羅雪

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

在過去10余年間，平面陣[1-3]吸引了相當(dāng)多的關(guān)注，它能夠被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、通信和導(dǎo)航等諸多領(lǐng)域. 在之前的研究中，人們主要關(guān)注均勻矩形陣列(uniform rectangular array,URA)[1-2]. 為了使相鄰陣元接收的信號相位差在[0,2π]范圍內(nèi)，限制相鄰傳感器間隔不超過λ/2，其中λ代表了信號波長. 然而，這一類陣列的探測能力受到傳感器數(shù)量的限制. 密集陣列結(jié)構(gòu)也帶來嚴(yán)重的耦合干擾，造成了估計誤差的顯著增長. 同時，制造和維護(hù)具有大孔徑的均勻平面陣列的成本過高. 基于這些原因，本文研究了能夠用少得多的傳感器恢復(fù)空間譜且互耦效應(yīng)相對較低的平面稀疏陣(planar sparse arrays,PSA).

遵循嵌套陣[4]和互質(zhì)陣[5]等一維非均勻陣列的思想，一些PSAs被提出用于二維(2-dimensional,2-D)DOA估計. 例如，L型嵌套陣[6]和2-D互質(zhì)陣[7]通過比較稀疏子陣的結(jié)果和利用快速譜搜索方法成功地解決了模糊問題. 然而這兩種方法的可識別信源數(shù)量并沒有顯著增加. 為了得到有更大自由度(degree of freedom,DOF)的無孔虛擬URA，幾個基于差分共陣(difference co-array,DCA)的概念且有閉合表達(dá)式的陣型被提出，包括了廣告牌陣列、2-D嵌套陣和開盒陣(open box array，OBA)[8-9]. 在上面提到的這些PSAs中，給定相同數(shù)量傳感器的情況下，開盒陣能夠得到最高的DOF. 但由于開盒陣邊界上密集的傳感器分布，它的互耦較大. 為了解決這一問題，幾個改進(jìn)的結(jié)構(gòu)被提出，例如部分開盒陣(partially open box array,POBA)、半開盒陣(half open box array,HOBA)、兩層半開盒陣(half open box array with two layers,HOBA-2)和沙漏陣(hourglass array,HA)[10-11]. 在這些稀疏陣中，沙漏陣有最低的互耦效應(yīng). 但要注意的是沙漏陣中間隔為(0,1)的傳感器對數(shù)量仍然非常多，還有很大的空間去進(jìn)一步優(yōu)化結(jié)構(gòu)和提升性能.

本文放松了對DCA的限制，并允許虛擬共陣是一個有孔陣列. 只要DCA中的連續(xù)范圍是一個與OBA有相同尺寸的URA，就可以獲得相同數(shù)量的DOF. 基于這一策略，本文首先將OBA中的垂直元素移到外側(cè)對角直線上以保證有效URA的尺寸與OBA相同. 得到的稀疏H型陣(sparse H array,SHA)密集傳感器數(shù)量明顯降低. 仿真結(jié)果證實了提出的稀疏H型陣比OBA及其改進(jìn)結(jié)構(gòu)有更好的DOA估計性能.

1 信號模型

(2)

(3)

考慮到互耦，信號模型需要被修改為x(k)=CAs(k)+n(k)，其中C是互耦矩陣，指示了有不同間隔的相鄰傳感器之前相互干擾的程度. 根據(jù)文獻(xiàn)[15]，C的形式為

(4)

2 稀疏H型陣列

2.1 稀疏H型陣列的提出

首先，引入有效差分共陣(effective difference co-array,EDCA)概念：給定一個平面稀疏陣和它的差分共陣，有效差分共陣(表示為R)被定義為中有最大的二維孔徑的中心URA.

定義1對于兩個正整數(shù)Nx≥3和Ny≥2，稀疏H型陣被定義為一個物理傳感器位于如下網(wǎng)格上的PSA

SHA=H∪V11∪V12∪V21∪V22.

其中

從定義中，可以很容易推導(dǎo)出v11∪v12=v21∪v22=Sy={1,2,…,Ny-1}. 圖1給出了一個Nx=14和Ny=12的SHA. 能夠觀察到在x軸上有一個14元素的均勻線陣，元素間間隔為1.y方向的元素分布在兩條線nx=0和nx=Nx-1上. 在x軸上的部分是兩個奇數(shù)序列有ny={1,3,5,7,9,11}，x軸之下的部分是兩個偶數(shù)序列有ny={-2,-4,-6,-8,-10}，相鄰傳感器間隔被設(shè)置為2. 此外，v11∪v12=v21∪v22={1,2,…,11}. 傳感器總數(shù)為Nx+2(Ny-1)=36.

