付波， 謝安桓， 趙春宇， 周華

(1.浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027；2.之江實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 311121)

隨機(jī)振動(dòng)是自然界較為常見的現(xiàn)象，如大氣湍流對(duì)飛機(jī)的影響、海浪波動(dòng)對(duì)船舶的沖擊、地震等，這些振動(dòng)環(huán)境對(duì)設(shè)備的正常工作影響很大，通過振動(dòng)環(huán)境模擬，可在設(shè)備正式應(yīng)用前對(duì)其可靠性和疲勞壽命進(jìn)行考察，提前預(yù)防可能出現(xiàn)的失效問題. 電液伺服系統(tǒng)由于其控制精度高、響應(yīng)速度快、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，而可作為振動(dòng)設(shè)備模擬振動(dòng)環(huán)境.

隨機(jī)振動(dòng)包括隨機(jī)波形再現(xiàn)和功率譜再現(xiàn)，前者可在時(shí)域上再現(xiàn)隨機(jī)波形，后者可在短時(shí)間內(nèi)同時(shí)激發(fā)出具有特定PSD的寬頻帶隨機(jī)振動(dòng)，能模擬連續(xù)平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，更為常見. 因此圍繞要求的參考加速度PSD，本文研究了電液伺服系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)控制特性.

電液伺服振動(dòng)控制系統(tǒng)一般由伺服控制器和振動(dòng)控制器組成. 伺服控制常采用三參量控制[1]，通過極點(diǎn)配置拓展系統(tǒng)頻寬. 由于系統(tǒng)廣泛存在非線性、頻寬不高等問題，固定增益控制器不能較好追蹤參考輸入信號(hào)，因此關(guān)于非線性補(bǔ)償研究得到人們重視. 其補(bǔ)償方法主要有最小控制合成法[2]、自適應(yīng)逆控制[3]、SDRE技術(shù)[4]等. 線性二次調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，LQR)在汽車控制等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[5]，基于其原理發(fā)展的SDRE技術(shù)[6]具有簡(jiǎn)潔設(shè)計(jì)流程，可使系統(tǒng)獲得較好穩(wěn)定性和頻響特性. 振動(dòng)控制器則在頻域上對(duì)信號(hào)進(jìn)行均衡修正，彌補(bǔ)伺服控制的不足. 均衡控制方法主要有線性均衡算法[7]、X濾波LMS算法[8]、基于Kalman濾波自適應(yīng)控制算法等[9]. 后兩者均衡算法雖有助于減小噪聲干擾、提高均衡速率，但需考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性，且實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜. 因此本文僅采用較為通用線性均衡算法，并結(jié)合SDRE技術(shù)來(lái)再現(xiàn)參考加速度PSD.

1 SDRE技術(shù)

假設(shè)全狀態(tài)可觀非線性系統(tǒng)表達(dá)為

y=Cx(t).

(1)

無(wú)限時(shí)間性能泛函J定義為

(2)

式中:權(quán)矩陣Q、R為正定矩陣:e(t)為誤差向量，有e(t)=yr(t)-y(t);yr(t)為參考信號(hào). SDRE技術(shù)則求解使性能泛函J最小的優(yōu)化控制輸入u(t)，流程如下[9]:

① 將系統(tǒng)表達(dá)為含狀態(tài)依賴系數(shù)(state-dependent coefficient, SDC)矩陣形式

(3)

② 在線求解SDRE

P(x)A(x)+AT(x)P(x)+CTQC-

P(x)B(x)R-1BT(x)P(x)=0,

(4)

式中P(x)為Riccati方程唯一對(duì)稱正定解.

③ 計(jì)算優(yōu)化控制輸入

u(x)=R-1(x)BT(x)[g(x)-P(x)x].

(5)

其中反饋調(diào)節(jié)器K(x)=R-1BT(x)P(x)，前饋濾波器G=R-1BT(x)g(x)，且g(x)滿足

[P(x)B(x)R-1BT(x)-AT(x)]g(x)=CTQ(x)yr.

(6)

2 數(shù)學(xué)模型

電液伺服系統(tǒng)中廣泛存在壓力流量特性、伺服閥控制死區(qū)等非線性因素，為準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)5～500 Hz頻寬范圍加速度隨機(jī)振動(dòng)控制，建立系統(tǒng)非線性模型.

液壓缸和負(fù)載的力平衡方程如下(忽略摩擦)：

(7)

式中:Ap為液壓缸活塞有效面積；pL為系統(tǒng)工作壓力；mt為質(zhì)量負(fù)載；xp為液壓缸活塞位置；Bp為阻尼負(fù)載；K為彈性負(fù)載.

