柴根炎

浙江省桐廬縣橫村小學(xué)勝峰校區(qū)，浙江杭州311512

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義重于記憶，理解重于知覺。本課學(xué)習(xí)筆者力求“放”，把時間空間交給學(xué)生，借助四單的導(dǎo)，讓學(xué)生在思考，討論，交流等數(shù)學(xué)活動中主動提出數(shù)學(xué)問題，主動獲得數(shù)學(xué)知識，主動暴露學(xué)生思維。教學(xué)中，筆者以學(xué)情，“緊抓”探究問題，層層遞進(jìn)，問題不斷加深，方法逐步顯現(xiàn)，使知識的掌握與理解水到渠成。

生活中，學(xué)生對找次品已經(jīng)有了自己的一點(diǎn)理解，對五年級的學(xué)生而言，找次品并不難，那么，我們能讓學(xué)生在預(yù)學(xué)單中自己提出數(shù)學(xué)問題嗎？讓學(xué)生在探究單的探究過程中經(jīng)歷操作甚至看到找次品的過程嗎？是不是可以通過四單導(dǎo)學(xué)讓學(xué)生的思維過程充分地暴露出來呢？教學(xué)中是不是可以讓學(xué)生覺得找次品挺好玩呢？如何讓學(xué)生充分理解為什么盡量平均分成3份的稱法最優(yōu)？基于以上分析，我確定的教學(xué)目標(biāo)是——

（1）使學(xué)生認(rèn)識并經(jīng)歷找次品的過程，理解為什么盡量平均分成3 份的稱法最優(yōu)。

（2）貫串“猜測—驗(yàn)證—調(diào)整”的數(shù)學(xué)思維方法，充分利用導(dǎo)學(xué)單開展有效教學(xué)，附之辯論式學(xué)習(xí)使學(xué)生在思維能力，語言表達(dá)，情感態(tài)度等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

1.實(shí)踐中的歡愉

【教學(xué)片段一】教學(xué)內(nèi)容在預(yù)學(xué)單中體現(xiàn)

師：同學(xué)們昨天完成了一份預(yù)學(xué)單，張老師也細(xì)細(xì)品讀了大家的學(xué)習(xí)內(nèi)容，心里很有感觸，現(xiàn)在，我們一起來看看同學(xué)們的預(yù)學(xué)成果吧！（PPT 緩緩呈現(xiàn)學(xué)生作品）

生：（緊盯著大屏幕，靜靜的看，當(dāng)屏幕中出現(xiàn)自己姓名時是激動的）

師：針對同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)、疑惑和學(xué)習(xí)期望，老師進(jìn)行了整理，總結(jié)出了以上幾個問題。（PPT 先出示四個問題）

1.次品一定是輕的嗎？

2.如果有許多物品，只稱一次就能找到次品嗎？

3.至少要稱幾次才能保證找到次品是什么意思？

4.用什么方法可以清楚的表示找次品的過程？

師：請大家獨(dú)立思考一分鐘。

師：（一分鐘后）合作的力量是強(qiáng)大的，請同學(xué)們以小組為單位，開始交流吧！（合作交流，匯報(bào)員進(jìn)行匯報(bào)）

……

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的預(yù)學(xué)產(chǎn)生了許多學(xué)習(xí)中所需的內(nèi)容，這些內(nèi)容是學(xué)生經(jīng)歷思考，經(jīng)歷探究，經(jīng)歷交流得出的，是原生態(tài)的，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的寶貴財(cái)富。這些內(nèi)容是學(xué)生自己提煉出的真發(fā)現(xiàn)，真疑惑，屬于學(xué)生自我的學(xué)習(xí)期望。而巧合的是這些學(xué)習(xí)內(nèi)容與本課的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)不謀而合！針對學(xué)生的“作品”，進(jìn)行整合，給學(xué)生獨(dú)立思考的時間，思考之后，合作交流，讓學(xué)生的預(yù)學(xué)“財(cái)富”融合于生生之間。先學(xué)后教，知識內(nèi)容的來源是純天然的，是原生態(tài)的，是來源于學(xué)生是這一主體的，富有人文情懷的。

