)據(jù)集中的特征數(shù)據(jù)x包括刀具直徑、刀具懸伸長度以及機(jī)床主軸坐標(biāo)。

圖4 螺紋連接分段圓柱棒Fig.4 Threaded segmented cylinders

圖5 不同刀具引起的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)變化Fig.5 Change of tool tip FRF caused by varying tools

而對于刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)信息而言，有兩種方式可以選擇，一種是對其進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識，然后將得到的參數(shù)作為標(biāo)簽，有一些學(xué)者已經(jīng)在研究中采用這種方式來表示頻響函數(shù)信息[6,19]。第2種方式則是直接選取固有頻率附近頻率段內(nèi)的頻響函數(shù)曲線離散點(diǎn)作為標(biāo)簽。第1種方式的顯著優(yōu)點(diǎn)是數(shù)據(jù)量小，更易于回歸訓(xùn)練，但無法有效表達(dá)頻響函數(shù)的模態(tài)階數(shù)。如圖3所示，在固有頻率附近頻率段內(nèi)，主軸位姿不同，刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的模態(tài)階數(shù)也不盡相同，所以很難使用統(tǒng)一階數(shù)的模態(tài)參數(shù)來表示頻響函數(shù)信息。對于第2種方式，雖然作為回歸數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)量較大，但其可以有效表達(dá)所有頻響函數(shù)的模態(tài)階數(shù)。綜上所述，本文選取第2種方式來表示標(biāo)簽數(shù)據(jù)y，即機(jī)床刀尖點(diǎn)固有頻率附近頻率段內(nèi)的頻響函數(shù)曲線離散點(diǎn)。而最終通過回歸算法得到的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測模型可以表示為f：x→y。

刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)是在機(jī)床整體結(jié)構(gòu)的變動范圍內(nèi)持續(xù)變化的，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集最好能夠反映機(jī)床結(jié)構(gòu)變動范圍內(nèi)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的整體變化趨勢。另外，標(biāo)簽中并不需要整個頻譜的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)曲線，只需要得到刀尖點(diǎn)固有頻率附近的部分曲線即可?；谝陨峡紤]，本文在機(jī)床主軸可移動范圍內(nèi)均勻選取少量坐標(biāo)點(diǎn)，并選取加工過程中使用頻率較高的刀具直徑和懸伸長度數(shù)據(jù)作為特征數(shù)據(jù)，選取機(jī)床刀尖點(diǎn)固有頻率附近的部分頻響函數(shù)曲線段離散點(diǎn)作為標(biāo)簽數(shù)據(jù)。

1.3 KNN的基本要素

KNN算法憑借其簡單和準(zhǔn)確的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用，其基本思想是計(jì)算特征空間中樣本點(diǎn)之間的相似程度，并根據(jù)這種相似程度進(jìn)行預(yù)測[19]。樣本點(diǎn)之間的相似程度是用距離表示的，而距離度量方式則是KNN算法的3個基本要素之一。

KNN算法中的距離度量通常選擇Lp距離（Lpdistance）：

其中，xi，xj∈A，A是特征空間，即n維實(shí)數(shù)向量空間xi=。

當(dāng)p=2時，式（1）就 是 歐 式 距 離(Euclidean distance)的表達(dá)式，即

當(dāng)p=1時，式（1）就是曼哈頓距離(Manhattan distance)的表達(dá)式，即

本文采用歐式距離作為KNN算法的距離度量方式。

KNN的另外兩個基本要素是k值和回歸預(yù)測規(guī)則。k值的選擇會顯著影響KNN算法的結(jié)果，如果k值過小，預(yù)測結(jié)果受臨近點(diǎn)的影響就會加大，也就更容易發(fā)生過擬合。反之，如果k值過大，則容易發(fā)生欠擬合。實(shí)際應(yīng)用時，一般會選擇較小的數(shù)賦給k。KNN算法的回歸預(yù)測規(guī)則一般采取平均值法或者加權(quán)平均值法。平均值法即獲得k個臨近點(diǎn)，將其目標(biāo)值平均后作為預(yù)測值。加權(quán)平均值法則按照臨近點(diǎn)與待預(yù)測點(diǎn)的距離給每個臨近點(diǎn)的目標(biāo)值加權(quán)，一般情況下距離和權(quán)重成反比，之后再進(jìn)行平均得到預(yù)測值。本文選取平均值法作為回歸預(yù)測規(guī)則。

