馬光紅， 魏 勇

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 四川南充 637002)

0 引言

自鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論以來(lái)， 灰色模型被廣泛應(yīng)用于軍事、 醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域， 為人們解決了許多實(shí)際問(wèn)題[1]. 在研究灰色模型的過(guò)程中， GM(1,1)冪模型是GM(1,1)模型、 Verhulst模型的擴(kuò)展. 對(duì)于GM(1,1)冪模型而言， 模型中冪指數(shù)及響應(yīng)中參數(shù)的求解較為復(fù)雜， 研究相對(duì)較少. 王正新等[12]提出了GM(1,1)冪模型的冪指數(shù)的求解方法并討論了冪模型的一些相關(guān)性質(zhì)； 李軍亮等[13]對(duì)冪模型進(jìn)行擴(kuò)展， 研究了非等間距的GM(1,1)冪模型； 文獻(xiàn)[16]提出分?jǐn)?shù)階的GM(1,1)冪模型. 為提高模型的建模精度， 學(xué)者從冪指數(shù)、 背景值、 初始值、 灰導(dǎo)數(shù)等角度出發(fā)對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn). 文獻(xiàn)[14]對(duì)GM(1,1)冪模型的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化. 文獻(xiàn)[17]對(duì)模型的背景值進(jìn)行優(yōu)化， 文獻(xiàn)[15]對(duì)初始條件進(jìn)行優(yōu)化. 在這些模型中， 大多都將原始數(shù)據(jù)當(dāng)做齊次來(lái)處理， 實(shí)際上有部分?jǐn)?shù)據(jù)并不都滿足齊次這一特性， 于是采取此類(lèi)方法建模并不太準(zhǔn)確. 對(duì)此， 有學(xué)者研究非齊次模型， 并對(duì)非齊次模型進(jìn)一步改進(jìn)， 如： 改進(jìn)灰導(dǎo)數(shù)、 改進(jìn)初始值、 對(duì)模型直接建模等. 在文獻(xiàn)[2]中提出了非齊次指數(shù)序列的GM(1,1)模型， 得到新的灰色微分方程及其白化微分方程； 文獻(xiàn)[5]對(duì)GM(1,1)模型的灰色作用量進(jìn)行優(yōu)化， 用b1+b2k代替b， 即灰作用量隨k的變化而變化； 文獻(xiàn)[7],文獻(xiàn)[11]提出Verhulst模型的直接建模法， 減少了數(shù)據(jù)還原， 但這些對(duì)非齊次模型的研究均在于GM(1,1)模型及Verhulst模型.

1 非齊次的GM(1,1)冪模型

設(shè)X(0)為非負(fù)原始序列且X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),...,x(0)(n))，X(1)為X(0)的1-AGO序列，X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n))， 其中

x(1)(k-1))(k=2,3,...,n).

定義1稱

x(0)(k)+az(1)(k)=

(b1+b2t)(z(1)(k))m(k=2,3,...,n)

(1)

為非齊次GM(1,1)冪模型的灰色方程.

定義2稱

(2)

為非齊次GM(1,1)冪模型的白化微分方程.

由常微分知識(shí)對(duì)(2)式的白化微分方程求解得時(shí)間響應(yīng)式

事實(shí)上， 將(2)式兩邊同除以[x(1)(t)]m得

(3)

令y(1)(t)=(x(1)(t))1-m, 則

(4)

(3)式變形為

(5)

不妨令

(6)

對(duì)(6)式求解得

y(1)(t)=c1e(m-1)at

(7)

將c1看做關(guān)于t的函數(shù)， 對(duì)(7)求導(dǎo)可得

(8)

將(7)、 (8)帶入(5)化簡(jiǎn)有

(9)

對(duì)(9)式積分

(10)

其中c為任意常數(shù).

將(10)帶入(7)式有

(11)

故

(12)

將(12)式在t=k+1離散化得到

累減還原x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k)

(k=1,2,...n-1).