【教學(xué)片段一】根據(jù)主問題，由繁思簡，模擬天平找次品

如果有許多個物品，其中只有一個次品，怎樣可以最快速的保證找到那一個次品？（PPT 出示學(xué)生的第5 個問題）

師：許多個可能是多少呢？（學(xué)生眾說紛紜，有的說是5個，有的說是8 個，等等。

師：再多幾個?。▽W(xué)生說15 個）

師：如果我們每位同學(xué)都有一罐糖果，那有幾瓶。

生：48 瓶！

師：今天我們的目標(biāo)就是從48 瓶糖果中找出這一瓶次品，48 這個數(shù)字有點(diǎn)大，當(dāng)我們碰到數(shù)據(jù)比較大的時候，我們往往采用什么策略，你知道嗎？

生：先少幾個！

師：對，就是由簡單到復(fù)雜！最簡單是幾？

生：2 瓶！

設(shè)計(jì)意圖：提出本課核心教學(xué)內(nèi)容，即找到解決問題的最優(yōu)策略。提出48 瓶這一探究目標(biāo)，激起學(xué)生深入探究的欲望，提出由簡單到復(fù)雜這種解決問題的策略，以此展開探究。

師：好！我們就從2 瓶開始！兩瓶糖果中，其中有一瓶少了兩顆，怎樣找到次品？老師忘記帶天平了?。ü首鼋辜睜睿?/p>

師：（尋找）呦！這里有一架天平（拉起一個男生），你知道天平長什么樣嗎？（男生伸起了雙手）瞧！人工智能天平?。ㄈ嗪呛谴笮Γ?/p>

師：誰上來擺一擺！（拿出兩瓶糖果）

生1：哪瓶重啊，你顛一顛?。。ㄓ悬c(diǎn)著急）

師：哈哈，張老師給個小提示，你可以使用“如果……那么……”來造句。

生1：（點(diǎn)了點(diǎn)頭）如果天平左邊高，右邊低，那么次品就在左邊。

師：有別的情況嗎？

生1：如果天平右邊高，左邊低，那么次品在右邊。（邊說邊在黑板上畫圖）

師：可以這樣說嗎？

生：可以！（掌聲鼓勵）

師：接下來研究幾瓶？

生：3 瓶。

師：從3 瓶糖果中找到一瓶次品至少要稱幾次才能保證找到呢？（看著“人工智能天平”，微笑示意其上臺！其余學(xué)生笑嘻嘻地聽著）

生1：我是這樣稱的，如果天平不平衡，那么翹起的一端的就是次品！

師：真棒，還有補(bǔ)充嗎？

生2：如果天平平衡，那么剩下的一瓶就是次品！

師：為什么？

生3：因?yàn)? 瓶里面只有一瓶次品，如果天平平衡，那么天平上的這兩瓶肯定一樣重，剩下的這一瓶不用稱也能知道它是次品了?。▽W(xué)生們紛紛點(diǎn)頭）

師：你點(diǎn)頭是什么意思？說說！

生：（總結(jié)以上兩種稱法，教師黑板上畫圖）

設(shè)計(jì)意圖：2 瓶糖果是最簡單的一種情況，通過尋找“人工智能天平”讓學(xué)生建立天平稱物的基本思想。由一把“人工天平”，學(xué)生靜靜地觀察，比較，傾聽，使得對找次品有了最初的形。學(xué)生的思考都是結(jié)合“形”，是來自于課中的生成的，是看的見、摸的到的。學(xué)生結(jié)合實(shí)際理解2 瓶，3 瓶這兩種最基本的模型，為后續(xù)探索“許多物品”做好鋪墊。

教學(xué)片段二：利用探究單，主動探究最優(yōu)策略

（探究一：5 瓶糖果中有一瓶少了2 顆，假如用天平稱，至少要稱幾次才能保證找到次品？）

師：桌上有許多小紙片，自己試著擺一擺，說一說。

師：（巡視）同桌之間可以竊竊私語一番？

生：（踴躍交流）

師：需要人工天平嗎？不能再折磨你了（學(xué)生忍不住笑了起來），請同學(xué)們自己扮演天平，面向大家說說！

生1：天平兩邊各放一瓶，如果不平衡，那么輕的就是次品。（學(xué)生們紛紛議論）

生2：但是這是在運(yùn)氣好的情況下，不能保證。（臺上學(xué)生若有所思的點(diǎn)點(diǎn)頭）

師：你同意他的說法嗎？

生1：同意！如果天平平衡，再拿兩瓶繼續(xù)稱，如果平衡，那么剩下的就是次品；如果不平衡那么次品就是輕的那瓶。（邊說邊擺了起來）

師：（在黑板上板書：5（1，1，1，1，1））幾次才能找到次品！

生1：2 次。

師：那么復(fù)雜，誰聽懂了？

生：（再次敘述）

師：可以這樣寫嗎？（在黑板上板書：5（1，1，3）；3（1，1，1）共2 次）

生3：我還有補(bǔ)充，在天平兩端各放2 瓶，如果平衡，那么次品就是剩下的一瓶，但不能保證；如果不平衡，那么次品就在向上一端的兩瓶里。再把這兩瓶放在天平上，輕的就是次品。（邊說邊擺）