1.4 kd樹搜索臨近點(diǎn)

由于本文訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)量較大，必須考慮臨近點(diǎn)搜索的效率。KNN算法中通常使用線性掃描（Linear Scan）來實(shí)現(xiàn)k個臨近點(diǎn)的查找，但是訓(xùn)練數(shù)據(jù)量較大時，這種搜索方式的效率很低。k-dimensional樹（kd樹）可以有效提高臨近點(diǎn)的搜索效率。

kd樹是一種二叉樹，它可以通過一系列垂直于坐標(biāo)軸的超平面將k維空間劃分成不同的區(qū)域。圖6中以2維空間kd樹的建立為例解釋其具體實(shí)現(xiàn)方式，其中圓點(diǎn)對應(yīng)2維空間中的樣本點(diǎn)，直線對應(yīng)區(qū)域的劃分線（即前文所述超平面）。將整個k維空間作為根結(jié)點(diǎn)，然后選擇切分點(diǎn)構(gòu)造劃分線，將整個區(qū)域進(jìn)行劃分，劃分完成的每個子區(qū)域都對應(yīng)一個子結(jié)點(diǎn)，按照此方式繼續(xù)劃分，直到所有子區(qū)域都不包含樣本點(diǎn)為止，將終止時的結(jié)點(diǎn)稱為葉節(jié)點(diǎn)。

構(gòu)建kd樹的偽代碼如下：

算法：建立kd樹

輸入：數(shù)據(jù)集"Data" 和其所屬空間A

輸出：kd樹

圖6 2維空間kd樹Fig.6 2D space kd tree

（1）If"Data" 為空，則返回的kd樹為空

（2）構(gòu)造子結(jié)點(diǎn)：

確定劃分維度：統(tǒng)計(jì)"Data" 在每個維度上的方差，方差越大表明數(shù)據(jù)在該維度上越分散，越適合數(shù)據(jù)分割。

確定切分點(diǎn)：將"Data" 按照所選維度進(jìn)行排序，并選擇中間的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為切分點(diǎn)。

劃分子區(qū)域：通過切分點(diǎn)垂直于維度坐標(biāo)軸作超平面，從而將整個區(qū)域（對應(yīng)根結(jié)點(diǎn)，即空間A）劃分成兩個子區(qū)域，在坐標(biāo)軸上小于切分點(diǎn)的子區(qū)域成為左子結(jié)點(diǎn)，否則為右子結(jié)點(diǎn)。

（3）重復(fù)劃分區(qū)域：重復(fù)步驟（2）進(jìn)一步劃分區(qū)域，直到兩個新產(chǎn)生的子區(qū)域沒有數(shù)據(jù)點(diǎn)存在為止，最終的子區(qū)域成為葉結(jié)點(diǎn)。

對于一個待預(yù)測點(diǎn)，首先在kd樹中找到其所屬的葉結(jié)點(diǎn)，并將其作為當(dāng)前最鄰近點(diǎn)，然后以待預(yù)測點(diǎn)到當(dāng)前最鄰近點(diǎn)的距離為半徑，以該待預(yù)測點(diǎn)為球心繪制超球體，則實(shí)際最鄰近點(diǎn)肯定在該超球體內(nèi)部。隨后從葉結(jié)點(diǎn)出發(fā)，依次退回到上級結(jié)點(diǎn)，不斷查找并更新當(dāng)前最鄰近點(diǎn)，直到確定沒有更鄰近的樣本點(diǎn)為止?？梢园l(fā)現(xiàn)，kd樹搜索臨近點(diǎn)的整個過程中，只計(jì)算了待預(yù)測點(diǎn)和其所在的局部區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)的距離，大大減少了距離求解的計(jì)算量，適合訓(xùn)練集數(shù)據(jù)量大的應(yīng)用場景。

