張新邦，陳德祥，王東盛，韓楊楊，屈盼玲，張金巍

（北京控制工程研究所，北京 100190）

0 引言

有文獻(xiàn)認(rèn)為均勻鐵磁介質(zhì)構(gòu)成的細(xì)長圓柱體，在均勻外磁場中是均勻磁化。文獻(xiàn)[1]在沿軸向均勻磁化的條件下，對圓柱形均勻介質(zhì)進(jìn)行退磁場和退磁因子研究。文獻(xiàn)[2]的研究中忽略圓柱體內(nèi)的體磁荷，這等于認(rèn)為其軸向均勻磁化。也有文獻(xiàn)提出只有在二次曲面形狀（橢球形）的情況下物體才能均勻磁化，圓柱體內(nèi)退磁因子只是近似值，并不是嚴(yán)格意義下的解析解。所以文獻(xiàn)[3]和[4]提出了圓柱體退磁因子近似值；而文獻(xiàn)[5]內(nèi)圓柱體退磁因子表是采用旋轉(zhuǎn)橢球體計算出來的，計算時圓柱體長度和直徑相當(dāng)于橢球體縱向和橫向主軸的長度。

如果圓柱體沿軸向均勻磁化，則磁荷集中于圓柱體兩端，體內(nèi)無體磁荷，符合偶極子標(biāo)準(zhǔn)，外面場強(qiáng)可按偶極子規(guī)律進(jìn)行計算。如果不是均勻磁化，其磁化強(qiáng)度按某曲線形狀分布，則不是一個標(biāo)準(zhǔn)的偶極子，尤其近距離情況下外部場強(qiáng)不能按偶極子規(guī)律進(jìn)行計算。文獻(xiàn)[6]對艦船單磁偶極子模型適用性進(jìn)行研究，得出了當(dāng)距離大于2.5倍艦船物理尺寸處，單磁偶極子有較高的模型擬合度。文獻(xiàn)沒有深入探討近距離時模型擬合度低的原因和解決方法。

艦船和細(xì)長圓柱體等物體近距離時單偶極子模型擬合度低，原因是軸向的非均勻磁化特性。解決的途徑之一是：研究其磁化強(qiáng)度曲線，再根據(jù)磁化強(qiáng)度曲線應(yīng)用由磁矩求場強(qiáng)方法，可以較準(zhǔn)確地得到近距離的場強(qiáng)。

應(yīng)用面磁荷和體磁荷觀點(diǎn)以及退磁場理論推導(dǎo)退磁場和磁化強(qiáng)度的公式，根據(jù)磁化率的定義得到退磁場和磁化強(qiáng)度的另一個公式，以此建立方程組解方程得到磁化強(qiáng)度曲線，根據(jù)曲線計算得到結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果吻合。

細(xì)長體是一類較普遍存在的物體，非均勻磁化特性對其近距離試驗(yàn)十分重要，這方面的研究具有現(xiàn)實(shí)意義。

1 技術(shù)準(zhǔn)備

1.1 磁荷

鐵磁體內(nèi)有許多微小的磁疇，磁疇是磁性材料內(nèi)部的一個個小區(qū)域，每個區(qū)域內(nèi)部包含大量原子。同一磁疇區(qū)域內(nèi)原子的磁矩都整齊排列（稱為自發(fā)磁化），但磁疇之間磁矩排列的方向混亂，宏觀上相互抵消，即物體的磁化強(qiáng)度為0。

以細(xì)長圓柱體為研究對象，當(dāng)圓柱體軸向有了外磁場，體內(nèi)各磁疇的磁矩在磁場力矩作用下轉(zhuǎn)向磁場方向整齊排列（圖1（a）），物體內(nèi)部磁疇的N、S極（即＋、－極）首尾銜接，相互抵消。若物體是均勻磁化，宏觀上物體內(nèi)部無磁荷，在兩端出現(xiàn)＋、－磁荷（圖1（b）），稱為面磁荷。

圖1 磁疇排列和磁荷的出現(xiàn)Fig. 1 Magnetic domain arrangement and the appearance of megnetic charges

設(shè)圖1（b）內(nèi)圓柱端面出現(xiàn)磁荷P，當(dāng)圓柱直徑相對有關(guān)的距離是小量，則認(rèn)為P為點(diǎn)磁荷。如不是小量，且假設(shè)磁荷均勻分布，則引入端面的磁荷面密度Q，有：Q=P/S。其中，S是端面的面積。