師：（板書：5（2，2，1）2（1，1））稱了幾次？

生3：也是兩次。

師：帶著大家總結(jié)了兩種方法。提問：以上兩種不同的稱法，它們有什么相同的地方……

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生動手操作后，有了操作的經(jīng)驗(yàn)，相互之間交流，合作學(xué)習(xí)，這是一個獨(dú)學(xué)與群學(xué)交融的過程。從5 瓶中找一瓶次品，鼓勵學(xué)生方法的多樣化。提問不同稱法有什么相同之處，意在讓學(xué)生體會至少……保證找到的意義和用天平找次品時天平兩端需放置相同數(shù)量的物品，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

教學(xué)片段三：利用探究單，深入探究最優(yōu)策略

（從9 瓶里面找一瓶次品，至少要稱幾次才能保證找到次品？探究二）

師：同學(xué)們可以選擇自己喜歡的方法，如：畫一畫，擺一擺，說一說，寫一寫（思考：你是怎么稱的，有其它稱法嗎？）

生：（獨(dú)立思考，思考后同桌之間交流）

生1：先在天平兩端各放一瓶，天平如果不平衡，那么次品就是輕的這一瓶，但是這不能保證。如果天平平衡，再拿兩瓶稱，天平仍然平衡，像這樣繼續(xù)稱，不管平不平衡，再稱一次就能找到次品了。一共稱了四次。

師：站著的同學(xué)注意了，現(xiàn)在你們在同一個陣線，如果有同學(xué)稱的次數(shù)比你們少，還能找出次品，當(dāng)你們被說服的時候，就可以坐下去，好嗎？說服不了，我們就堅(jiān)守陣地，好嗎？（站著的學(xué)生點(diǎn)點(diǎn)頭）

生2：我是這樣稱的。先在天平兩端各放4 瓶，稱一次，平衡，那么次品就是剩下的這瓶，但這不能保證。如果天平不平衡，那么次品就在輕的這一端的四瓶里，再把它們放在天平的兩端，各放兩瓶，那么次品在肯定在翹起一端的兩瓶中。剩下兩瓶稱一次就能找到次品了。

生3：不一樣！我是這樣找的，在天平的兩端各放2 瓶，平衡則次品在剩下的5 瓶里，從5 瓶里找次品，剛剛我們找過了只要2 次，那么一共也是三次！

生4：老師，我只要稱兩次就可以找到次品。

師：我也覺得，人家搞了半天，也要三次，你確定你只要兩次就可以找到次品了！

生5：是的，我確定。我是這樣稱的，把9 瓶糖果平均分成3 份，一份有3 瓶，如果天平平衡，那么次品就在剩下的3瓶里，稱一次就能找到。（教師板書：9（3，3，3）3（1，1，1））可以這樣表示嗎？好像是的呢？都被說服了嗎？（有人舉起了手）

生6：我覺得這樣稱也要三次啊，如果第一次不平衡呢？

生7：是的，如果天平平衡，那么次品就是在剩下的3 瓶里，找一次夠了；如果不平衡，次品一定在其中的一份中，也就是向上翹起的這3 瓶里，那么再稱一次也能找到次品了?。ㄉ? 靜靜地坐了下去）