搜索kd樹的偽代碼如下：

算法：搜索kd樹

輸入：kd樹和目標(biāo)點(diǎn)s

輸出：kd樹

（1）確定目標(biāo)點(diǎn)所屬的葉結(jié)點(diǎn)：從根結(jié)點(diǎn)開始，逐步訪問下級子結(jié)點(diǎn)，逐個對比s和切分點(diǎn)的當(dāng)前維度坐標(biāo)，以確定前往左子結(jié)點(diǎn)還是右子結(jié)點(diǎn)，直至找到葉結(jié)點(diǎn)，并以此葉結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前最臨近點(diǎn)。

（2）更新當(dāng)前最臨近點(diǎn)：

建立搜索超球體：以s和當(dāng)前最鄰近點(diǎn)的距離為半徑，以s為球心建立搜索超球體；

搜索更鄰近點(diǎn)：逐步往上級結(jié)點(diǎn)回退，并判斷當(dāng)前結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)域是否與搜索超球體相交，如果相交，就在相交區(qū)域?qū)ふ覙颖军c(diǎn)并更新當(dāng)前最近臨近點(diǎn)，否則就維持當(dāng)前最近臨近點(diǎn)不變。

（3）重復(fù)步驟（2）直到退回到根結(jié)點(diǎn)，并將最新的當(dāng)前最鄰近點(diǎn)作為目標(biāo)的最臨近點(diǎn)。

1.5 KNN算法實(shí)現(xiàn)

在本文的應(yīng)用場景下，KNN算法步驟如下：

（2）采用式（2）所示的歐式距離為距離度量方式，對于一個測試數(shù)據(jù)集xj，此時具體的距離表達(dá)式應(yīng)該為：

通過kd樹確定距離該測試集最近的k個訓(xùn)練集，將這些訓(xùn)練集中的目標(biāo)值記為。

（3）對上述k個鄰居的目標(biāo)值進(jìn)行平均，并將其作為最終預(yù)測結(jié)果。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)環(huán)境

本文所提方法在一臺五軸機(jī)床上進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，圖7是錘擊試驗(yàn)系統(tǒng)，該五軸機(jī)床包括X、Y、Z 3個平動軸，和A、C兩個轉(zhuǎn)動軸，其中C軸的可移動范圍是0～360°，A軸的可移動范圍是0～90°。初步試驗(yàn)表明，該機(jī)床移動軸移動對刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的影響不大，所以此次驗(yàn)證選擇在旋轉(zhuǎn)軸上進(jìn)行。

驗(yàn)證過程中需要用的3把刀具信息，如表1所示。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

控制機(jī)床的平動軸不動，選取A軸每隔20°（從0開始），C軸每隔120°（從0開始）的主軸位姿處為待測坐標(biāo)點(diǎn)，數(shù)量為20。在機(jī)床上分別裝夾1～3號刀具，如圖8所示。通過錘擊試驗(yàn)獲得3把刀具在待測坐標(biāo)點(diǎn)處的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)G11,tt，其中tt代表頻響函數(shù)矩陣的第1行第1列元素，即位移/力頻響函數(shù)。每次錘擊試驗(yàn)都連做5次，并將其結(jié)果的平均值作為該次試驗(yàn)的最終結(jié)果。將刀具直徑d，刀具懸伸長度l，機(jī)床A軸坐標(biāo)a，C軸坐標(biāo)c，刀尖點(diǎn)固有頻率附近的離散頻率w以及G11,tt的絕對值g11作為回歸訓(xùn)練集，其形式為{di, li, ai, ci, wi, g11i}。將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集用基于kd樹的KNN算法進(jìn)行回歸訓(xùn)練，經(jīng)過交叉驗(yàn)證，此處取參數(shù)k的值為5?；貧w模型訓(xùn)練完畢后，保持機(jī)床移動軸坐標(biāo)不變，另取4個機(jī)床坐標(biāo)點(diǎn)：C0A10°、C60°A90°、C180°A50°以及C300°A70°，再結(jié)合上述3把驗(yàn)證刀具信息以及刀尖點(diǎn)固有頻率附近離散頻率數(shù)據(jù)，構(gòu)造成形式為{di, li, ai, ci, wi}的測試集對回歸模型進(jìn)行測試。