液壓缸流量連續(xù)性方程為

(8)

式中:qL為伺服閥流量；xv為伺服閥閥芯位移；sgn(x)為取x符號(hào)函數(shù)；DZ(xv)為死區(qū)函數(shù)，表達(dá)式為

(9)

式中:Cd為流量系數(shù)；W為面積梯度；xvn和xvp為死區(qū)范圍；ρ為流體密度；ps為供油壓力.

伺服閥動(dòng)態(tài)特性方程為

(10)

式中:ωv為伺服閥固有頻率；ξ為伺服閥阻尼比；Kxv為伺服閥增益；Ka為放大器增益；u為伺服閥輸入電壓.

由式(7)～(10)，將系統(tǒng)表示為含SDC矩陣形式的狀態(tài)空間方程：

y=Cx.

(11)

C為輸出矩陣，C=[10000];

A(x)為狀態(tài)矩陣，

其中狀態(tài)依賴Δ表達(dá)為

本文采用Hamiltonian矩陣Schur分解法[10]來(lái)實(shí)時(shí)求解代數(shù)Riccati方程，且Matlab中有相應(yīng)工具函數(shù)“care”. 假設(shè)矩陣P(x)、g、Q和R分別表示為

Q=q,R=1.

由求解的P(x)可得優(yōu)化輸入中反饋調(diào)節(jié)器K(x)為

由式(4)和(6)可得前饋濾波器

綜上優(yōu)化控制輸入u(t)為

(12)

3 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

在Simulink中建立系統(tǒng)仿真模型，如圖1所示，伺服閥、液壓缸、負(fù)載的主要參數(shù)設(shè)置如表1所示.

表1 仿真模型主要參數(shù)

對(duì)權(quán)矩陣Q中權(quán)系數(shù)q取不同值，將低量級(jí)高斯白噪聲信號(hào)作為輸入信號(hào)，通過自動(dòng)步長(zhǎng)LMS法[11]辨識(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，從而獲得幅頻寬(-3 dB)大小(如表2所示)，由于非線性因素，每次辨識(shí)的幅頻寬存在差異，但整體上隨著q的增加呈增大趨勢(shì). 但當(dāng)權(quán)系數(shù)q≥25×106時(shí)，階躍響應(yīng)存在超調(diào)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，q取q≤16×106，此時(shí)系統(tǒng)幅頻寬較高可達(dá)153 Hz.

表2 SDRE權(quán)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻寬影響

Tab.2 Influence of SDRE weight coefficient on system amplitude bandwidth

權(quán)系數(shù)q幅頻寬(-3 dB)/Hz9×106109～12916×106130～15325×106151～169

4 隨機(jī)振動(dòng)控制仿真分析

為彌補(bǔ)伺服控制的不足，準(zhǔn)確再現(xiàn)參考PSD，引入PSD均衡方法，其均衡公式為

基于AR譜模型估計(jì)法[12]，繪制不同條件下PSD穩(wěn)態(tài)波動(dòng)情況，權(quán)系數(shù)q=9×106如圖2所示，權(quán)系數(shù)q=16×106如圖3所示.

由圖2和圖3可知，經(jīng)過有限次均衡后均可以準(zhǔn)確再現(xiàn)參考PSD，除了低頻10Hz以下，PSD穩(wěn)態(tài)波動(dòng)范圍在±1 dB以內(nèi). 統(tǒng)計(jì)不同條件下PSD穩(wěn)態(tài)波動(dòng)時(shí)均衡次數(shù)，如表3所示，可知在系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，增大反饋增益和權(quán)系數(shù)，均可以減少響應(yīng)PSD穩(wěn)定波動(dòng)時(shí)的均衡次數(shù).

表3 PSD穩(wěn)定波動(dòng)時(shí)均衡次數(shù)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將SDRE技術(shù)與PSD均衡方法結(jié)合用于電液伺服隨機(jī)振動(dòng)控制系統(tǒng). 建立系統(tǒng)非線性模型，在線求解SDRE獲得系統(tǒng)變?cè)鲆鏍顟B(tài)反饋，分析反饋設(shè)計(jì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性時(shí)發(fā)現(xiàn)，SDRE權(quán)系數(shù)增大，系統(tǒng)幅頻寬呈增大趨勢(shì)，但權(quán)系數(shù)過大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)，本文合適權(quán)系數(shù)小于等于16×106，系統(tǒng)幅頻寬較高可達(dá)153 Hz. 同時(shí)結(jié)合PSD均衡方法，選取不同SDRE權(quán)系數(shù)和PSD均衡反饋增益，通過仿真分析可知，經(jīng)過有限次均衡，均可以準(zhǔn)確再現(xiàn)參考PSD，除了低頻10 Hz以下，PSD穩(wěn)定波動(dòng)范圍在±1 dB以內(nèi)，且增大反饋增益和權(quán)系數(shù)可以減少PSD穩(wěn)定波動(dòng)時(shí)均衡次數(shù).