廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆 偉

1.試題呈現(xiàn)

題目(2019年廣西賽區(qū)預(yù)賽試題)如圖1,設(shè)k >0 且1,直線l:y=kx+1 與l1:y=k1x+1 關(guān)于直線y=x+1 對稱,直線l與l1分別交橢圓于點A,M和點A,N.(1)求kk1的值; (2)求證:對任意的k,直線MN恒過定點.

圖1

作為競賽試題,該題難度適中,解法多樣,是一道具有研究價值的好題.碰到這道題是源于在一節(jié)自習課上筆者偶遇幾個數(shù)學基礎(chǔ)較好的學生討論此題,于是第二天將此題作為選做題作業(yè)布置給學生,經(jīng)反饋后,能解出的學生大都采用的是下文中的常規(guī)解法,個別學生用的是齊次化求解(算是很牛的學生),大部分人勞而無功,主要原因是“算”不下去.下面給出常規(guī)解法,供大家參考.

解(1)因為直線l與l1關(guān)于直線y=x+1 對稱,由到角公式知:,解得kk1=1.

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線AM與橢圓方程得(4k2+1)x21+8kx1= 0,所以聯(lián)立橢圓與直線AN同理可得:由可知:,于是直線MN的斜率從而直線MN的方程為化簡得:對任意的k,直線MN恒過定點

評注此解法是解析幾何試題中求定點問題的常用方法,用斜率作為單一參數(shù)來表示直線方程,進而確定定點坐標;解法思路自然,學生容易想到,但是運算量很大,對學生的運算能力有較高的要求.

2.試題第(2)問的另解

大部分計算能力較弱的學生算不下去,要么是聯(lián)立后M,N坐標算錯,或者直線MN的斜率化簡出問題導(dǎo)致解題崩盤;其實對于這類定點問題,我們想解決直線MN的方程,而MN的方程受到直線AM,AN的制約,于是可以將兩條直線方程同時與橢圓聯(lián)立得到三個公共點再舍去A點,即可得到直線MN的方程,思路簡捷,計算量大大減少,同時也體現(xiàn)了該試題的本質(zhì).

解由題意可知直線AM,AN的方程為分別為y=kx+1 和y=k1x+1,則雙直線方程(kx+1?y)(k1x+1?y)=0 表示直線AM,AN上的所有點,整理得kk1x2+(k+k1)x(1?y)+(1?y)2=0.

因為M,N在橢圓+y2=1 上,即x2=4(1?y2),和上式聯(lián)立得4kk1(1?y2)+(k+k1)x(1?y)+(1?y)2=0,且1,kk1=1,于是有4(1+y)+(k+k1)x+(1?y)=0,即(k+k1)x+(5+3y)= 0,此方程即為直線MN的方程,令x=0,解得于是直線MN恒過定點

評注本解法利用兩條直線方程的乘積形式來刻畫直線MN的方程,其本質(zhì)是利用曲線系方程解題,可以將兩條直線看做二次曲線的退化,作為曲線的特殊形式,聯(lián)立兩條直線(曲線)與橢圓得到的解就是對應(yīng)交點M,N的坐標,從而快速鎖定直線MN的方程,此過程中代數(shù)變形簡單,極大提高了解題效率.

3.方法總結(jié)

筆者發(fā)現(xiàn),只要試題中的條件滿足兩條直線過曲線上同一點P(x0,y0),即曲線上的內(nèi)接三角形出現(xiàn),利用雙直線方程與曲線聯(lián)立解題簡捷、高效,具體步驟總結(jié)如下:

(1)設(shè)兩條直線方程分別為y=k1(x ?x0)+y0與y=k2(x ?x0)+y0,將其寫成雙直線方程

形式并化簡;

(2)將上述雙直線方程與已知曲線聯(lián)立并消去已知點P(x0,y0),得到含有參數(shù)k1,k2的一般方程;

(3)根據(jù)所求的一般方程計算相關(guān)的定點和定值問題.

4.拓展應(yīng)用

例1(2017年高考全國I 卷第20 題)已知橢圓四點P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點在橢圓上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點,且與橢圓C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率之和為?1,證明:直線l過定點.

解(1)橢圓C的方程為過程從略.

(2)設(shè)直線P2A,P2B的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=?1,于是直線P2A與P2B的雙直線方程為(k1x+1?y)(k2x+1?y)= 0,化 簡 得k1k2x2+(1?y)2+(k1+k2)(1?y)x=0,與橢圓聯(lián)立得:4k1k2(1?y2)+(1?y)2?x(1?y)= 0,此方程的解是橢圓與兩條直線的三個公共點P2,A,B的坐標,因為P2(0,1),當1 時,得4k1k2(1 +y)+(1?y)?x= 0,這便是直線AB的方程,由于k1,k2取任意值,令y=?1,解得x=2,故直線l過定點(2,?1).

評注本題利用兩條雙直線同時與橢圓聯(lián)立得到三個公共點,再舍去點P即為直線AB的方程,相比傳統(tǒng)方法直接設(shè)直線AB方程再聯(lián)立橢圓消去參數(shù)更簡潔,極大減少了運算量,達到化繁為簡的效果.

例2已知橢圓E:的離心率為,上頂點為B,點P在橢圓上,點D(0,?2b),如圖2所示,?PBD的面積最大值為

圖2

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線DP與橢圓的另一交點為Q,直線BP,BQ分別與x軸交于點M,N,試判斷|OM|·|ON|是否為定值,并說明理由.

解(1)橢圓E的方程為過程從略.

(2)設(shè)直線BP,BQ的斜率分別為k1,k2,則兩直線方程分別為y=k1x+1 和y=k2x+1,于是雙直線方程為(k1x+1?y)(k2x+1?y)=0,化簡得k1k2x2+(1?y)2+(k1+k2)(1?y)x= 0,與橢圓方程x2= 2(1?y2)聯(lián)立得:2k1k2(1?y2)+(1?y)2?x(1?y)=0,即B,P,Q三點滿足的方程,若y≠1,得2k1k2(1+y)+(1?y)+(k1+k2)x=0為直線PQ的方程; 又因為D(0,?2)在直線PQ上,代入得結(jié)合圖2可知,在Rt?BOM中,|k1|=同理可得于是

評注本題的關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合將題中幾何長度轉(zhuǎn)化為斜率,再聯(lián)立雙直線與橢圓方程得到兩直線的斜率之積,相比較利用M,N兩點的橫坐標再結(jié)合方程聯(lián)立和韋達定理而言要簡便得多,故解題中要抓住問題的本質(zhì),明確雙直線聯(lián)立后的意義,這樣可以極大優(yōu)化解題過程,可謂大道至簡.

5.結(jié)束語

解析幾何的根本思想是幾何問題的代數(shù)化,即將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為易于計算的代數(shù)問題,那么選擇什么樣的轉(zhuǎn)化方法就顯得尤為重要,如上文中利用雙直線與曲線聯(lián)立的方法就更巧妙,運算簡潔,思路新穎,這就要求我們在平常的課堂教學中打破那種單一的聯(lián)立直線和曲線再結(jié)合韋達定理求解的慣性思維,從整體思想的視角出發(fā),在與曲線聯(lián)立時作一些靈活的轉(zhuǎn)化,即從另一個角度感受解析幾何試題中簡化運算的技巧和思維方式,從而有效地提高教學的效率.