另外，本文還使用RCSA方法，預(yù)測了驗(yàn)證刀具在機(jī)床4個測試位姿處的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。RCSA是一種可以高效獲得刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的方法。使用該方法求刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)時，一般可以將機(jī)床分解成主軸–刀柄系統(tǒng)和刀具伸出部分（或者主軸–部分刀柄系統(tǒng)，外伸刀柄和刀具伸出部分）。接著通過錘擊試驗(yàn)法獲得主軸–刀柄系統(tǒng)頻響函數(shù)，再使用有限元法或者解析法獲得刀具伸出部分的頻響函數(shù)，然后再使用式（7）將各個子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)耦合即可得到刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

表1 驗(yàn)證刀具Table 1 Tools for experimental verification

圖8 G11,tt測量方法Fig.8 Measurement method of G11,tt

其中，G11表示機(jī)床刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)；H11和H22分別表示刀具在自由狀態(tài)下在兩頭端點(diǎn)處的原點(diǎn)頻響函數(shù)；H12和H21則表示刀具在自由狀態(tài)下在兩頭端點(diǎn)處的跨點(diǎn)頻響函數(shù)；H33表示耦合之前主軸–刀柄系統(tǒng)在刀柄端點(diǎn)處的原點(diǎn)頻響函數(shù)，K–1則表示刀柄和刀具之間的連接處特性。

依次將1～3號刀具裝夾到機(jī)床上，利用錘擊試驗(yàn)測量機(jī)床4個測試位姿處刀尖原點(diǎn)頻響函數(shù)G11,tt和跨點(diǎn)頻響函數(shù)G12,tt。在機(jī)床坐標(biāo)C0A10°處，使用Park在文獻(xiàn)[18]中提出的IRCSA（Inverse Receptance Coupling Substructure Analysis）方法辨識連接處特性K–1，并利用所得連接處特性預(yù)測其他3個測試位姿處的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

隨后，將本文方法預(yù)測的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)曲線，基于RCSA方法預(yù)測曲線以及利用錘擊試驗(yàn)得到的曲線進(jìn)行對比，結(jié)果如圖9～11所示。圖9所示是1號刀具的測試結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，在圖9（a）中，本文所提方法和基于C0A10°處連接處特性使用RCSA方法（簡稱IRCSA–Park方法）的預(yù)測效果都比較好，而在圖9（b）～（d）中，本文所提方法則表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢。

另外，表2中對1號刀具的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了定量分析，其中主要對比了本文方法、IRCSA–Park方法以及試驗(yàn)法所得刀尖頻響函數(shù)的固有頻率和單/多模態(tài)（即主要模態(tài)峰的個數(shù)）。對比數(shù)據(jù)表明，當(dāng)試驗(yàn)法得到的頻響函數(shù)曲線是單模態(tài)時，本文方法和IRCSA–Park方法的預(yù)測曲線也是單模態(tài)的，其中，和試驗(yàn)頻響曲線的固有頻率相比，本文方法最大誤差是4Hz，IRCSA–Park方法最大誤差則是10Hz。當(dāng)試驗(yàn)頻響函數(shù)曲線為多模態(tài)時，本文方法預(yù)測曲線也是多模態(tài)的，而IRCSA–Park方法預(yù)測曲線則是單模態(tài)的，同時本文方法預(yù)測曲線和試驗(yàn)曲線主要模態(tài)峰的固有頻率都相差很小。

圖10是2號刀具的測試結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，在圖10 （a）中，本文所提方法預(yù)測效果比基于C0A10°連接處特性使用RCSA方法的預(yù)測效果稍差，但也保持了較好的準(zhǔn)確度。觀察圖10（b）～（d），在頻響函數(shù)的第1個峰處，本文所提方法和基于C0A10°連接處特性使用RCSA方法的預(yù)測效果都比較好，而在第2個峰處，本文所提方法預(yù)測效果更好。

