趙 陽(yáng)

（北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 北京 102488）

多元積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是難點(diǎn)，在計(jì)算上往往比較復(fù)雜，許多情況下可利用幾何意義和對(duì)稱性可以使得計(jì)算簡(jiǎn)潔方便。[1-2]但在許多教材中，置換對(duì)稱性提及的不多，或者只是敘述一個(gè)輪換對(duì)稱性(輪換常指按照順序從左到右置換)結(jié)果，直接應(yīng)用。嚴(yán)格的證明用到多重積分的換元法，[3-5]換元法在許多學(xué)校的教學(xué)大綱里不做要求，所以課堂上也很少講述，這樣導(dǎo)致學(xué)生們使用對(duì)稱性時(shí)只能照搬方法，知其然，而不知其所以然，容易進(jìn)一步固化思維，不利于多維度思維方式和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。本文利用圖示化的方法對(duì)置換對(duì)稱性做了詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生去探索結(jié)論的來(lái)龍去脈，并應(yīng)用到具體實(shí)例中，讓學(xué)生參與創(chuàng)造性教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)基本的邏輯論證和創(chuàng)新能力。

1 置換對(duì)稱性的圖示化

先考察兩個(gè)特殊例子，引導(dǎo)學(xué)生自己去探索計(jì)算的過(guò)程。

積分與使用的符號(hào)無(wú)關(guān)，數(shù)學(xué)家陳省身評(píng)論：笛卡爾一生最偉大的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系，但是笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的時(shí)候犯了a little mistake，他把橫軸叫做x軸，縱軸叫做y軸，其實(shí)x軸和y軸的地位是identical的。所以得到：

圖7

上面兩個(gè)例子經(jīng)過(guò)圖示化方法說(shuō)明了置換對(duì)稱性的原理，不需要復(fù)雜的證明，可以讓學(xué)生有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，避免在使用置換對(duì)稱性時(shí)出錯(cuò)。讓學(xué)生從特殊到一般，自己寫(xiě)出置換對(duì)稱性的一般情況，體會(huì)創(chuàng)造性過(guò)程的樂(lè)趣。

嚴(yán)格的證明可見(jiàn)。對(duì)于不講換元法的課程來(lái)說(shuō)，這樣圖示化說(shuō)明既簡(jiǎn)潔又解釋了原理，可以讓學(xué)生很好地參與到結(jié)論的創(chuàng)立之中，激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造力。進(jìn)一步可寫(xiě)出三維的情況：

其它的置換情況(共六種情形)可以自己寫(xiě)出來(lái)，常用的輪換對(duì)稱性是其中一個(gè)特殊情況。

2 置換對(duì)稱性的應(yīng)用

解：由置換對(duì)稱性得：

例3(競(jìng)賽)設(shè) 在[0,1]上連續(xù)，證明：

圖8

3 總結(jié)

任一學(xué)科的發(fā)展都充滿了創(chuàng)造性，教學(xué)設(shè)計(jì)也是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，如何讓學(xué)生有所收獲，發(fā)揮主動(dòng)性是每一老師面對(duì)的問(wèn)題。歐拉認(rèn)為：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)，模型和圖形的廣泛應(yīng)用就是這樣的例子。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)概念，定理引入圖示化方法可以直觀增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與這一過(guò)程，更好理解其本質(zhì)的含義，有助于建立獨(dú)立思考和創(chuàng)新的思維方法。