性質(zhì)1當(dāng)m=0,b1≠0,b2≠0時(shí)是文獻(xiàn)[19]的表達(dá)式，即

(13)

為非齊次GM(1,1)模型；

性質(zhì)2當(dāng)m=2,b1≠0,b2≠0時(shí), 即

(14)

為非齊次的Verhulst模型；

性質(zhì)3當(dāng)m=0,b2=0，b1≠0， 此模型退化為傳統(tǒng)GM(1,1)模型；

性質(zhì)4當(dāng)m=2,b2=0，b1≠0， 此模型退化為傳統(tǒng)Verhulst模型.

2 參數(shù)m;a,b1,b2,c的求解

對(duì)于GM(1,1)冪模型而言， 對(duì)參數(shù)的求解方法有多種， 文獻(xiàn)[12]采取傳統(tǒng)的方法求解參數(shù)， 即利用最小二乘法； 文獻(xiàn)[20]通過(guò)最小二乘法求出參數(shù)表達(dá)式， 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)利用相關(guān)軟件如Matlab進(jìn)行求解； 對(duì)Verhulst模型， 大多文獻(xiàn)采用最小二乘法求解參數(shù)； 文獻(xiàn)[22]通過(guò)構(gòu)造參數(shù)的表達(dá)式， 采取算術(shù)平均或者幾何平均近似替代相應(yīng)參數(shù)； 而GM(1,1)模型中參數(shù)的求解方法較多， 如最小二乘法， 最小一乘法、Lingo搜索等. 在利用最小二乘法或者最小一乘法求解參數(shù)時(shí)， 都避免不了模型中背景值z(mì)(1)(k)的應(yīng)用， 由于背景值構(gòu)造的差異， 難免會(huì)產(chǎn)生一定的誤差. 本文利用文獻(xiàn)[21]求解GM(1,1)模型中參數(shù)的方法(即利用多個(gè)值的算術(shù)平均近似替代最終參數(shù)的值)， 對(duì)非齊次GM(1,1)冪模型的參數(shù)進(jìn)行求解， 減小由背景值造成的誤差.

(I)按照文獻(xiàn)[12]求解參數(shù)m， 即

(II)在時(shí)間響應(yīng)式的基礎(chǔ)上逐步求解a(k);

c(k);b2(k);b1(k).

首先對(duì)(11)式進(jìn)行離散化得

當(dāng)t=k+1時(shí),

(15)

當(dāng)t=k時(shí)；

(16)

當(dāng)t=k-1時(shí)；

ce(m-1)(k-2)a

(17)

(15)-(16)得

y(1)(k+1)-y(1)(k)=

即

(18)

(16)-(17)得

cea(m-1)(k-2)(ea(m-1)-1)

即

(19)

(18)-(19)得

y(0)(k+1)-y(0)(k)=

cea(m-1)(k-1)(ea(m-1)-1)2

(20)

同理

y(0)(k)-y(0)(k-1)=

cea(m-1)(k-2)(ea(m-1)-1)2

(21)

用(21)除以(20)得

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得

(22)

將(22)帶入(20)有

(23)

把(23)、 (22)帶入(19)得

(24)

聯(lián)立(15)、 (22)、 (23)、 (24)得

(25)

從上面的式子可以看出， 由于k值的不同， 參數(shù)a、b1、b2、c的取值也不同， 分別記為a(k);c(k);b2(k);b1(k)， 則

(26)

(27)

(28)

ce(m-1)ak)

(29)

值得注意的是， (15)、 (16)、 (17)中的a,b1,b2,c均會(huì)隨著k的變化而變化的a′(k),c′(k),b2′(k),b1′(k)， 但由于相鄰兩項(xiàng)變化幅度不大， 在考慮(15)-(16)與(16-17)、 (18)-(19)、 (21)/(20)時(shí)， 將相鄰兩項(xiàng)中的a′(k),c′(k),b2′(k),b1′(k)視為同一推導(dǎo)的a(k),c(k),b2(k),b1(k)， 然而在變化的全過(guò)程中相距項(xiàng)數(shù)較多則是一個(gè)不可忽略的問(wèn)題， 此時(shí)需要對(duì)a(k),c(k),b2(k),b1(k)綜合考慮， 即下列步驟(III)是必須的.