圖9 1號刀具在機(jī)床4個測試位姿處的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對比Fig.9 Comparison of tool tip FRF of No. 1 tool at 4 test positions

表2 1號刀具刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)定量分析Table 2 Quantitative analysis of frequency response function of tool tip of No.1 tool

表3和表4中對2號刀具的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了定量分析。對比數(shù)據(jù)表明，對于頻響曲線的第1個峰，試驗(yàn)曲線、本文方法預(yù)測曲線以及IRCSA–Park方法預(yù)測曲線都為單模態(tài)，其中，與試驗(yàn)頻響曲線的固有頻率相比，本文方法最大誤差是17Hz，IRCSA–Park方法最大誤差則是15Hz。

對于頻響曲線的第2個峰，試驗(yàn)曲線和本文方法預(yù)測曲線全是單模態(tài)的，而IRCSA–Park方法預(yù)測曲線則在很多情況下都是多模態(tài)的，同時本文方法預(yù)測曲線和試驗(yàn)曲線的固有頻率最大相差11Hz。

圖11所示是3號刀具的測試結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，在圖11（a）中，本文所提方法預(yù)測效果比基于C0A10°連接處特性使用RCSA方法的預(yù)測效果稍差，但也保持了較好的準(zhǔn)確度。觀察圖11（b）～（d），在頻響函數(shù)的第1個峰處，相比于基于C0A10°處連接處特性的RCSA方法，本文所提方法效果更好，而在第2個峰處，兩種方法預(yù)測效果都比較好。

圖10 2號刀具在機(jī)床4個測試位姿處的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對比Fig.10 Comparison of tool tip FRF of No. 2 tool at 4 test positions

表3 2號刀具刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)第1個峰定量分析Table 3 First peak of tool tip FRF numerical analysis of No. 2 tool

圖11 3號刀具在機(jī)床4個測試位姿處的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對比Fig.11 Comparison of tool tip FRF of No. 3 tool at 4 test positions

表4 2號刀具刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)第2個峰定量分析Table 4 Second peak of tool tip FRF numerical analysis of No. 2 tool

表5和表6中對3號刀具的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了定量分析。對比數(shù)據(jù)表明，對于頻響曲線的第1個峰，當(dāng)試驗(yàn)曲線是單模態(tài)時，本文方法和IRCSA–Park方法的預(yù)測曲線也是單模態(tài)的，其中，和試驗(yàn)曲線的固有頻率相比，本文方法最大誤差是7Hz，IRCSA–Park方法最大誤差則是27Hz。當(dāng)試驗(yàn)曲線為多模態(tài)時，本文方法預(yù)測曲線也是多模態(tài)的，而IRCSA–Park方法預(yù)測曲線則是單模態(tài)的，同時本文方法預(yù)測曲線和試驗(yàn)曲線的固有頻率最大相差8Hz。

對于頻響曲線的第2個峰，試驗(yàn)曲線、本文方法預(yù)測曲線以及IRCSA–Park方法預(yù)測曲線都為單模態(tài)，其中，和試驗(yàn)頻響曲線的固有頻率相比，本文方法最大誤差是20Hz，IRCSA–Park方法最大誤差則是13Hz。

表5 3號刀具刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)第1個峰定量分析Table 5 First peak of tool tip FRF numerical analysis of No. 3 tool

表6 3號刀具刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)第2個峰定量分析Table 6 Second peak of tool tip FRF numerical analysis of No. 3 tool

3 結(jié)論

機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對機(jī)床結(jié)構(gòu)的變化十分敏感，無論是機(jī)床主軸的位置改變還是刀具/刀柄改變，機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)都會隨之變化，導(dǎo)致機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的獲取過程十分繁復(fù)。針對這個問題，本文提出了一種基于KNN的機(jī)床刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測方法，并在一臺五軸機(jī)床上對所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明：

（1）在錘擊試驗(yàn)法的基礎(chǔ)上，本文所提方法大幅提高了獲取刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的效率。

（2）相比于RCSA方法，本文所提方法的預(yù)測結(jié)果具有更好的準(zhǔn)確性。