性質(zhì)1對于兩個正整數(shù)Nx≥3和Ny≥2，公式(5)中定義的稀疏H型陣與開盒陣有相同的EDCA(即RSHA=ROBA)但有更少的小間隔傳感器對.

證明參數(shù)為Nx,Ny的開盒陣擁有一個無孔DCA，表示為ROBA=OBA={(nx,ny)|nx∈[-Nx+1,Nx-1],ny∈[-Ny+1,Ny-1]}. 需要去證實對于OBA中所有的存在兩對pi,pj∈SHA滿足此外，它是SHA中最大的URA.

這表明了RSHA?OBA. 因為SHA中所有元素的x坐標(biāo)不能超過范圍[0,Nx-1]，不存在nx>Nx-1或nx<1-Nx的虛擬傳感器. 類似的，對于R1,R2，因為y坐標(biāo)值在范圍1-Ny≤ny≤Ny-1中，ny和0之間的最大差值為Ny-1. 因此得出結(jié)論RSHA=OBA=ROBA.

性質(zhì)2冗余函數(shù)能夠被表示為w(0,1)=2，w(1,1)=w(1,-1)=1，w(1,0)=Nx-1.

證明由于式(5)中定義的結(jié)構(gòu)只有兩對傳感器貢獻(xiàn)了w(0,1)，即(0,1),(0,1)和(Nx-1,1),(Nx-1,0). 冗余函數(shù)w(1,1)和w(1,-1)都是1,因為只有一對傳感器能夠得到它們，即(Nx-1,1),(Nx-2,0)和(Nx-1,-1),(Nx-2,0). 傳感器對(i,0),(i-1,0),i=1,2，…,Nx-1能夠得出w(1,0). 因此w(1,0)=Nx-1.

圖2描繪了一個Nx=14,Ny=12的SHA. 很明顯在差分共陣中最大的中心URA尺寸為(2Nx-1)×(2Ny-1)=27×23，這與有相同Nx和Ny的OBA一致. 如圖2所示，對于差值的冗余，兩對傳感器(0,1),(0,0)和(Nx-1,1),(Nx-1,0)貢獻(xiàn)了w(0,1)，只有一對傳感器(Nx-1,1),(Nx-2,0)有差值(1,1).x軸上的12對傳感器，如(2,0),(1,0)，貢獻(xiàn)了冗余函數(shù)w(1,0). 與現(xiàn)存的2-D稀疏陣相比，SHA能夠顯著降低由w(0,1),w(1,1),w(1,-1)產(chǎn)生的互耦，同時DOF保持在了相同水平.

2.2 陣列性能比較

表1 冗余函數(shù)的比較

3 仿真結(jié)果

本文將通過仿真實驗來證明提出的是SHA陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性. 假設(shè)有D=9個不相關(guān)信源從遠(yuǎn)場入射到OBA、HOBA、HOBA-2、沙漏陣、稀疏H型陣中，從歸一化方向分布在{(α,β)|α∈{-0.1,0.1,0.2},β∈{-0.1,0.1,0.2}}上. 運用2-D空間平滑和2-D酉ESPRIT進(jìn)行的DOA估計在不同的情況中被檢驗和比較.

比較了5個平面稀疏陣的DOA估計結(jié)果. 在這個實驗中，所有PSAs的參數(shù)都為Nx=15，Ny=14. 因此，傳感器總數(shù)為41，DOF是29×27. 互耦參數(shù)被設(shè)置為B=3，c1=0.3和c=c1e/. 接收信號的K=500次快拍被41個物理傳感器采樣.D=9個不相干信源入射到PSA上. 信號的SNR是0 dB.

如圖3(a)和圖3(b)所示，OBA和HOBA的DOA估計精度很差，它們的RMSE分別為0.011 3和0.010 4. 對于圖3(c)和圖3(d)所示的HOBA-2和沙漏陣估計精度要高些，它們的RMSE為0.009 5和0.008 7，估計的DOA也與真實DOA更加接近. 新提出的SHA能夠成功的探測出所有信源，它的RMSE低至0.005 8. 因此，SHA的表現(xiàn)是這五種PSAs中最好的. 其中，RMSE的定義為

4 結(jié) 論

本文提出了一個稀疏H型平面稀疏陣，降低了開盒陣中的互耦. 通過放松對差分共陣的限制，垂直邊界上的部分密集陣元能夠被重新分配到對角的垂直方向上. 因此，對于稀疏H型陣，間隔為(0,1)和(1,1)的傳感器對數(shù)量能夠被降低到2和1. 證明了在存在互耦時這個新的陣型要優(yōu)于現(xiàn)有的OBAs.