生6：……

設(shè)計(jì)意圖：選擇自己喜歡的方法進(jìn)行探究，本課不要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)符號表示稱次品過程，更強(qiáng)調(diào)的是讓學(xué)生用自己喜歡的方法經(jīng)歷找次品的過程。獨(dú)立思考時提出思考要求，學(xué)生的操作是有目的性，是有意義的。讓學(xué)生完整表述找次品的全過程，配合紙片的演示，圖文結(jié)合，學(xué)生的表達(dá)不斷規(guī)范化，對找次品的過程理解不斷升華。學(xué)生充分發(fā)表自己的見解，教師適時組織，形成辯論陣營，通過生生交流不斷建構(gòu)找次品的最優(yōu)策略，學(xué)生形成聯(lián)盟，敢于開口，看似平常的話語卻道出找次品的本質(zhì)：當(dāng)把總瓶數(shù)分成3 份，每份越接近，那么找次品的次數(shù)就越少。學(xué)生勇敢地與不同陣營的對手“對抗”，不停發(fā)表著自己的見解，最終獲得了令人欣喜的“勝利”，而筆者亦靜靜的享受這份純天然的學(xué)習(xí)過程。通過學(xué)生“打乒乓”式的交流問答，深入理解找次品的核心環(huán)節(jié)。利用導(dǎo)學(xué)單的教學(xué)著力抓住學(xué)生的不同理解，展開及時有效的辯論教學(xué)，學(xué)生對知識的理解和對數(shù)學(xué)的情感都得到升華。

教學(xué)片段四：深入構(gòu)建（找次品的最優(yōu)策略）

（探究三：為什么找次品的過程中要盡量把物品平均分成三份？）

師：同學(xué)們相信“火眼金睛”嗎？（突然認(rèn)真了起來）老師相信！

師：比較四種稱法，哪種稱法次數(shù)最少？

生：最后一種。（9（3，3，3）3（1，1，1））

師：誰來揭開其中的奧秘！

生1：最后一種稱的次數(shù)最少，因?yàn)樗? 瓶分成了三份。

生2：最后一種是均分的。

生：（靜靜地思考）

師：可以交流一會會！

生1：我知道，平均分成了三份，稱一次后，就只剩下了三瓶。

生2：這樣分淘汰了6 瓶，它和其它方法去比，稱一次后剩下的瓶數(shù)最少！

師：了不起，看來大家真的有“火眼金睛”。

師：平均分成三份，淘汰其中的兩份，可以使剩下的瓶數(shù)最少，真是好方法！可不可以這樣呢？把瓶數(shù)平均分成4 份，一次性淘汰其中的3 份，這樣剩下的不是更少了嗎？可以嗎？（PPT，出示天平的構(gòu)造）……

設(shè)計(jì)意圖：深入挖掘找次品的最優(yōu)策略，通過設(shè)置問題，讓學(xué)生陷入思考。靜靜思考過后，再組織交流，順勢而導(dǎo)，順勢而學(xué)。為什么要平均分成三份？出示天平的構(gòu)造，學(xué)生直指問題根源，學(xué)習(xí)的深度凸顯。

師：今天我們的目標(biāo)是幾瓶呢？還差的好遠(yuǎn)，我們得抓緊了。

練習(xí)單：（1.27 瓶糖果中有1 瓶是次品（輕一些），至少稱幾次就能保證找到次品？2.81 瓶呢？3.48 瓶至少要稱幾次呢？）

生：……（出示當(dāng)物品數(shù)不是3 的倍數(shù)，盡可能平均分）

設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)學(xué)單中練習(xí)單的使用結(jié)合了本節(jié)課的內(nèi)容，讓學(xué)生靜靜地練習(xí)，有效的學(xué)習(xí)離不開適度地練習(xí)，學(xué)生自然地鞏固了新知。組織學(xué)生先思考，再交流，凸顯交流的有效性。

的確，數(shù)學(xué)知識并不是可以輕松習(xí)得，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中需要孩子善于發(fā)現(xiàn)、勇敢的去猜想、不斷的去推理演繹、反復(fù)的收集驗(yàn)證，很多時候還需要學(xué)會接受其他的孩子和老師們的批判與辯論，既要學(xué)會說服自己，也要學(xué)會說服他人。伴隨著課堂的推進(jìn)和知識的深入學(xué)習(xí)，孩子們才能真正地走進(jìn)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼统橄笫澜?。而?dǎo)學(xué)單設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生先自己去探究、經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，通過學(xué)生的預(yù)學(xué)、探究、辯論、總結(jié)來解決問題。通過先學(xué)后教，讓學(xué)生自己去感知，去體驗(yàn)，獲得更豐富的學(xué)習(xí)機(jī)會和學(xué)習(xí)感悟。當(dāng)學(xué)生的想法不斷呈現(xiàn)時，筆者欣喜的發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛力和創(chuàng)造力是無限的。