當(dāng)圓柱體沿軸向非均勻磁化，則體內(nèi)產(chǎn)生磁荷。在體內(nèi)某點(diǎn)取體積元ΔV，體積元內(nèi)磁荷ΔP，引入磁荷體密度σ，有：σ=ΔP/ΔV。

1.2 磁荷與磁化強(qiáng)度

為了描述磁介質(zhì)的磁化狀態(tài)（磁化方向和磁化程度的大?。氪呕瘡?qiáng)度M，它定義為單位體積內(nèi)磁疇磁矩的矢量和。如在磁介質(zhì)內(nèi)取體積元ΔV，其中包含了大量的磁疇，用∑md代表這體積元內(nèi)所有磁疇磁矩的矢量和，用M代表磁化強(qiáng)度，則上述定義可表達(dá)成下面公式

文獻(xiàn)[7]給出了磁化強(qiáng)度M與磁荷P之間關(guān)系有如下公式

其中S是一個任意的閉合面，等式右邊為包含在S內(nèi)磁荷代數(shù)和的負(fù)值。

下面進(jìn)一步分析圓柱體內(nèi)磁荷密度與磁化強(qiáng)度之間關(guān)系。

圖2 圓柱體內(nèi)的試驗(yàn)段Fig.2 Test section in the cylinder

假設(shè)垂直于軸的截面上介質(zhì)是均勻磁化，取圓柱體的某小段為試驗(yàn)段（見圖2），段左側(cè)截面S1，磁化強(qiáng)度M1；右側(cè)截面S2，磁化強(qiáng)度M2；試驗(yàn)段體積ΔV；段內(nèi)的磁荷量ΔP。設(shè)截面積為S，以整段的表面積為閉合面運(yùn)行公式（1），有

即

式中，QV是等效面密度，是將試驗(yàn)段兩端壓縮成平面后得到的面密度，有等效面密度等于試驗(yàn)段兩端磁化強(qiáng)度之差。

若試驗(yàn)段包含了磁棒左端面且段的長度極小，則得到左端磁荷面密度

同樣對于磁棒右端面得到

此結(jié)果也可用下面簡單方法證明，偶極子的磁矩為m=LP，其中：L為極間距離；P為磁極強(qiáng)度即磁荷總量。將等式兩邊除以體積V，即有

式中，S為端面的面積，于是有Q=M。

設(shè)沿軸x方向有磁化強(qiáng)度曲線M（x），有：曲線在圓柱內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，圓柱兩端是曲線的斷點(diǎn)，曲線斷點(diǎn)處磁荷面密度（絕對值）=磁化強(qiáng)度（絕對值），曲線連續(xù)處磁荷體密度=曲線斜率。

1.3 磁荷產(chǎn)生磁場強(qiáng)度

1.3.1 點(diǎn)磁荷

當(dāng)磁荷P（或稱為磁極）為點(diǎn)磁荷，設(shè)點(diǎn)磁荷在r處對磁場的貢獻(xiàn)為h（r），有

這是點(diǎn)磁荷生成磁場的公式，當(dāng)r很小時此公式失效，需要提出面磁荷生成磁場公式。

1.3.2 面磁荷和面密度貢獻(xiàn)系數(shù)

設(shè)磁荷P均勻分布在一個半徑為R的圓上，圓平面上的磁荷面密度Q，有

過圓的圓心O點(diǎn)作垂直于圓平面的軸x（見圖3），在x軸C點(diǎn)（坐標(biāo)為x）產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為h，h的方向和x軸相同。

圓上有A點(diǎn)，其極坐標(biāo)為（r,θ），有

改寫為

F（x）也稱為面密度貢獻(xiàn)系數(shù)，于是有：場強(qiáng)=面密度×面貢獻(xiàn)系數(shù)。

圖3 磁荷面密度產(chǎn)生磁場強(qiáng)度示意圖Fig. 3 Schematic diagram of magnetic field intensity generated by magnetic charge surface density

1.3.3 體磁荷和體密度貢獻(xiàn)系數(shù)

以圖2內(nèi)的試驗(yàn)段為例，試驗(yàn)段長度ΔL，試驗(yàn)段內(nèi)有體磁荷，將試驗(yàn)段均分成N份，每份成為薄片可近似為一個面。應(yīng)用公式（2）可以得到試驗(yàn)段的等效面密度QV，則各薄片的磁荷面密度為QV/N。設(shè)第i份薄片到測點(diǎn)的有向距離為xi，對測點(diǎn)貢獻(xiàn)的場強(qiáng)為hi，應(yīng)用公式（5）得到