(30)

將(30)式計(jì)算出的a依次帶入(28)及(29)式， 并利用與求解a相同的方法求解c;b2的估計(jì)值

(31)

(32)

同理將(30)、(31)、(32)帶入(29)求解可得b1的估計(jì)值

(33)

3 實(shí)例分析

本文分別采用我國(guó)2002～2009年天然原油生產(chǎn)量的數(shù)據(jù)與南京市1997～2002年水泥運(yùn)貨量及我國(guó)歷年人口數(shù)據(jù)作為實(shí)例進(jìn)行模擬， 對(duì)比模擬精度.

例1本例以我國(guó)2002～2009年天然原油生產(chǎn)量的數(shù)據(jù)《中國(guó)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)應(yīng)用系統(tǒng)》(見(jiàn)表1)為例， 數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[7]， 對(duì)文獻(xiàn)[7]中的數(shù)據(jù)分別建立傳統(tǒng)的Verhulst模型(記為模型一)， 優(yōu)化背景值后的Verhulst模型(記為模型二)， Verhulst直接建模模型(記為模型三)以及本文非齊次的GM(1,1)冪模型. 模擬結(jié)果及精度對(duì)比見(jiàn)表2.

表1 2002～2009年天然原油生產(chǎn)量

注： 表1的數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[7]中的表3

本文模型(非齊次的GM(1,1)冪模型)的參數(shù)值：

x(1)(k+1)=72.863 353 4+6.336 645 679k-45.381 083 46-16.695 490 02e-0.139 631 873k

累減還原x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k).

模擬預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 模擬結(jié)果與精度對(duì)比

注： 模型一、 模型二、 模型三的數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[7]的表4.

結(jié)論： 對(duì)比表2的模擬結(jié)果， 模型二通過(guò)優(yōu)化背景值后大幅度縮小了誤差， 提高了精度； 另辟蹊徑的模型三通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)直接建模， 雖未對(duì)模型的背景值進(jìn)行優(yōu)化但提高了建模精度， 且甚至比模型二優(yōu)化背景值后的模型建模精度高； 而本文模型與前三個(gè)模型相比， 建模精度均優(yōu)于前三個(gè)模型.

例2本例對(duì)我國(guó)歷年人口數(shù)據(jù)建立傳統(tǒng)的Verhulst模型、 優(yōu)化背景值的Verhulst模型、 Verhulst模型的直接建模及本文非齊次的GM(1,1)冪模型， 非齊次的GM(1,1)冪模型直接建模用五種模型對(duì)人口進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)， 結(jié)果見(jiàn)表4.

利用2007～2011年數(shù)據(jù)建立模型(數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[18])， 為方便將傳統(tǒng)的Verhulst模型、 優(yōu)化背景值的Verhulst模型及Verhulst模型的直接建模分別記為模型四、 模型五、 模型六.本文模型一和本文模型二的原始數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.

通過(guò)計(jì)算模型六的表達(dá)式為

表3 我國(guó)歷年人口

x(1)(k+1)=(104 938.830 8+28 498.96617k-58 958.755 89-4 023.407 681e-0.483 371 227k)1.119 2，累減還原

x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k).

本文模型2的表達(dá)式如下：

x(0)(k+1)=(37 120.04613+183.535 9162k-735.392 653 1-29.050 575 07e0.249 575 401k)1.119 2

模擬值及精度對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 模擬值及精度對(duì)比

文獻(xiàn)中的模型四、 模型五并未對(duì)2012年的人口進(jìn)行預(yù)測(cè)， 但本文利用模型六及本文模型1、 本文模型2對(duì)2012年的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)， 模型六、 本文模型1、 本文模型二的預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表5， 2012年的原始數(shù)據(jù)為136 863.