整個試驗(yàn)段對測點(diǎn)貢獻(xiàn)的場強(qiáng)為

其中

也稱為體密度貢獻(xiàn)系數(shù)，于是有：場強(qiáng)=等效面密度×體貢獻(xiàn)系數(shù)。

2 建立關(guān)于磁化強(qiáng)度方程組

研究圓柱體的不均勻磁化，需要得到磁化強(qiáng)度M沿軸向的變化曲線，方法是建立關(guān)于M的方程組，解方程組即可得到磁化強(qiáng)度曲線。

將磁棒均分成N段（圖4），各段分別表示為D0～DN-1。均分后得到N+1個界面，表示為A0～AN。

設(shè)界面An處磁荷面密度Qn，磁化強(qiáng)度Mn，退磁場h(n)(n=0～N)。第n段（Dn）內(nèi)體磁荷的等效面密度QVn(n=0～N-1)。

注意磁化強(qiáng)度曲線就是由Mn(n=0～N)數(shù)據(jù)組成。

圖4 圓柱體分段示意圖Fig. 4 Section diagram of the cylinder

圖4中：HO是外磁場，h是退磁場。由于外磁場、退磁場和磁化強(qiáng)度等的方向都平行于棒軸，計算中可以只應(yīng)用其x分量。

應(yīng)用式（5）-（6）分析面磁荷和體磁荷對退磁場的貢獻(xiàn)，設(shè)j界面的面密度對i界面退磁場貢獻(xiàn)系數(shù)為Fij。由于只有A0和AN這2個界面是面磁荷，有：A0面磁荷對Ai退磁場h（i）的貢獻(xiàn)為Q0Fi0；AN面磁荷對Ai退磁場h（i）的貢獻(xiàn)為NiN QF。設(shè)段Dj體磁荷對Ai退磁場(i)h的貢獻(xiàn)為hij，貢獻(xiàn)系數(shù)為f ij，有

于是有

根據(jù)公式（2）-（3）有

于是

改寫為

應(yīng)用新的系數(shù)Aij，將上式改寫為

其中

由磁學(xué)理論可知磁化率（χ）、磁場強(qiáng)度（H）、磁化強(qiáng)度（M）有如下關(guān)系

而H=h+HO，其中h是退磁場，HO是外磁場，于是有

對第i界面處的退磁場(i)h和磁化強(qiáng)度Mi，有

將式（7）與（9）聯(lián)合并以詳細(xì)形式表達(dá)

即有

改寫為

于是有

3 細(xì)長圓柱體磁化強(qiáng)度曲線

以坡莫合金為介質(zhì)的圓柱體長L=0.8m，半徑R=0.01m ，磁化率χ=10000，外磁場強(qiáng)度HO=300A/m，計算時將圓柱體分80等分，每等分再分成50份薄片，列出方程組并求解得到磁化強(qiáng)度曲線（圖5），計算得到圓柱體總磁矩為24 A·m2。

圖5 細(xì)長圓柱體磁化強(qiáng)度曲線Fig. 5 Magnetization curve of slender cylinder

由磁化強(qiáng)度曲線求外部某點(diǎn)磁場強(qiáng)度，需要應(yīng)用由磁矩計算磁場強(qiáng)度公式[8]，將圓柱體均分N份，根據(jù)曲線得到每份的磁矩，計算每份磁矩產(chǎn)生的場強(qiáng)，再求和得到需要的值。

以圓柱體中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，圓柱軸為x軸并指向磁體正極，為驗(yàn)證近距離的計算結(jié)果，取近距離點(diǎn)p坐標(biāo)為（0.5L，0.25L，0）。由磁化強(qiáng)度曲線計算得到p點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量為10 000 nT以上，實(shí)際測量得到磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量約10 000 nT，兩者基本吻合。而用偶極子模型計算得到磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量約-4 000 nT。

4 結(jié)束語

1）細(xì)長圓柱形均勻介質(zhì)在均勻外磁場中不是均勻磁化，研究其非均勻磁化特征是有現(xiàn)實(shí)意義的。

2）應(yīng)用磁化強(qiáng)度、面磁荷與體磁荷、退磁場之間關(guān)系建立圓柱體磁化強(qiáng)度方程組，解方程得到其磁化強(qiáng)度曲線，由曲線計算得到的近距離場強(qiáng)結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合。

3）在計算退磁場時既考慮面磁荷也考慮體磁荷，并建立和求解磁化強(qiáng)度方程組最后得到磁化強(qiáng)度曲線，此結(jié)果和方法在以前文獻(xiàn)中未見報道。