表5 預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)精度

注： 1)模型四與模型五的數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[18],模型六通過(guò)文獻(xiàn)[22]計(jì)算得到； 本文模型1為非齊次的GM(1,1)冪模型， 本文模型2為通過(guò)本文方法直接建模得到； 2)計(jì)算平均相對(duì)誤差時(shí)先分別對(duì)五種模型的相對(duì)誤差取絕對(duì)值， 再計(jì)算平均.

結(jié)論： 從模擬角度出發(fā)， 通過(guò)表4不難發(fā)現(xiàn)， 模型四的平均相對(duì)誤差為4.92， 均大于其余模型的平均相對(duì)誤差； 而模型五的平均相對(duì)誤差為2.79， 小于模型四及本文模型1的平均相對(duì)誤差； 模型六的平均相對(duì)誤大于其余模型的誤差而小于本文模型2的平均相對(duì)誤差. 盡管本文模型1的平均相對(duì)誤差大于模型六， 但是通過(guò)本文方法直接建模后的模型(即本文模型2)的誤差明顯比模型六小， 說(shuō)明本文模型具有實(shí)用性. 從預(yù)測(cè)角度看， 模型六的預(yù)測(cè)精度明顯低于本文模型， 并且對(duì)數(shù)據(jù)用本文模型直接建模后， 提高了預(yù)測(cè)精度， 說(shuō)明非齊次的GM(1,1)冪模型具有較高的模擬精度， 且本文模型更實(shí)用， 并且原始數(shù)據(jù)是單調(diào)遞增， 若對(duì)數(shù)據(jù)采取本文方法直接建模， 可以降低難度并提高建模精度. 對(duì)比表5與表4不難發(fā)現(xiàn)， 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直接建模， 不僅提高了建模精度， 而且大大降低了建模難度， 得到的模型不需要還原； 對(duì)于一系列單調(diào)遞增的原始數(shù)據(jù)， 在建模過(guò)程中采取直接建模式是一種有效的方法.

4 結(jié)論

在研究GM(1,1)模型、 Verhulst模型及GM(1,1)冪模型的過(guò)程中， GM(1,1)模型及Verhulst模型均為GM(1,1)冪模型中冪指數(shù)分別為1與2的特殊情形， 由于原始數(shù)據(jù)不一定滿足齊次指數(shù)形式， 因此有必要對(duì)不滿足齊次指數(shù)形式的數(shù)據(jù)建立非齊次的GM(1,1)冪模型； 其次對(duì)不滿足齊次指數(shù)的數(shù)據(jù)直接采取冪指數(shù)為1或者2建立GM(1,1)模型、 Verhulst模型并不準(zhǔn)確， 因此本文通過(guò)建立非齊次的GM(1,1)冪模型， 利用微分方程及數(shù)據(jù)變換進(jìn)行求解得到時(shí)間響應(yīng)式， 對(duì)響應(yīng)式離散化累減還原得到模擬值； 對(duì)于單調(diào)遞增的原始數(shù)據(jù)， 可對(duì)原始數(shù)據(jù)直接建模， 如實(shí)例2， 直接建模后的模型不僅提高建模精度而且減少數(shù)據(jù)還原， 降低建模難度； 最后通過(guò)兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明非齊次GM(1,1)冪模型可提高建模精度， 并且擴(kuò)展了適用范圍. 實(shí)際上， 利用本文模型能提高精度的原因在于本文的模型及求參數(shù)的方法. 首先GM(1,1)模型、 Verhulst模型中冪指數(shù)分別采取1與2， 但實(shí)際上并非數(shù)據(jù)都滿足這一情形， 故如果采用冪模型建?？蓽p小冪指數(shù)帶來(lái)的誤差， 其次在求解參數(shù)過(guò)程中背景值并未參與求解， 而是從時(shí)間響應(yīng)式出發(fā)進(jìn)行求解， 這減少背景值帶來(lái)的誤差； 說(shuō)明此模型的可行性.